輪換矩陣可逆性的判定及其逆的計算

馮福存

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756099)

自1885年T.Muir提出了輪換矩陣的概念后，眾多數(shù)學(xué)工作者對其進行了大量研究，輪換矩陣的應(yīng)用廣泛，涉及眾多現(xiàn)代科學(xué)和工程領(lǐng)域，如編碼理論[1]、密碼學(xué)[2]、數(shù)字圖像識別[3]、最優(yōu)化等領(lǐng)域.文獻[4]給出有限域Fq上n階輪換矩陣的特征多項式和極小多項式的表達式,文獻[5]利用特征值給出了一類特殊循環(huán)矩陣的判別及其對角化方法.矩陣求逆是矩陣代數(shù)中的一個重要運算，矩陣可逆的判定有相應(yīng)的等價命題，但逆矩陣的獲得卻困難較多.本文在文獻[6]的研究基礎(chǔ)上，利用特征值和矩陣行列式的關(guān)系及多項式理論的相關(guān)知識給出了輪換矩陣可逆的兩個等價命題，并給出了輪換矩陣逆矩陣的計算方法.為了敘述方便，記F[x]表示數(shù)域F上的一元多項式全體組成的集合，Pn×n為數(shù)域P上全體n階方陣的集合，本文所提矩陣若無特殊說明，均指n階方陣.

1 預(yù)備知識

定義1 若A∈Cn×n有如下形式

稱A為輪換矩陣.因為輪換矩陣由首行元素決定，可記為A=circ(a0,a1,…,an-1).

定義2 若T∈Cn×n有如下形式

稱T為基本輪換矩陣.

引理1[7]設(shè)f(x),g(x)∈F[x]，則f(x)與g(x)互素的充分必要條件是存在u(x),v(x)∈F[x]使得

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

引理2[8]多項式f(x)無重因式當且僅當(f(x)，f′(x))=1.

引理3[9]若方陣A的特征值是λ，則矩陣多項式φ(A)的特征值是φ(λ).

引理4設(shè)f1(x),f2(x),g(x)∈F[x]，若(f1(x),g(x))=1，(f2(x),g(x))=1，則(f1(x)f2(x),g(x))=1.

證明因為(f1(x),g(x))=1，(f2(x),g(x))=1，由引理1可知存在ui(x),vi(x)∈F[x],(i=1,2)，使得

u1(x)f1(x)+v1(x)g(x)=1，

(1)

u2(x)f2(x)+v2(x)g(x)=1.

(2)

(1)，(2)兩式相乘得

(u1(x)u2(x))f1(x)f2(x)+(u1(x)v2(x)f1(x)+v1(x)u2(x)f2(x)+v2(x)v2(x)g(x))g(x)=1，

所以(f1(x)f2(x),g(x))=1.

2 輪換矩陣的性質(zhì)及其拓廣

性質(zhì)1 若A,B是輪換矩陣，則AT和λ1A+λ2B也是輪換矩陣.

證明由定義1知，顯然.

性質(zhì)2 基本輪換矩陣T是可逆的，其特征值是n個互不相同的n次單位根.

性質(zhì)3[10]輪換矩陣的逆矩陣仍是輪換矩陣.

定理1T是基本輪換矩陣，則矩陣C為輪換矩陣的充分必要條件是

證明若C是輪換矩陣，不妨設(shè)C=circ(c0,c1,…,cn-1)，則

由定義2可知

(3)

性質(zhì)4 若A,B是輪換矩陣，則AB、BA均是輪換矩陣，且AB=BA.

證明設(shè)A=circ(a0,a1,…,an -1)，B=circ(b0,b1,…,bn -1)，T是基本輪換矩陣，由定理1可得

(4)

由基本輪換矩陣T的運算性質(zhì)，將(4)式中T的各次冪的系數(shù)合并后記為dk(k=0,1,…n-1)，則

故AB、BA均是輪換矩陣.

若A是輪換矩陣，由性質(zhì)3得A可逆時A*是輪換矩陣.由性質(zhì)4得Ak是輪換矩陣.

3 輪換矩陣可逆性的判定

矩陣C是否可逆，可通過其行列式的值|C|判定，若C=circ(c0,c1,…,cn -1)，根據(jù)輪換矩陣的構(gòu)成特征，由行列式運算性質(zhì)可得

(5)

其中，Δ是第一列元素全為1的n階行列式.

