基于近似移動矢量的證據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化方法

于俊濤 鄧衛(wèi) 王巨 張哲

摘 ? 要：針對存在認(rèn)知不確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，提出了一種基于近似移動矢量的證據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化方法，可有效提升計算效率. 該方法通過等面積法將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換成概率變量，構(gòu)建等效的概率可靠性設(shè)計優(yōu)化模型，并使用序列優(yōu)化與可靠性分析方法求解獲得近似設(shè)計點(diǎn);開展基于證據(jù)理論的可靠性分析求解約束的可信度，構(gòu)建近似移動矢量和確定性優(yōu)化模型，求解獲得新的設(shè)計點(diǎn);重復(fù)概率可靠性設(shè)計優(yōu)化與證據(jù)理論可靠性分析組成的序列迭代過程，直到收斂得到最優(yōu)設(shè)計點(diǎn). 本文方法能夠?qū)⑶短椎淖C據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為近似等效的概率可靠性設(shè)計優(yōu)化與證據(jù)理論可靠性分析組成的序列迭代過程進(jìn)行求解，能夠有效降低證據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化的計算成本. 通過算例驗(yàn)證了所提方法的有效性.

關(guān)鍵詞：可靠性設(shè)計優(yōu)化;認(rèn)知不確定性;證據(jù)理論;近似移動矢量

中圖分類號：TB114.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

An Evidence-theory-based Reliability Design

Optimization Method Using Approximate Shifting Vector

YU Juntao1，DENG Wei2，WANG Ju3，ZHANG Zhe2

（1. Zhengzhou Branch of China Nuclear Power Engineering Co Ltd，Zhengzhou 450052，China;

2. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China;

3. Dongfeng-Nissan Co Ltd，Guangzhou 510800，China）

Abstract：To effectively deal with structural optimization problems with epistemic uncertainty，an evidence-theory-based reliability design optimization method using approximate moving vectors is proposed. It first converts the evidence variables into probability variables and constructs an equivalent probabilistic reliability-based design optimization model. Through solving this model using the sequential optimization and reliability assessment method，an approximate design point is obtained. Then，the evidence-theory-based reliability analysis is carried out for each constraint at the design point，based on which the approximate shifting vector and deterministic optimization model are established. A new design point is obtained by solving the deterministic optimization problem. Finally，the sequential iteration process composed of equivalent probabilistic reliability-based design optimization and evidence-theory-based reliability analysis is repeated until convergence，and the optimal design point is obtained. The proposed method can convert the nested evidence-theory-based design optimization problem into an iterative solution process，which can effectively reduce its computational cost. The effectiveness of the proposed method is verified by three examples.

Key words：reliability-based design optimization;epistemic uncertainty;evidence theory;approximate shifting vector

不確定性廣泛存在于工程實(shí)際問題之中，其來源通常與結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、外部載荷、仿真模型等因素相關(guān). 不確定性主要分為隨機(jī)不確定性與認(rèn)知不確定性. 隨機(jī)不確定性源于結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)內(nèi)在的物理性質(zhì)，通常使用概率模型進(jìn)行度量與分析，已經(jīng)發(fā)展了一系列成熟的可靠性分析與設(shè)計方法[1-4]. 認(rèn)知不確定性源于對結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)信息的缺乏，主要通過證據(jù)理論（或Dempster-Shafer理論）[5-9]、可能性理論[10-11]、模糊理論[12]和凸模型理論[13-15]等進(jìn)行度量與分析. 不確定性的耦合與傳播容易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)發(fā)生較大波動甚至失效，因此，對不確定性的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計（Reliability-Based Design Optimization，RBDO）具有重要意義[16-18].

