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    跨界學(xué)科可聯(lián)姻 還原數(shù)列見本質(zhì)
    ——由強基計劃到八省聯(lián)考

    2021-09-27 05:48:52趙彥青石富中
    數(shù)理化解題研究 2021年25期
    關(guān)鍵詞:特征方程通項二階

    趙彥青 石富中

    (河北省張家口市尚義縣第一中學(xué) 076750)

    俗話說,工欲善其事必先利其器.物理中有很多的問題都需要數(shù)學(xué)思想來解決.筆者在某名牌大學(xué)強基計劃的物理試卷中,發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)列的思想.

    一、問題呈現(xiàn)

    問題如圖1所示無線網(wǎng)絡(luò)電路中,所有電阻阻值均為R,則A,B兩端的等效電阻R等=____.

    本題中,從右向左依次遞進(jìn)進(jìn)行計算,第一級為R串聯(lián)2R再并聯(lián)一個R,記為R1;第二級為R1串聯(lián)2R再并聯(lián)一個R,記為R2;第三級為R2串聯(lián)2R再并聯(lián)一個R,記為R3,依次類推,結(jié)果如下:

    二、問題引申

    事實上,題目中可以引申出一個數(shù)學(xué)問題:數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項公式.

    分析數(shù)列{an}和{bn}有一個共同的遞推公式:an+2=4an+1-an,bn+2=4bn+1-an,到此,問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列中經(jīng)典的“二階遞推”問題.這個問題我們可以采用二階遞推之特征方程法.

    由a1=1,a2=3,

    三、應(yīng)用舉例

    例1 (2021年八省聯(lián)考)已知各項都為正項的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

    (1)證明:數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;

    解析(1)由an+2=2an+1+3an,得an+2+an+1=3(an+1+an).

    (2)方法1(特征方程法)x2=2x+3(特征方程),解得x1=3或x2=-1.(恰好為以上兩個數(shù)列公比)

    方法3 由(1)知an+1+an=2·3n-1.

    由題知an+2=2an+1+3an.

    四、知識儲備

    儲備1 數(shù)列的遞推公式:an+2=c1·an+1+c2·an,設(shè)有r,s使an+2-ran+1=s(an+1-ran),所以an+2=(r+s)·an+1-s·ran.得c1=r+s,c2=-sr,消去s,得r2=c1r+c2(特征方程).

    儲備2 已知an+2=c1·an+1+c2·an,則其特征方程為x2-c1x-c2=0,若方程有兩個相異根α,β,則an=A·αn+B·βn.若方程有兩個相等根α=β,則an=(A+Bn)·αn.

    五、感悟

    感悟1 對于高階線性遞推數(shù)列和分式線性遞推數(shù)列,我們也可以借鑒上面的方法求得通項公式.

    感悟2特征根法(不動點法).

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