例析導(dǎo)數(shù)解答題中數(shù)列不等式的證明策略

李 寧 潘小芳

(海南省海南中學(xué) 571158)

一、常用思路：逐項(xiàng)比較

例1 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+2.

(1)若函數(shù)f(x)在定義域上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解析(1)當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)在定義域上單調(diào)遞增.

…

(2)整個(gè)問題的前后小問之間往往有聯(lián)系，含參函數(shù)如果第一問給出某個(gè)性質(zhì)求參數(shù)范圍，可以考慮取參數(shù)范圍的端點(diǎn)值代回去得到函數(shù)不等式.

(1)若f(x)≤ax+1在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

…

評注逐項(xiàng)比較法，關(guān)鍵是獲取不等式兩邊數(shù)列的通項(xiàng)，逆向探索局部不等式.

二、可選思路：利用數(shù)列單調(diào)性

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2+blnx，其中b為常數(shù).

(1)判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

評注利用數(shù)列單調(diào)性證明這類數(shù)列不等式雖然與逐項(xiàng)比較法寫法不同，但本質(zhì)上它們是異曲同工的.

三、合理放縮

(1)若不等式kx≥f(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

…

四、類似可證ai

例5 已知函數(shù)f(x)=alnx+x2，其中a∈R.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，證明：f(x)≤x2+x-1；

解析(1)略.

評注待證不等式一邊是常數(shù)，不方便逆向探索局部不等式.可以對照待證不等式的結(jié)構(gòu)特征和已知條件，從已知條件中獲取函數(shù)不等式來構(gòu)建局部不等式.不等式lnx≤x-1是解決導(dǎo)數(shù)解答題必須掌握的重要不等式.

例6 已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解析(1)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；當(dāng)a=0時(shí)，沒有單調(diào)區(qū)間.

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