基于主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging模型的地下管線抗震可靠度分析

李 娜，侯本偉，杜修力，鐘紫藍(lán)，韓俊艷

(城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(北京工業(yè)大學(xué))，北京 100124)

地震作用下地下管線的破壞形式主要有三種[1]：管線接口破壞，管體破壞，在三通彎頭、閥門以及管線與地下構(gòu)筑物連接處破壞(圖1)。其中承插式管線的接口破壞是最主要的破壞形式[2]。地震對(duì)地下管線產(chǎn)生破壞的原因可分為兩類[3]：一類是永久性地面變形，如由斷層運(yùn)動(dòng)，砂土液化，滑坡等引起的場地破壞；另一類是地震波傳播過程中導(dǎo)致的土體瞬態(tài)變形。永久性地面變形造成的管線平均破壞率較高，但通常發(fā)生在局部特殊場地區(qū)域；地震波傳播造成的管線平均破壞率相對(duì)較低，但地震波動(dòng)傳播效應(yīng)對(duì)地下管線影響范圍較廣[4]。因此，地震動(dòng)對(duì)研究地下管線結(jié)構(gòu)抗震可靠度具有重要的理論和工程意義。

地震波動(dòng)作用下管線響應(yīng)問題的分析方法可分為解析法和有限元法兩大類。共同變位法[5]是最早提出的假定管體與周圍土體同步變形的地下管線抗震解析法；Shinozuka等[6]考慮管-土之間的變形滑動(dòng)，引入應(yīng)變轉(zhuǎn)換系數(shù)β來反映場地土體應(yīng)變與管線應(yīng)變之間的關(guān)系。解析法的優(yōu)點(diǎn)是概念清晰、方便應(yīng)用，缺點(diǎn)是地震動(dòng)荷載以PGV或PGA的函數(shù)表征，不能考慮地震動(dòng)頻譜特性以及不同位置處管線結(jié)構(gòu)、土體參數(shù)變化的影響。鑒于此，國內(nèi)外學(xué)者基于有限元法進(jìn)行地震作用下管線動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)分析。一種是考慮土體存在的精細(xì)化有限元模型；另一種是彈性地基梁模型[7]，將埋地管線理想化為彈性地基梁模型，管線與土體之間的相互作用簡化為管-土連接彈簧，從彈簧支座處輸入地震動(dòng)，求解管線響應(yīng)。相比于精細(xì)化模型，彈性地基梁模型物理意義明確，計(jì)算效率高，在地下管線地震分析中被廣泛應(yīng)用[8-10]。

地下管線一般埋設(shè)分布于較大的區(qū)域內(nèi)，很難準(zhǔn)確獲取管線模型中每個(gè)位置處的外部荷載、管材和土體特性參數(shù)等建模參數(shù)。因此，進(jìn)行地下管線的抗震能力分析時(shí)有必要考慮模型參數(shù)的不確定性。有限元模型進(jìn)行地下管線抗震可靠度分析時(shí)，由于結(jié)構(gòu)響應(yīng)與模型輸入之間的非線性關(guān)系難以使用顯式表達(dá)，一般采用Monte Carlo模擬方法(MCS)[11]。當(dāng)管線失效概率較小時(shí)，MCS需要大量的抽樣計(jì)算，耗時(shí)較長。很多學(xué)者使用改進(jìn)的MCS方法以期達(dá)到高效計(jì)算的目的。Tee等[12]以及Ebenuwa等[13]提出的改進(jìn)抽樣方法仍需要大量的樣本點(diǎn)，即有限元模型計(jì)算次數(shù)很多，計(jì)算量減少不明顯；Babu等[14]使用代理模型響應(yīng)面函數(shù)結(jié)合一階可靠度方法對(duì)地下管-土系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析，與上述改進(jìn)抽樣的方法相比，代理模型方法雖然求解功能函數(shù)的次數(shù)減少，但模型結(jié)果的準(zhǔn)確性取決于樣本點(diǎn)的選取，容易導(dǎo)致代理模型的計(jì)算精度不高。近年來，基于主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging代理模型法(active learning based Kriging, AK)，廣泛應(yīng)用于多種工程可靠度分析[15-17]，主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging代理模型方法僅需少量的樣本模型計(jì)算便可達(dá)到較準(zhǔn)確的可靠度分析結(jié)果，對(duì)于由大量管線構(gòu)成的實(shí)際城市地下管網(wǎng)系統(tǒng)的抗震可靠度計(jì)算具有重要的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值，但該方法在管線抗震可靠度問題的適用性尚待研究。本文采用AK-MCS方法研究地下管線抗震可靠度問題，分析Kriging模型方法的適用性和計(jì)算效率，以期為地下管網(wǎng)抗震可靠度計(jì)算提供依據(jù)。