證據(jù)理論具有較強(qiáng)的認(rèn)知不確定性處理能力. 近年來，研究人員提出了一系列基于證據(jù)理論的可靠性設(shè)計優(yōu)化方法（Evidence-Theory-Based Design Optimization，EBDO）. Mourelatos和Zhou[19]提出了一種求解證據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化問題的方法，該方法主要包括兩部分：第一部分是構(gòu)造等效的概率可靠性設(shè)計優(yōu)化問題近似求解原EBDO問題;第二部分是引入DIRECT算法開展約束的證據(jù)可靠性分析. Srivastava等[20]提出了一種求解EBDO問題的雙目標(biāo)遺傳算法，該算法不需要求解梯度信息，適應(yīng)證據(jù)變量不連續(xù)的特征. Alyanak等[21]提出了一種針對證據(jù)變量的近似梯度計算方法，并發(fā)展了相應(yīng)的EBDO算法. Agarwal等[22]采用代理模型技術(shù)構(gòu)造了近似的可信度函數(shù)使其連續(xù)化，在此基礎(chǔ)上提出了基于序列近似優(yōu)化的EBDO求解算法. Yao等[23]提出了一種同時處理隨機(jī)與認(rèn)知不確定性的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化方法. Salehghaffari等[24]將EBDO算法應(yīng)用于實(shí)際加強(qiáng)圓管的設(shè)計優(yōu)化. Huang等[25-26]提出了一種針對EBDO問題的解耦策略，并將其應(yīng)用于考慮變量相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計優(yōu)化. 蘇瑜等[27]基于證據(jù)理論提出了一種考慮認(rèn)知不確定性的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計算法. 李曉斌等[28]將EBDO算法應(yīng)用于固體火箭發(fā)動機(jī)的不確定性設(shè)計中. Hu等[29]發(fā)展了基于證據(jù)理論的魯棒性優(yōu)化設(shè)計算法. 唐和生等[30]結(jié)合證據(jù)理論與微分演化提出了一種高效的EBDO求解方法.

盡管EBDO研究已經(jīng)取得重要進(jìn)展，但依舊存在諸多挑戰(zhàn). EBDO問題的求解屬于雙層嵌套優(yōu)化問題，外層為確定性優(yōu)化設(shè)計，內(nèi)層為基于證據(jù)理論的可靠性分析，通常計算效率低，嚴(yán)重限制了其在實(shí)際工程問題中的應(yīng)用. 本文提出一種基于近似移動矢量的證據(jù)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法，將傳統(tǒng)的雙層嵌套優(yōu)化問題進(jìn)行解耦，從而有效提高EBDO的求解效率.

1 ? 證據(jù)理論基本概念

證據(jù)理論由Dempster和Shafer提出和發(fā)展，也稱Dempster-Shafer理論. 基本概念包括：

1）識別框架（Frame of Discernment，F(xiàn)D）：FD是人們對一個認(rèn)知不確定性問題已經(jīng)獲知的所有可能結(jié)果的集合，由有限個兩兩互不相容的基本元素組成，類似于概率理論中的樣本空間. 例如，F(xiàn)D由Θ = {x1，x2}定義，其中x1和x2是兩個獨(dú)立的基本元素. 但是，證據(jù)理論中x1和x2都是集合，而非具體的樣本點(diǎn).

2）基本可信度分配（Basic Probability Assignment，BPA）：BPA是對命題的信任程度的定量描述. 如果識別框架Θ的冪集2Θ與區(qū)間[0，1]的函數(shù)關(guān)系m：2Θ→[0，1]滿足以下條件：

式中：所有完全支持A的焦元可信度相加等于Bel（A）;所有不否定 的焦元可信度相加等于Pl（A）.

2 ? 算法構(gòu)造

基于證據(jù)理論的可靠性設(shè)計優(yōu)化模型如下：

式中：f是目標(biāo)函數(shù);gj是約束的功能函數(shù);d是確定性設(shè)計向量;X是隨機(jī)設(shè)計向量;P是隨機(jī)參數(shù)向量;XN和PN分別是X和P的名義值向量;L和U表示下邊界和上邊界;Bel{·}代表可信度計算，Rtj是目標(biāo)可靠度.

傳統(tǒng)的EBDO求解是雙層嵌套優(yōu)化問題，內(nèi)層進(jìn)行證據(jù)可靠性分析，外層開展確定性優(yōu)化設(shè)計，求解效率非常低;此外，由于證據(jù)理論可信度函數(shù)的離散特性，無法直接使用基于梯度的優(yōu)化算法，進(jìn)一步增加了EBDO問題的求解難度. 針對上述問題，本文提出了一種基于近似移動矢量的EBDO方法，以有效降低EBDO的計算成本. 首先，利用等面積法將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為概率變量，構(gòu)建等效的RBDO問題求解近似設(shè)計點(diǎn);然后，基于證據(jù)理論開展約束的可靠性分析，構(gòu)建近似移動矢量與確定性優(yōu)化模型，求解獲得新的設(shè)計點(diǎn);最后，重復(fù)求解上述過程直到優(yōu)化過程收斂.

