判斷三角形解的個(gè)數(shù)有妙招

廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

解三角形有四種基本題型：(1)已知兩邊和它們的夾角；(2)已知三邊；(3)已知兩角和任一邊；(4)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.根據(jù)全等三角形的判定方法可知，前三種基本題型，三角形都有唯一解，最后一種題型，三角形可能無(wú)解、一個(gè)解或兩個(gè)解.由于解的個(gè)數(shù)不易確定，因而成為教學(xué)的難點(diǎn).筆者經(jīng)過(guò)精心研究，歸納整理出判斷三角形解的個(gè)數(shù)的四個(gè)妙招.

一、性質(zhì)法

我們知道，三角形有許多性質(zhì)，如“在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB”“若α是三角形的內(nèi)角，則0

例1 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足以下條件的三角形解的個(gè)數(shù)為1的是( ).

A．a(chǎn)=22,b=25,A=120° B．a(chǎn)=9,c=10,A=30°

C．a(chǎn)=6,b=8,A=60° D．a(chǎn)=11,b=6,A=45°

分析從已知條件出發(fā)，利用正弦定理、大邊對(duì)大角以及正弦函數(shù)的有界性，判斷各個(gè)選項(xiàng)中三角形的個(gè)數(shù)，從而得出結(jié)論.

解析對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閎>a,所以B>120°.所以滿足題意的三角形不存在；

二、畫圖法

先根據(jù)已知條件畫出三角形，再根據(jù)所畫三角形的個(gè)數(shù)作出判斷.三角形有幾個(gè)，解就有幾個(gè).

畫三角形的關(guān)鍵是確定三個(gè)頂點(diǎn)的位置，一般步驟是：(1)畫角，確定第一個(gè)頂點(diǎn)；(2)畫鄰邊，確定第二個(gè)頂點(diǎn)；(3)畫對(duì)邊，確定第三個(gè)頂點(diǎn).

三、 圖象法

首先，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正弦定理求出另一已知邊的對(duì)角的取值范圍和正弦表達(dá)式；其次，構(gòu)造相應(yīng)的正弦函數(shù)和常數(shù)函數(shù)并畫出它們的圖象；最后，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)作出判斷， 交點(diǎn)有幾個(gè)，三角形的解就有幾個(gè).

分析利用正弦定理，可用a表示sinA，結(jié)合C的大小，可知A∈(0°,120°).構(gòu)造相應(yīng)正弦函數(shù)和常數(shù)函數(shù)并畫出其圖象，結(jié)合存在兩個(gè)三角形的條件，即可列出a滿足的不等式，求得a的取值范圍.

四、判別式法

在△ABC中，已知邊a，b和角A，則△ABC有幾個(gè)解等價(jià)于關(guān)于邊c的一元二次方程c2-(2bcosA)c+b2-a2=0(*)有幾個(gè)不等的正根.

證明由余弦定理知，邊c是方程(*)的根,△=(2bcosA)2-4(b2-a2) =4a2-4b2sin2A.

綜上，△ABC有幾個(gè)解等價(jià)于方程(*)有幾個(gè)不等的正根.

A.0°

C.0°

(*)

以上四招各有千秋，在具體的解題過(guò)程中，可以嘗試用不同的方法去解同一道題，這樣不僅能鞏固所學(xué)的知識(shí)，而且還能更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，有利于創(chuàng)新意識(shí)的形成和發(fā)展.