圖1 地震造成的地下管線破壞Fig.1 Damage to buried pipelines caused by earthquakes

1 地下管線地震響應(yīng)分析模型

承插式接口地下管線地震反應(yīng)分析模型如圖2所示。模型由管道、管道接口彈簧和模擬“管-土”相互作用的土彈簧組成，地震動(dòng)位移時(shí)程從土彈簧底部輸入。地震動(dòng)行波作用下，由于承插式管道接口剛度較小，管道接口承擔(dān)了大多數(shù)的變形和轉(zhuǎn)角，而管道結(jié)構(gòu)本身的變形較小。因此，在圖2的分析模型中，地下管道采用彈性梁單元模擬，邊界條件采用與Shi[8]和Kuwate等[9]類似的處理方式，即管線兩端無約束；每根管道單元通過兩個(gè)土彈簧與土體連接；在土彈簧底部輸入沿管道軸向的地震動(dòng)位移時(shí)程；采用管道接口相對(duì)位移的允許值作為管線結(jié)構(gòu)安全性的判別準(zhǔn)則。圖2中的管道長度L通常為3～6 m，管道接口長度與管道單元長度相比可忽略不計(jì)，但為了確保有限元模型數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，參照Shi[8]和Liu等[18]的方法，本文分析模型中設(shè)置管道接口長度為ΔL。沿管道軸向的土彈簧采用圖3(a)所示的雙折線模型[19-20]，圖3(a)顯示了土體對(duì)單位長度管道的剪切力f和管道-土體相對(duì)位移之間的關(guān)系，在管-土相對(duì)位移≤δs(土彈簧的彈性極限位移)時(shí)線性上升到fy(管-土軸向彈性極限摩擦力)，當(dāng)管-土相對(duì)位移>δs后，土體傳遞給單位長度管道的剪切力為常數(shù)fy。fy的表達(dá)式為[19]：

(1)

式中：K0為土的靜止側(cè)向土壓力系數(shù)(回填溝管道一般為0.5≤K0≤1.0);γ為土體容重(N/m3);H為管道中心線的埋深(m);D為管道外徑(m);φ為砂土內(nèi)摩擦角(通常取值范圍為25°～45°);Su為周圍土體的不排水抗剪強(qiáng)度，對(duì)于淺埋且回填壓實(shí)黏土中的管線,Su的取值范圍為25～60 kN/m2;α是決定管道與土體黏結(jié)程度的黏附因子，可由Su的數(shù)值估算出來[19]。

圖2 地下管線有限元模型示意Fig.2 Schematic of finite element model of buried pipeline

圖3(b)為反映管道接口軸向拉拔力與相對(duì)位移關(guān)系的折線模型，當(dāng)接口兩側(cè)管道端點(diǎn)相對(duì)位移≤δJ(接口彈性極限位移)時(shí)，接口受到的拉拔力呈線性上升；當(dāng)接口相對(duì)位移>δJ后，接口拉拔力為彈性極限拉力常數(shù)(FJ)。

圖3 力與相對(duì)位移的彈塑性關(guān)系Fig.3 Elastoplastic relationship between force and relative displacement

一般認(rèn)為埋設(shè)在土體中的地下管線結(jié)構(gòu)在地震波動(dòng)作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)主要受管線周圍土體變形的控制，管線結(jié)構(gòu)的慣性力可以忽略不計(jì)[5]。簡化計(jì)算公式得到的地震波動(dòng)作用下承插式管線接口的張開量可表示為[3]

(2)

式中：εg為土體應(yīng)變;L為管道長度(m);Va為地震波傳播方向上的最大水平土體質(zhì)點(diǎn)速度(m/s);Ca為地震波的傳播速度(m/s)[3,10]。本文中地下管線的非一致地震動(dòng)主要考慮地震動(dòng)的行波效應(yīng)，地震波在土體的運(yùn)動(dòng)傳播過程中保持波形和振幅不變，沿地震波傳播路徑上距離為ΔX的兩個(gè)土體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的加速度、速度和位移時(shí)程均只存在一個(gè)時(shí)滯Δt[10,21]：

(3)