2.1 ? 等效概率可靠性設(shè)計優(yōu)化模型的構(gòu)造與求解

首先引入等面積法將證據(jù)變量X轉(zhuǎn)變成隨機(jī)變量Z. 證據(jù)變量X的第i個焦元Ai = [Li，Ui]，對應(yīng)的BPA為m（Ai）. 等面積法要求滿足兩個條件：1）焦元Ai的BPA m（Ai）等于隨機(jī)變量Z在區(qū)間[Li，Ui]的累計概率. 2）Z的概率密度函數(shù)在整個不確定域內(nèi)連續(xù). 如圖1所示，對于焦元[L1，U1]，左端點(diǎn)L1的概率密度值為：

由于L2 = U1，f（Z = L2） = f（Z = U1）. 重復(fù)上述步驟可得隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)f（Z）.

to a random variable

將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量后，原EBDO問題轉(zhuǎn)化為等效的RBDO問題，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為：

式中：Pr{·}表示計算可靠度;μX，μP是X，P的均值向量.

使用序列優(yōu)化與可靠性分析方法（Sequential Optimization and Reliability Assessment，SORA）[16]求解上述RBDO問題. SORA通過構(gòu)造移動矢量將RBDO的求解轉(zhuǎn)化為可靠性分析與確定性優(yōu)化的序列迭代求解過程，具有較好的計算效率和收斂性. 為方便描述，令Z = [X，P]代表所有隨機(jī)設(shè)計變量和參數(shù)向量，SORA的數(shù)學(xué)模型如下：

式中：S （k+1）j為移動矢量;k為迭代次數(shù);μZ是Z的均值向量，μZ = [ μX，μP ].

移動矢量計算公式為：

S （k+1）j = μ （k）Z - Z *，（k）j ? ? ? ? ? ?（11）

式中：Z *，（k）j ? ? ?是第k次迭代第j個約束的最大可能失效點(diǎn)（Most Probable Point，MPP），μ （k）Z是當(dāng)前設(shè)計點(diǎn)向量.

MPP可采用一階可靠性方法（First order Reliability Method，F(xiàn)ORM）計算，等概率變換將Z變換到由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量Ui（i=1，2，…，n）構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)空間，Ui組成向量U，以下將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間簡稱為U空間.

Ui = Φ-1（F Zi（Zi）），Zi = F -1 Zi（Φ（Ui）） ? ?（12）

式中：Ui是Zi變換到空間U后的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.

在以原點(diǎn)為圓心，半徑為β t j的圓上搜索使功能函數(shù)值最小的點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型為：

2.2 ? 證據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化模型的求解

以上獲得的設(shè)計點(diǎn)X = [d，μZ]可能不滿足證據(jù)理論的可信度，但是該設(shè)計點(diǎn)已經(jīng)逼近EBDO的最優(yōu)設(shè)計點(diǎn). 因此，以當(dāng)前設(shè)計點(diǎn)為初始點(diǎn)開展EBDO的求解，能夠有效提高尋優(yōu)速度. 假設(shè)第k-1步時完成RBDO求解，接著在第k步開始求解EBDO，如果此時繼續(xù)將等效確定性約束Gj（d，μZ - S （k-1）j） ≥ 0向可靠域移動：先計算增量移動矢量ΔS （k）j，然后將Gj（d，μZ - S （k-1）j） ≥ 0沿著ΔS （k）j移動，則第k步移動矢量S （k）j為：

S （k）j = S （k-1）j + ΔS （k）j ? ? ? ?（14）

在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建如式（10）的確定性設(shè)計優(yōu)化問題. 在該模型中，當(dāng)前迭代步的移動矢量是上一步移動矢量的調(diào)整，調(diào)整幅度為增量移動矢量.

首先在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間中考慮移動矢量增量幾何關(guān)系. 如圖2所示，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間中，||U|| = βt是以原點(diǎn)為圓心，目標(biāo)可靠性指標(biāo)β t j為半徑的圓. 當(dāng)Gj（d，U） = 0與圓相交，表示第k步的可靠性指標(biāo)β k j小于β t j，不滿足可靠性要求. 在下一次迭代，如果將約束邊界Gj（d，μZ - S （k-1）j ? ? ）≥0接著移向可靠域，則可以使得約束函數(shù)的可靠度增加，最終達(dá)到目標(biāo)可靠度. 為了提高效率，選擇沿著可靠度在Uk0處的梯度方向（可靠度增長最快）移動，將可靠度差值Δβ k j= β t j - β k j作為移動距離. 新的移動過程稱為增量移動矢量ΔS U（k+1）j ? ? ? ? ，可表示為：