定義3 給定輪換矩陣C=circ(c0,c1,…,cn -1)，稱φ(x)=c0+c1x+c2x2+…+cn -1xn -1為輪換矩陣C的伴隨多項式.

定理3T是基本輪換矩陣，其特征值為λk(k=1,2,…,n)，輪換矩陣C=circ(c0,c1,…,cn -1)可逆的充要條件是φ(λk)≠0(k=1,2,…n).

證明由定理1可知(3)式成立，利用定義3得C=φ(T).由引理3可知C的特征值為φ(λk)(k=1,2,…,n).而矩陣C可逆的充要條件是|C|≠0.利用行列式與特征值的關(guān)系可得

即C可逆的充要條件是φ(λk)≠0(k=1,2,…,n)，故命題成立.

定理3雖然給出了輪換矩陣可逆的充要條件，但若n較大時，具體實施的過程中計算量太大，若利用多項式理論，進一步探索可得基本輪換矩陣的特征值均不是可逆輪換矩陣的伴隨多項式的根，由此可得以下定理.

定理4 輪換矩陣C=circ(c0,c1,…,cn-1)可逆的充要條件是(φ(x),xn-1)=1.其中φ(x)是C的伴隨多項式.

證明設(shè)基本輪換矩陣T的特征值為λk(k=1,2,…,n)，由性質(zhì)2可知λk是多項式xn-1的根，輪換矩陣C=circ(c0,c1,…,cn-1)的伴隨多項式為φ(x)，由定理3可知C可逆的充要條件是φ(λk)≠0(k=1,2,…,n)，即

(φ(x)，x-λk)=1,(k=1,2,…,n)，

由引理4可知

(φ(x),xn-1)=1.

4 輪換矩陣逆的計算

通過前一部分的推導(dǎo)，文章給出了判定輪換矩陣可逆的方法，依據(jù)相應(yīng)的方法可計算矩陣的逆.結(jié)合定理3和定理4，利用矩陣多項式的性質(zhì)，可進一步給出計算可逆輪換矩陣的逆的簡便方法,該方法比矩陣求逆的初等變換法或公式法快速、準確 .

給定輪換矩陣C=circ(c0,c1,…,cn-1)，其伴隨多項式為φ(x)=c0+c1x+c2x2+…+cn-1xn-1，由定理4可知(φ(x),xn-1)=1.即存在u(x),v(x)∈F[x]，使得(6)式成立.

u(x)φ(x)+v(x)(xn-1)=1，

(6)

將(6)式化為基本輪換矩陣T的矩陣多項式可得

u(T)φ(T)+v(T)(Tn-E)=E.

由

φ(T)=C及Tn-E=0,

可得

C-1=u(T).

注將公式(6)中的u(x)各項按變量x升冪的次序書寫，由定理1可知u(x)各項的系數(shù)即為C-1的首行元素.

由性質(zhì)3和定義1可以給出輪換矩陣逆矩陣的另一種計算方法：給定輪換矩陣C=circ(c0,c1,…,cn-1)，若C可逆，則C-1也是輪換矩陣.由輪換矩陣的特征，只需計算C-1的第一行或第一列元素便可得到C-1.設(shè)C-1的第一列元素構(gòu)成的向量為x，取b=(1,0,…,0)T，非齊次線性方程組Cx=b的解便是C-1的第一列，輪換后可得C-1.

即

Cx=b,

可得

其中，C1i(i=1,2,…,n)是C的第一行元素c0,c1,…,cn-1代數(shù)余子式.

5 應(yīng)用舉例

解由C是4階輪換矩陣，可得C的伴隨多項式為φ(x)=1-x-x2.4階基本輪換矩陣T的特征值為

λ1=1，λ2=-1，λ3=i，λ4=-i,

故

φ(1)=-1，φ(-1)=1，φ(i)=2+i，φ(-i)=2-i.

由定理3可知

所以C可逆.

利用輾轉(zhuǎn)相除法可得

x4-1=(-x2-x+1)(-x2+x-2)+(-3x+1)，

(7)

(8)

將(7)、(8)兩式整理為(6)式得

得

C-1=u(T)

6 結(jié)論

本文論證了輪換矩陣經(jīng)過相關(guān)運算(線性、乘積、轉(zhuǎn)置、逆、伴隨、冪)后仍是輪換矩陣，給出了判斷輪換矩陣可逆的兩個充要條件以及求輪換矩陣逆矩陣的計算方法.最后通過具體算例驗證文中所提方法是較優(yōu)的.