彎曲載荷作用下薄壁尖橢圓管對(duì)稱裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子

張一馳，謝禹鈞

（遼寧石油化工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧撫順 113000）

大多數(shù)實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)都是三維有限邊界問題，確定此類結(jié)構(gòu)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子一直是斷裂力學(xué)領(lǐng)域的主要問題。本文主要采用有限元法分析異型管裂紋問題，采用有限元法分析法，并在此基礎(chǔ)上，通過ANSYS進(jìn)行有限元分析，進(jìn)一步對(duì)比J2-積分和ANSYS有限元分析結(jié)果，并給出尖橢圓管的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算方法。

1 J2-積分定義

1.1 三維J2-積分

對(duì)于三維邊界問題，位移矢量u為x1、x2、x3的函數(shù)，根據(jù)守恒律，則有J2-積分在三維有限邊界裂紋問題中的定義如下：

式中，Ω為包圍裂紋尖端區(qū)域一個(gè)積分曲面；n2為積分曲面Ω的外法線向量；Ti積分曲面Ω上的面力矢量；u為積分曲面任一點(diǎn)的位移矢量；n為外法線的方向余弦，w為任一點(diǎn)應(yīng)變能密度。如圖1所示。

圖1 薄壁尖橢圓截面管裂紋構(gòu)型

1.2 二維J2-積分

對(duì)于二維邊值問題，守恒律J2仍保持上述公式中的形式。這是上述中的（1）式的積分路徑為s，是坐標(biāo)x1、x2平面內(nèi)的一條閉合曲線。該積分在這樣的不含孔徑閉合曲線上的積分值為0。

單位厚度的I-型裂紋如圖2所示，在裂紋尖端近場取閉合積分路徑sdefd，其中單位厚度的I-型裂紋如圖2所示，在裂紋尖端近場取閉合積分路徑sdefd，其中sde為裂紋尖端且垂直于x1軸；sef為四分之一圓弧段。沿著路徑sde和sef，J2-積分可表示為

圖2 裂紋尖端近場積分路徑

則有

式中，μ為泊松比；E為材料的彈性模量；KI為I-型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度子。

2 彎曲載荷作用下薄壁尖橢圓截面管應(yīng)力強(qiáng)度因子

薄壁截面管兼有三維殼體和細(xì)長梁構(gòu)件的特征，可將材料力學(xué)中的應(yīng)力與變形計(jì)算方法應(yīng)用于應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算。

2.1 閉合積分曲面

薄壁尖橢圓形管如圖1所示，在裂紋截面遠(yuǎn)場受彎曲載荷作用。將整體視為三維結(jié)構(gòu)，選取閉合積分曲面，即由遠(yuǎn)場截面A-、模型的內(nèi)表面Ain、外表面Aout、韌帶截面A+和裂紋面Ac所圍成。因?yàn)锳in和Aout為自由面，Ti=0、n2=0，則可得如下結(jié)果：

對(duì)于積分曲面A+和A-，不難的得到

其中為尖橢圓管截面管單位軸線長度的應(yīng)變能密度，φ′為尖橢圓管的軸線曲率。這兩個(gè)量可由材料力學(xué)中的方法確定。在遠(yuǎn)端橫截面中，軸線曲率可由下式給出：

其中I為遠(yuǎn)場無裂紋截面的慣性矩，對(duì)于裂紋韌帶截面，可將裂紋視為橢圓孔短半軸r→0退化而成，如圖2所示，則可視為“變截面梁”。根據(jù)材料力學(xué)梁的彎曲理論得出管的應(yīng)變能為：

式中，I不含缺陷的管截面的慣性矩；a為裂紋橢圓模型長半軸的一半，如圖1所示；Ac為橢圓模型在0-c之間沿x2軸方向的側(cè)向截面積；Ic為截面Ac的慣性矩。

根據(jù)Clapeyron理論，根據(jù)平衡條件，則裂紋能量釋放率可表示為：

又

并由于Ωgf區(qū)內(nèi)的橫向擠壓應(yīng)力非常小，所以可忽略不計(jì)。

可以根據(jù)上述公式可得：

同理，由于Ωgf區(qū)內(nèi)的橫向擠壓應(yīng)力非常小，所以公式（18）等號(hào)左邊積分項(xiàng)可忽略不計(jì)，整理得：

2.2 尖橢圓管構(gòu)型在彎曲載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子

同樣由圖1所示，尖橢圓管在弧型變的裂紋受到彎矩的作用，其裂紋張開能量釋放率由J2-積分和梁彎曲理論分別給出

則：

A′c為裂紋橢圓模型的側(cè)向面積；I′c為A′c的慣性矩；y′c為裂紋韌帶中性軸位置。

其中，y1=1+R-y0；令

整理可得正則化的應(yīng)力強(qiáng)度因子式為

3 算例與本文結(jié)果比較

正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子的本文解與有限元解的比較見圖3。

圖3 正則化應(yīng)力強(qiáng)度因子的本文解與有限元解的比較

采用Ansys對(duì)本文模型進(jìn)行數(shù)值模擬，將本文得到解析解與有限元解比較（圖3），從而驗(yàn)證本文所提出的方法的準(zhǔn)確性。本文采用四節(jié)點(diǎn)殼單元shell181，彈性模量為E=210GPa，泊松比為μ=0.3。在裂紋尖端則采用1/4節(jié)點(diǎn)退化而成的奇異單元來模擬裂紋尖端奇異性，在通用后處理器中，采用相互積分法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子K，得到結(jié)果并進(jìn)行正則化處理。

4 結(jié)束語

薄壁管裂紋問題是典型的空間三維裂紋問題，以尖橢圓管為例，利用通過守恒律提出了一個(gè)求解薄壁異型管結(jié)構(gòu)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法。并以尖橢圓管結(jié)構(gòu)為例，研究了純彎曲載荷作用下尖橢圓管的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算問題。結(jié)果表明，本文解與有限元解進(jìn)行比較，得出本文提出的求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的技術(shù)路線是可行的，特別適用于求解異型薄壁管結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強(qiáng)度因子問題，該方法簡單有效，過程十分簡單，結(jié)果準(zhǔn)確。