可靠性指標(biāo)β k j的計算方法將在2.3節(jié)介紹. 由于可信度函數(shù)Bel（·）并非處處可導(dǎo)，因此Bel k j（U0）/||Bel k j（U0）||不一定存在，需要用其他方法近似計算. 由于將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為概率變量，基于概率變量得到的可靠度?k j與證據(jù)變量的可信度Belj在原空間的變化趨勢基本相同，因此，擬用可靠度梯度近似可信度梯度. ΔS U（k+1）j ? ? ? ? 改寫為：

約束函數(shù)的可靠度可采用FORM計算. 求得可靠度在U空間原點(diǎn)處的梯度后，即可計算U空間的移動矢量增量ΔS U（k+1）j ? ? ? ? ，再逆變換到原空間，得到移動矢量增量ΔS k+1j ? ? ?，再根據(jù)式（14）計算移動矢量S k+1j ? ? ?. 獲得新的移動矢量S k+1j ? ? ?后，按2.1節(jié)所述方法重新構(gòu)造近似的RBDO模型，將新的移動矢量S k+1j ? ? ?代入式（10）并求解. 得到新的設(shè)計點(diǎn)后，按照2.3節(jié)所述方法驗(yàn)證約束的可信度，如果約束滿足可信度要求，則增量移動矢量ΔS k+1j ? ? ? = 0;否則再次更新增量移動矢量，直到滿足收斂條件.

2.3 ? 基于非概率指標(biāo)的證據(jù)理論可靠性分析

本文采用基于非概率可靠性指標(biāo)的焦元縮減方法[31]對每個約束開展證據(jù)理論可靠性分析. 對于n維證據(jù)變量Xi，i = 1，2，…，n的功能函數(shù)g（X），首先將證據(jù)變量Xi的FD歸一化：

Xi∈X I i = [X L i，X R i]，i = 1，2，…，n ? ? ?（17）

式中：I表示區(qū)間;L，R表示區(qū)間的下界和上界;c和w是區(qū)間的中點(diǎn)和半徑.

用標(biāo)準(zhǔn)化變量δi∈[-1，1]對Xi進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

Xi = X c i + X w iδi，i = 1，2，…，n ? ? ?（19）

不確定域Cδ = {δ | δi∈[-1，1]，i = 1，2，…，n}是一個標(biāo)準(zhǔn)多維正方體，標(biāo)準(zhǔn)化變量δi，i = 1，2，…，n組成向量δ，其組成的坐標(biāo)空間稱為δ空間.

將式（19）代入功能函數(shù)g得到一個δ空間中的新功能函數(shù)g′：

g（X1，X2，…，Xn） = g′（δ1，δ2，…，δn） ? ? ? ? （20）

非概率可靠性指標(biāo)η是在δ空間用無窮范數(shù)計算的原點(diǎn)與g′ = 0之間的距離，計算公式為：

其中：||·||∞為無窮范數(shù)符號.

式（21）可用序列二次規(guī)劃方法（SQP）求解，其最優(yōu)點(diǎn)δ*稱為設(shè)計驗(yàn)算點(diǎn).

基于非概率可靠性指標(biāo)的焦元縮減方法可以根據(jù)指標(biāo)η和g（Xc） = g′（0）的值判斷不確定域和極限狀態(tài)面的位置關(guān)系，從而僅需要計算部分焦元的功能函數(shù)極值便可獲得Bel（G）和Pl（G），有效提高了證據(jù)理論可靠性分析的計算效率，具體過程參考文獻(xiàn)[31].

2.4 ? 計算步驟

本文方法計算流程總結(jié)如下，如圖3所示.

步驟1：根據(jù)實(shí)際工程問題，建立EBDO模型.

步驟2：用等面積法將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為概率變量，設(shè)置初始點(diǎn)[d0，μ0X]，迭代步k = 0，將移動矢量設(shè)置為零向量，即S 0j= 0，j = 1，2，…，ng.

步驟3：將EBDO問題轉(zhuǎn)化為近似RBDO模型，使用SORA求解，得到最優(yōu)解[d，μZ]，作為求解EBDO問題的起點(diǎn).

