關(guān)于x的方程ax=logax的根的表示

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

有很多文獻給出了指數(shù)函數(shù)與其反函數(shù)圖象公共點個數(shù)即關(guān)于x的方程Γ:ax=logax的根的個數(shù)的結(jié)論，比如文獻[1]及其文末列出的參考文獻.

當a已知時，由下文的定理可給出方程Γ的根的表示，在表示方法中除一步或兩步用到了求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)外，其他步驟均是乘方或與常數(shù)的四則運算.

進而可得欲證結(jié)論成立.

①

②

③

因而ρ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增且函數(shù)值的取值范圍是(0,e-e).

進而可得欲證結(jié)論成立.

引理4 若f(x)單調(diào)遞增移浞春莊-1(x)，則f(x)=f-1(x)?f(x)=x.

證明用反證法可證，這里略去過程.

證明(1)當0

再由引理3可得結(jié)論(1)成立.

(2)當a>1時，y=ax是增函數(shù)，再由引理4,1可得結(jié)論(3)(4)(5)均成立.

注在定理(3)中，可得x31=τ-1(a)(此時τ-1(x)單調(diào)遞增珁=τ(x)(1e)的反函數(shù)).因此，當a已知時，定理給出了方程Γ的根的表示，在表示方法中除一步或兩步用到了求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)外，其他步驟均是乘方或與常數(shù)的四則運算.

推論2 若a∈[e-e,1)∪(1,+∞)，則ax=logax?ax=x.