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    不等式中的任意與存在問題

    2021-09-27 05:54:18孟方明
    數(shù)理化解題研究 2021年25期
    關(guān)鍵詞:先求任意性春暉

    孟方明

    (浙江省春暉中學(xué) 312300)

    一、一元不等式

    1.任意問題

    整理,得12m4-5m2-3≥0.

    即(3m2+1)(4m2-3)≥0.

    說明形如g(m)≥f(x)的不等式任意性問題,可轉(zhuǎn)化為g(m)≥f(x)max;形如g(m)≤f(x)的不等式任意性問題,可轉(zhuǎn)化為g(m)≤f(x)min.

    2.存在問題

    去分母,整理得m·(2x)2+(m-3)2x-1<0.

    設(shè)2x=t,則t∈(1,2)且mt2+(m-3)t-1<0.

    由mt2+(m-3)t-1<0,得m(t2+t)<3t+1.

    說明形如g(m)≥f(x)的不等式存在性問題,可轉(zhuǎn)化為g(m)≥f(x)min;形如g(m)≤f(x)的不等式存在性問題,可轉(zhuǎn)化為g(m)≤f(x)max.有的時候由于f(x)的最值不一定存在,還要注意所求范圍的端點是否可取.

    二、二元不等式

    1.任意與存在搭臺

    解析(1)略;

    當(dāng)x∈(0,1)時,因為f′(x)<0,所以f(x)單調(diào)遞減;

    當(dāng)x∈(1,2)時,因為f′(x)>0,所以f(x)單調(diào)遞增.

    對于條件“對任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)成立”,不妨先固定x2,則只需要f(x1)min≥g(x2).

    說明一般地,若對任意x1∈D1,存在x2∈D2,使f(x1)≥g(x2)成立,先求出無參函數(shù)的最值,如本題中,函數(shù)f(x1)無參, 固定x2,先求出f(x1)的最小值,得到f(x1)min≥g(x2);再考慮“存在”,求出g(x2)的最小值,滿足f(x1)min≥g(x2)min,或者視f(x1)min≥g(x2)為一元不等式處理.對任意x1∈D1,存在x2∈D2,使f(x1)≤g(x2)成立可類似處理.

    2.任意與任意唱戲

    例4 已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

    (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

    (2)設(shè)a<-1,如果對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.

    解析(1)略;

    令g(x)=f(x)+4x,則上式等價于g(x)在(0,+∞)在單調(diào)遞減.

    設(shè)t=4x+1>1,

    由恒成立的意義知,只需a≤h(t)min.

    所以h(t)≥-2,

    故a≤-2.

    說明一般地,若對任意x1∈D1,任意x2∈D2,使f(x1)≥g(x2)成立,只需滿足f(x1)min≥g(x2)max;若對任意x1∈D1,任意x2∈D2,使f(x1)≤g(x2)成立,則只需轉(zhuǎn)化為f(x1)max≤g(x2)min.本題由于不等式的對稱性,通過構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性求解問題,其過程體現(xiàn)了將二元x1,x2減為一元x的重要思想方法.

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