一道2021年八省聯(lián)考題解法賞析

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

一、題目呈現(xiàn)

題目(2021年八省聯(lián)考第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

二、總體把握

此題以直線和圓相切，直線和拋物線相交為背景，以直線方程為出口，綜合考查有關(guān)圓錐曲線的技能技巧，考查學(xué)生的能力和素養(yǎng).考生普遍反映難做,因此，我們有必要厘清其本質(zhì)，探究其解法，為學(xué)生做好示范引領(lǐng)工作，使其在同類問題上不在犯難.仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，本題內(nèi)涵豐富，思路開闊，解法較多，是一個復(fù)習(xí)的好素材.

三、解法探究

視角1 直接求出B，C的坐標(biāo)，用兩點式求解方程.

①

②

③

④

⑤

⑥

故選B.

評析此解法思路簡單，容易上手，但是過程較繁，運算量偏大，基礎(chǔ)不扎實，計算不過關(guān)的學(xué)生難以得出正確答案.因此，我們必須另辟蹊徑，避開大運算.

視角2 利用拋物線的平均性質(zhì)作答.

以下同解法1.

評析拋物線的平均性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為解方程，題目難度與運算量都降低了,不失為一種好解法，當(dāng)然需要學(xué)生平時積累此知識，學(xué)習(xí)不能僅限于教材，正所謂知識在書中，題目在書外.

視角3 利用同構(gòu)原理，設(shè)而不求.

整理,得2x-(yB+2)y+2yB=0.

進(jìn)而3×2xB+12yB+8=0.

所以3xB+6yB+4=0.

⑦

同理3xC+6yC+4=0.

⑧

于是點B，C都在直線3x+6y+4=0上.故選B.

評析本解法依托同構(gòu)原理，運算簡潔.需要學(xué)生對同構(gòu)原理有一定的認(rèn)識，合理得出方程⑦⑧，利用解析幾何的基本原理得解.

視角4 利用拋物線的平均性質(zhì)和同構(gòu)法作答.

由點斜式方程得直線BC的方程為3x+6y+4=0.選B.

評析本解法中斜率的處理辦法避開了繁雜的代數(shù)運算，緊緊依托同構(gòu)思想整體處理，思路清晰，是處理定值問題的通解通法.

視角5 利用極限思想求斜率，依據(jù)排除法得解.

解法5 結(jié)合解法1，由對稱性知，直線AD與拋物線y2=2x的另一個交點為T(2,-2).事實上，當(dāng)已知圓的圓心不變，半徑趨于0時，兩條切線趨于一條線，即AD.

評析本解法利用運動的觀點，極限的思想，將問題等價轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題，非常巧妙，將幾何與代數(shù)有機(jī)聯(lián)系在一起，值得關(guān)注.對于打開學(xué)生思路大有裨益.

視角6 利用已知結(jié)論作答.

以下同解法4.

評析解析幾何中有很多的結(jié)論，這些結(jié)論經(jīng)常是專家命題的背景，在日常學(xué)習(xí)中我們都要做有心人，主動積累，靈活運用，使學(xué)習(xí)達(dá)到一定的高度，提高解題的速度和準(zhǔn)確率.所謂秒殺，都是日積月累的迸發(fā).

四、兩個思考

1.本題中點A的橫坐標(biāo)不是2，問題又會怎樣呢？

2.若把本問題中的拋物線換成適當(dāng)?shù)臋E圓或雙曲線，結(jié)果又怎樣？

五、兩個認(rèn)識

1.關(guān)于深度學(xué)習(xí)認(rèn)識

深度學(xué)習(xí)是一種與淺層學(xué)習(xí)相對應(yīng)的學(xué)習(xí)方式，它本質(zhì)是為學(xué)生的發(fā)展服務(wù).我們知道，事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認(rèn)知知識，與之對應(yīng)的學(xué)習(xí)方式是接受與記憶、理解與探究、操作與體驗、反思與感悟等.無論是哪種學(xué)習(xí)方式，只要能引起學(xué)生在認(rèn)知、情感、技能等方面發(fā)生系統(tǒng)的變化，學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力得到整體提升，就是深度學(xué)習(xí).我們的教學(xué)追求知識習(xí)得后學(xué)生的學(xué)科能力、學(xué)科思想、學(xué)科經(jīng)驗以及核心素養(yǎng)得到改變，產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)方式改變、價值觀念改變、行為方式乃至整個生活方式的改變.本題貌似很難，有人采取了放棄的態(tài)度，而有人進(jìn)行了深度研究，結(jié)果是明顯的，久而久之學(xué)生的差異就出現(xiàn)了，因此我們倡導(dǎo)真實的深度學(xué)習(xí).

2.關(guān)于一題多解再認(rèn)識

一題多解有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；有利于促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性；可以充分提高學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度；有利于學(xué)生對知識本質(zhì)的掌握；還有利于開闊學(xué)生的思維，提高思維的品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維.因此，我們在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)提倡一題多解，搭建適當(dāng)?shù)难芯科脚_，把握提升學(xué)生素養(yǎng)的機(jī)會.