特殊法妙解客觀題

田 峰

(安徽省合肥方了個(gè)田教育科技有限責(zé)任公司 230031)

在解答高考數(shù)學(xué)客觀題時(shí)，由于客觀題本身的屬性，我們可以采取一般與特殊之間相互轉(zhuǎn)化的思想，借助特殊法，根據(jù)題目條件選取對(duì)應(yīng)的數(shù)值、函數(shù)、角度、點(diǎn)、圖形等形式來特殊處理.特殊法處理，回歸一般性，簡單易操作，方便且快捷，是破解數(shù)學(xué)客觀題中的一種不可多得的好辦法.下面結(jié)合數(shù)學(xué)客觀題實(shí)例，對(duì)一些常見的特殊法加以巧妙應(yīng)用.

一、特殊值法

特殊值法經(jīng)常應(yīng)用于一些涉及函數(shù)、不等式、方程、算法等客觀題中，借助特殊值的選取，代入驗(yàn)證相應(yīng)的函數(shù)、不等式、方程、算法等問題，結(jié)合對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)加以排除.

A.(-∞，-1] B.(0，+∞)

C.(-1，0) D.(-∞，0)

分析對(duì)于分段函數(shù)與不等式問題，可以借助特殊值的選取，借助排除法來處理，從特殊到一般，結(jié)合對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)來處理.特殊值法比常規(guī)的函數(shù)圖象法的應(yīng)用顯得更加簡單快捷.

解析令x=-1，可得f(x+1)=f(0)=2-0=1，f(2x)=f(-2)=22=4，顯然f(x+1)

點(diǎn)評(píng)由于涉及分段函數(shù)中的不等式解集的確定性，借助特殊值的選取，直接有效，很好地回避了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及不等式的求解等問題.在實(shí)際處理過程中，要結(jié)合選項(xiàng)中的不同取值情況，合理確定特殊值，可以使得問題的正確判斷更加快速，適當(dāng)減少特殊值的取值次數(shù)與驗(yàn)證.

二、特殊函數(shù)法

特殊函數(shù)法經(jīng)常應(yīng)用于一些涉及抽象函數(shù)、大小比較等的客觀題中，借助特殊函數(shù)的選取，使之滿足題目條件，化抽象為具體，再利用特殊函數(shù)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，嘗試尋找問題的突破點(diǎn).

例2 已知f(x)是定義域?yàn)?-∞，+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

分析常規(guī)方法是根據(jù)題目條件來分析確定抽象函數(shù)f(x)的周期性以及相應(yīng)函數(shù)式的值，有一定的運(yùn)算量.而根據(jù)題目條件尋找與之對(duì)應(yīng)的特殊函數(shù)，直達(dá)要害，一步到位，簡單易操作.

則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.故選C.

點(diǎn)評(píng)在選取特殊函數(shù)處理一些數(shù)學(xué)客觀題時(shí)，往往從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等角度來分析，選取常見的基本初等函數(shù),性質(zhì)易判斷與對(duì)應(yīng)，條件比較容易滿足.

三、特殊角度法

特殊角度法經(jīng)常應(yīng)用于一些涉及平面幾何、平面向量、三角函數(shù)等客觀題中，借助特殊角度的選取，可以使得平面幾何或平面向量的圖形直觀化，或數(shù)形結(jié)合，或回避三角函數(shù)中三角恒等變換的繁雜步驟，簡化過程.

例3 已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)=____.

分析結(jié)合題目條件，通過選取特殊角度使一般性問題特殊化，在特殊情況加以運(yùn)算，再對(duì)特殊情況下的運(yùn)算結(jié)果一般化即可.

點(diǎn)評(píng)要直接求解需要涉及有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角恒等變換公式等，相比來說比較復(fù)雜.而通過選取特殊角度，省去繁雜的三角恒等變形公式及其應(yīng)用，選取合理的特殊角度是快捷破解問題的關(guān)鍵.

四、特殊點(diǎn)法

特殊點(diǎn)法經(jīng)常應(yīng)用于一些涉及函數(shù)圖象、平面向量、平面解析幾何等客觀題中，借助特殊點(diǎn)的選取，能巧妙處理函數(shù)圖象、平面向量的相關(guān)運(yùn)算、直線與圓或圓錐曲線的位置關(guān)系等問題，更加直觀快捷，易處理，妙判斷.

例4下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的是( ).

A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)

C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)

分析常規(guī)方法是根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)來處理.而根據(jù)題目條件通過特殊點(diǎn)的選取，以點(diǎn)代線，以特殊代一般，可以更為快捷確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

解析由于函數(shù)圖象的對(duì)稱就是圖象上的每個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱問題，在函數(shù)y=lnx的圖象上取一特殊點(diǎn)(1，0)，其關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)也是(1，0)，結(jié)合各選項(xiàng)中的函數(shù)，只有選項(xiàng)B中的函數(shù)y=ln(2-x)過該點(diǎn)，故選B.

點(diǎn)評(píng)通過選取特殊點(diǎn)，從特殊點(diǎn)入手，以點(diǎn)代線，以特殊來代一般，實(shí)現(xiàn)問題的快捷破解.巧妙選取特殊點(diǎn)，借助點(diǎn)的變化來推廣到一般性的變化.

五、特殊圖形法

特殊圖形法經(jīng)常應(yīng)用于一些涉及函數(shù)的基本性質(zhì)、平面幾何、解三角形或平面向量、立體幾何等的客觀題中，借助特殊圖形的選取，往往是特殊函數(shù)圖象的構(gòu)建、特殊平面幾何圖形的應(yīng)用、特殊立體幾何圖形的切入等，直觀形象，易于操作與判斷.

例5已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

分析常規(guī)方法是利用三角關(guān)系式，通過三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角恒等變換、基本不等式等方法來處理，難度非常大，不易操作.借助單位圓這一特殊圖形的構(gòu)造，把函數(shù)關(guān)系式與三角形面積加以有機(jī)鏈接，合理轉(zhuǎn)化，巧妙推理，進(jìn)而確定函數(shù)的最值問題.

解析如圖1所示，構(gòu)造特殊圖形——單位圓，其中A(-1，0)，B，C關(guān)于x軸對(duì)稱，可設(shè)B(cosx，sinx)，則有C(cosx，-sinx)，D(cosx，0).

點(diǎn)評(píng)原問題的處理比較繁雜.而借助單位圓這個(gè)特殊的平面幾何圖形的構(gòu)造，結(jié)合單位圓中內(nèi)接三角形面積的性質(zhì)，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式，實(shí)現(xiàn)有機(jī)鏈接，直觀轉(zhuǎn)化，省去三角函數(shù)中眾多公式的應(yīng)用與推理，很好地提升解題效益.

特殊法是破解一些高考客觀題的最佳方法之一，充分體現(xiàn)“小題小做”或“小題巧做”的解題策略，借鑒解題經(jīng)驗(yàn)，通過特殊的數(shù)值、函數(shù)、角度、點(diǎn)、圖形等特殊法的選取與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)簡單快捷處理，巧妙安全判斷.