盤點(diǎn)小量近似 建構(gòu)數(shù)理模型
——鑒賞2021年1月浙江物理選考?jí)狠S題

陶漢斌

(浙江省金華第一中學(xué) 321015)

2021年1月浙江省物理學(xué)科選考堅(jiān)持高考改革方向，試題彰顯以實(shí)際問題為背景，要求學(xué)生分析物理現(xiàn)象中的關(guān)鍵特征和主要因素，建立合適的物理模型與數(shù)學(xué)模型.選考物理第22題以芯片制造技術(shù)為背景，設(shè)計(jì)了離子注入晶圓的問題情景，考查學(xué)生對(duì)電場、磁場、平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等基本知識(shí)和基本理論的綜合應(yīng)用.此試題突出考查了運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，立體三維空間的想象能力，最終還是聚焦在數(shù)學(xué)中小量近似的計(jì)算方法和物理建模能力.本文以2021年1月浙江省選考第22題為例，具體闡述了高中物理中小量近似的數(shù)學(xué)方法，回歸核心素養(yǎng)中模型建構(gòu)的培養(yǎng)，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與物理的互利合作雙贏.

一、原生態(tài)考題賞析

例1 (2021.1浙江選考第22題)在芯片制造過程中，離子注入是其中一道重要的工序.如圖1所示是離子注入工作原理示意圖，離子經(jīng)加速后沿水平方向進(jìn)入速度選擇器，然后通過磁分析器，選擇出特定比荷的離子，經(jīng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)后注入處在水平面內(nèi)的晶圓(硅片).速度選擇器、磁分析器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向均垂直紙面向外；速度選擇器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小均為E，方向分別為豎直向上和垂直紙面向外.磁分析器截面是內(nèi)外半徑分別為R1和R2的四分之一圓環(huán)，其兩端中心位置M和N處各有一個(gè)小孔；偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中電場和磁場的分布區(qū)域是同一邊長為L的正方體，其底面與晶圓所在水平面平行，間距也為L.當(dāng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)不加電場及磁場時(shí)，離子恰好豎直注入到晶圓上的O點(diǎn)(即圖中坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸垂直紙面向外).偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)整個(gè)系統(tǒng)置于真空中，不計(jì)離子重力，打在晶圓上的離子，經(jīng)過電場和磁場偏轉(zhuǎn)的角度都很小.當(dāng)α很小時(shí)，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-α2/2

圖1

(1)離子通過速度選擇器后的速度大小u和磁分析器選擇出來離子的比荷

(2)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)僅加電場時(shí)離子注入晶圓的位置，用坐標(biāo)(x，y)表示；

(3)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)僅加磁場時(shí)離子注入晶圓的位置，用坐標(biāo)(x，y)表示；

(4)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)同時(shí)加上電場和磁場時(shí)離子注入晶圓的位置，用坐標(biāo)(x，y)表示，并說明理由.

解析(1)通過速度選擇器離子的速度

(2)經(jīng)過電場后，離子在X方向偏轉(zhuǎn)的距離為

離開電場后，離子在X方向偏轉(zhuǎn)的距離為

(3)離子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示

圖2

經(jīng)過磁場后，離子在Y方向偏轉(zhuǎn)距離

離開磁場后，離子在Y方向偏移的距離為

點(diǎn)評(píng)本題借用復(fù)合場的平臺(tái)，考查圓周運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)中的偏轉(zhuǎn)問題，最后一小題在疊加場中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理進(jìn)行解題.學(xué)生要有立體空間想象的能力，將立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖進(jìn)行思考.運(yùn)算的過程中用到小量計(jì)算的方法，經(jīng)過電場和磁場偏轉(zhuǎn)的角度都很小，當(dāng)α很小時(shí)，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-α2/2，這種小量近似在學(xué)習(xí)單擺模型時(shí)曾經(jīng)做過推導(dǎo).

二、盤點(diǎn)小量近似計(jì)算

1.角度θ小量近似sinθ=tanθ=θ

當(dāng)角度θ很小時(shí)，有sinθ=tanθ=θ,當(dāng)然θ是用弧度制度.在擺角很小的情況下(一般是小于10°)，忽略空氣阻力，單擺的振動(dòng)是以O(shè)為平衡位置的簡諧振動(dòng)，同時(shí)又是繞懸點(diǎn)P做圓周運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)的過程中，動(dòng)能與重力勢能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒,如圖3所示.

圖3

2.數(shù)值x小量近似(1+x)n≈1+nx

數(shù)值x很小時(shí)，(1+x)n≈1+nx.帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)時(shí)，經(jīng)常用到這個(gè)小量近似計(jì)算.

例題磁譜儀是測量α能譜的重要儀器.磁譜儀的工作原理如圖4所示，放射源S發(fā)出質(zhì)量為m、電量為q的α粒子沿垂直磁場方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，被限束光欄Q限制在2φ的小角度內(nèi)，α粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后打到與束光欄平行的感光片P上.(重力影響不計(jì))

圖4

(1)若能量在E～E+ΔE(ΔE>0，且ΔE?E)范圍內(nèi)的α粒子均垂直于限束光欄的方向進(jìn)入磁場.試求這些α粒子打在膠片上的范圍Δx1.

(2)實(shí)際上，限束光欄有一定的寬度，α粒子將在2φ角內(nèi)進(jìn)入磁場.試求能量均為E的α粒子打到感光膠片上的范圍Δx2

(2)動(dòng)能為E的α粒子沿±φ角入射，軌道半徑相同，設(shè)為R