步驟4：驗(yàn)算近似RBDO模型的最優(yōu)點(diǎn)的可信度，若滿足目標(biāo)要求，則ΔS kj = 0;否則使用式（14）～式（16）計算新的增量移動矢量ΔS kj和移動矢量S kj，直到滿足以下收斂條件，其中ε為給定誤差限.

β t j - β k j≤ 0，j = 1，2，…，ng（f k - f k-1）/f k < ε ? ? ? ? ?（22）

步驟5：結(jié)束，輸出最優(yōu)解[d*，μ*X].

3 ? 算例分析

3.1 ? 算例一

考慮如下EBDO問題：

該算例僅有兩個證據(jù)設(shè)計變量X1和X2，名義值為 μ X1和μ X2，BPA結(jié)構(gòu)如表1所示.

表2列出了確定性設(shè)計，RBDO和本文方法的計算結(jié)果. 可以看到，確定性設(shè)計結(jié)果的實(shí)際可信度Bel遠(yuǎn)低于目標(biāo)可信度0.998 65，可見，確定性設(shè)計結(jié)果通常難以滿足可靠度要求. RBDO模型是將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換為隨機(jī)變量得到，其中第1個約束的實(shí)際可信度Bel為0.996 8，小于0.998 65. 可見，直接求解等效RBDO的結(jié)果依舊不能滿足目標(biāo)可信度. 本文方法經(jīng)過6次迭代后收斂，所有約束均達(dá)到目標(biāo)可信度，最小目標(biāo)函數(shù)值為6.851 8. 為了直觀理解，圖4繪制了RBDO結(jié)果和EBDO結(jié)果在同一個坐標(biāo)系中的位置. 可以看到，RBDO和EBDO的最優(yōu)解位置很近. 為了提高計算效率，本文方法將先求解RBDO，并將其最優(yōu)解作為EBDO的初始點(diǎn). 這種策略用較少的功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)能快速搜索到距離EBDO最優(yōu)解較近的位置，從而避免EBDO的中間迭代過程，提高了計算效率.

3.2 ? 算例二

某懸臂梁如圖5所示，梁的長度為L，橫截面寬度為w，高度為t，在自由端施加兩個集中剪力Px和Py. 設(shè)計目標(biāo)是截面面積S最小，設(shè)計約束有兩個： 1）固定端應(yīng)力小于許用應(yīng)力y的可信度為0.998 65;2）自由端位移不超過許用位移D0的可信度為0.998 65. EBDO模型如下：

式中：D0 = 2.5 inch;L = 100 inch.

目標(biāo)函數(shù)僅包含確定設(shè)計向量d = [w，t]，不確定性參數(shù)向量P = [Px，Py，y，E]包含4個證據(jù)變量，其中y為屈服強(qiáng)度，E為楊氏模量. 證據(jù)隨機(jī)參數(shù)的BPA結(jié)構(gòu)如表3所示.

表4為確定性設(shè)計、RBDO方法、DIRECT方法、EA-EBDO方法和本文方法針對該問題的計算結(jié)果. 首先，確定性設(shè)計和RBDO的結(jié)果沒有達(dá)到目標(biāo)可信度，本文方法、DIRECT和EA-EBDO采用證據(jù)理論的思想求解該問題，均達(dá)到目標(biāo)可信度. 其次，EA-EBDO方法具有最高的精度，最小目標(biāo)函數(shù)值比DIRECT和本文方法更小，特別地，本文方法僅比EA-EBDO的最小目標(biāo)函數(shù)值大6.5%. 最后，對比幾種方法的優(yōu)化迭代次數(shù)和約束函數(shù)計算次數(shù)，本文方法計算效率高于DIRECT算法，計算量不到它的40%. EA-EBDO算法效率最低，計算量是本文方法的20多倍. 通過比較DIRECT算法、EA-EBDO算法和本文方法，可以確定本文方法能夠兼顧精度和效率的平衡.

3.3 ? 算例三

汽車正面碰撞是交通事故中導(dǎo)致乘員死亡的最主要因素. 汽車發(fā)生正面碰撞時影響駕駛員及乘客安全的主要因素是防撞梁、吸能盒和前縱梁等部件的性能. 目前，汽車行業(yè)評價汽車碰撞性能的主要指標(biāo)包括前圍板變形量、車門變形量、乘員加速度等. 本算例進(jìn)行正面碰撞安全的輕量化設(shè)計，約束包括B柱加速度、圍板侵入量和車門變形量.

圖6所示為某型轎車的正面有限元模型. 設(shè)計向量X = [X1，X2，X3，X4，X5]代表保險杠、吸能盒內(nèi)、外板和前縱梁內(nèi)、外板的厚度. 設(shè)計變量在汽車結(jié)構(gòu)中的位置如圖6所示.

根據(jù)汽車正面碰撞標(biāo)準(zhǔn)，取最大加速度峰值45g，最大前圍板侵入量220 mm，車門變形量20 mm. EBDO模型構(gòu)造如下：

min M（μX）

s.t. ?Bel（a（X）≤45）≥Rt

Bel（I1（X）≤220）≥Rt

Bel（I2（X）≤20）≥Rt

2.0≤μ1≤3.0，1.0≤μ2，μ3≤2.5

1.5≤μ4，μ5≤3.0 ? ? ? ? ?（25）

式中：M（μX）為五個碰撞關(guān)鍵件的總質(zhì)量;a（X）為B柱下端加速度;I1（X）為前圍板侵入量;I2（X）為車門變形量;Rt為目標(biāo)可靠度;μX是X的名義值向量，其BPA結(jié)構(gòu)如表5所示.

由于汽車正面碰撞有限元仿真十分耗時，為實(shí)現(xiàn)參數(shù)化和計算方便，本算例將結(jié)合拉丁超立方抽樣法，利用Kriging模型分別構(gòu)建關(guān)鍵件總質(zhì)量M（μX）、B柱下端加速度峰值a（X）、前圍板侵入量I1（X）和車門變形量I2（X）的代理模型. 對有限元模型進(jìn)行36次采樣，其中30組樣本用于構(gòu)建Kriging模型，6組樣本點(diǎn)用以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途? 代理模型的精度檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示，最大誤差分別為0.82%，7.2%，11%，8.8%，在可接受范圍.

本算例針對目標(biāo)可靠度為90%和95%兩種情況，分別進(jìn)行證據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化，結(jié)果如表7所示. 可見，當(dāng)目標(biāo)可靠度從90%變?yōu)?5%時，EBDO的優(yōu)化結(jié)果的設(shè)計變量和目標(biāo)函數(shù)值也相應(yīng)地變大，表明隨著實(shí)際可靠度的提高，各碰撞關(guān)鍵件厚度尺寸變大. 與初始設(shè)計對比，當(dāng)Rt = 90%，采用本文方法使整車質(zhì)量減少9.76%;當(dāng)Rt ?= 95%，整車質(zhì)量減少5.93%.

4 ? 結(jié) ? 論

基于證據(jù)理論的可靠性設(shè)計優(yōu)化問題的求解是雙層嵌套優(yōu)化問題，通常導(dǎo)致其在實(shí)際工程中應(yīng)用需要大規(guī)模的計算量，限制了證據(jù)理論可靠性設(shè)計方法的工程應(yīng)用. 針對該問題，本文提出了一種證據(jù)理論可靠性設(shè)計優(yōu)化（EBDO）方法. 該方法首先將證據(jù)變量轉(zhuǎn)換成概率變量，構(gòu)建等效的概率可靠性設(shè)計優(yōu)化（RBDO）模型，并使用SORA方法實(shí)現(xiàn)快速穩(wěn)定的求解;然后，基于證據(jù)理論的可靠性分析求解約束的可信度，構(gòu)建近似移動矢量和確定性優(yōu)化模型，并求解新的設(shè)計點(diǎn);最終，將EBDO的嵌套優(yōu)化轉(zhuǎn)換成由近似RBDO求解與證據(jù)理論可靠性分析組成的序列迭代過程，從而高效地求解基于證據(jù)理論的設(shè)計優(yōu)化問題. 數(shù)值算例及工程應(yīng)用驗(yàn)證了該方法能夠?qū)崿F(xiàn)計算效率與計算精度的較好平衡. 后續(xù)研究中，我們將進(jìn)一步改進(jìn)此可靠性設(shè)計方法，并將其推廣到含高維變量、較強(qiáng)相關(guān)性和較強(qiáng)非線性等特征的復(fù)雜工程問題.

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收稿日期：2021-05-12

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51805157），National Natural Science Foundation of China（51805157）;湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2019JJ40015），Natural Science Foundation of Hunan Province（2019JJ40015）

作者簡介：于俊濤（1981—），男，河南新密人，中國核電工程有限公司鄭州分公司高級工程師

通信聯(lián)系人，E-mail：zhangzhe0828@hnu.edu.cn