式中ΔX為土體中兩個(gè)位置點(diǎn)間的直線距離(m)。

2 地下管線抗震可靠度分析方法

2.1 隨機(jī)變量及其分布類型

在地下管線的抗震分析模型中，地震動(dòng)、接口彈簧、土體類型、管線結(jié)構(gòu)等參數(shù)的隨機(jī)性導(dǎo)致了管線抗震安全性分析結(jié)果的不確定性。Manolis等[22]在研究地下管線在土體中的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，將土體密度和摩擦角作為隨機(jī)變量；Ebenuwa等[13]進(jìn)行埋地鋼管的抗震可靠度分析時(shí)，將土體黏聚力、容重，管道容重、埋深、楊氏模量、壁厚等參數(shù)作為隨機(jī)變量；Wijaya等[23]進(jìn)行不確定性條件下埋地分段式管線地震反應(yīng)分析時(shí)，將黏性土的密度、黏聚力和內(nèi)摩擦角視為相關(guān)的隨機(jī)變量，同時(shí)認(rèn)為管道滲漏極限接口容許位移為正態(tài)分布隨機(jī)變量；Jahangiri等[24]對(duì)15組不同埋深與管徑比、場地條件和鋼材型號(hào)的埋地鋼管進(jìn)行了地震波動(dòng)作用下的IDA分析；Shi[8]在研究地震波在埋地分段管道中的傳播效應(yīng)時(shí)，考慮了峰值地面應(yīng)變、管道接口特性的變化規(guī)律，認(rèn)為管道滲漏極限接口容許位移是接口插入深度的0.52倍，變異系數(shù)為10%。綜上，管線結(jié)構(gòu)性能在很大程度上取決于管土相互作用和接口容許位移。綜合上述文獻(xiàn)的參數(shù)選取，本文選擇管道參數(shù)(接口允許位移、管道埋深)，土體參數(shù)(容重、內(nèi)摩擦角)作為管線模型可靠度分析的隨機(jī)變量。

2.2 地下管線結(jié)構(gòu)安全判別準(zhǔn)則

圖2所示的管線模型中，在地震動(dòng)位移時(shí)程荷載作用下，不同管道接口的位移響應(yīng)是隨時(shí)間變化的隨機(jī)過程g(x,t)：

g(x,t)=R(x)-S(x,t)

(4)

式中：R(x)表示管道接口容許位移值；S(x,t)表示地震動(dòng)荷載輸入下，t時(shí)刻的管接口的相對(duì)位移響應(yīng)值;x為管線結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析模型中不確定性參數(shù)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量。

若地震動(dòng)位移時(shí)程的持時(shí)為Ts，根據(jù)動(dòng)力可靠度的首次超越失效準(zhǔn)則，式(4)中隨機(jī)過程g(x,t)在時(shí)段[0,Ts]內(nèi)進(jìn)入失效域g(x,t)≤0的概率表示為

Pf=prob{g(x,t)≤0, ?t∈[0,Ts]}

(5)

Pf=prob{G(x)≤0}=

(6)

式中q(x)為隨機(jī)變量集x的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

2.3 基于Monte Carlo模擬的可靠度計(jì)算

(7)

式中：x(k) =[x1(k),x2(k),x3(k), …,xn(k)]為第k次模擬抽樣得到的x樣本值；I取值為{0,1}的函數(shù)，當(dāng)G(x(k))≤0時(shí)，I[G(x(k))]=1，否則=0。

3 主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging代理模型計(jì)算管線可靠度

3.1 構(gòu)建Kriging代理模型

Kriging代理模型一般包含兩部分：回歸部分和隨機(jī)誤差[25]。對(duì)于k個(gè)樣本點(diǎn)初始樣本集(design of experiment, DoE)，輸入變量樣本點(diǎn)X=[x1,x2, …,xk]T及其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值(輸出變量)Y=[S(x1),S(x2), …,S(xk)]T，采用Kriging模型表示的輸出變量S(x)與輸入變量x之間的表達(dá)式為

(8)

式中：每個(gè)樣本點(diǎn)中輸入變量的個(gè)數(shù)為n，x=[x1,x2, …,xn]T，f(x)=[f1(x),f2(x) , …,fm(x)]T為回歸多項(xiàng)式基函數(shù)向量，m為回歸多項(xiàng)式的數(shù)量；β=[β1,β2, …,βm]T為多項(xiàng)式參數(shù)向量；z(x)為服從正態(tài)分布N(0,σ2)的隨機(jī)過程，其協(xié)方差方程為

cov(z(xi),z(xj))=σ2R(xi,xj)

(i,j=1,2,3,…,k)

(9)

式中R(xi,xj)為任意2個(gè)樣本點(diǎn)xi和xj的空間相關(guān)方程，通常采用高斯相關(guān)方程，其表達(dá)式為

(10)

(11)

式中R為相關(guān)矩陣，元素Rij=R(xi,xj) (i,j=1, 2, …,k)。

基于給定的樣本點(diǎn)，多項(xiàng)式參數(shù)向量β與隨機(jī)過程方差σ2的估計(jì)值計(jì)算式分別為

(12)

式中F為由回歸多項(xiàng)式函數(shù)值構(gòu)成的矩陣，其中元素Fij=fj(xi)，且有i=1, …,k；j=1, …,m。

式中u=FTR-1r0-f。本文進(jìn)行管線結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析時(shí)，式(8)～(13)中應(yīng)用Kriging模型構(gòu)建和模型預(yù)測應(yīng)用的過程，采用MATLAB軟件支持開發(fā)的Kriging模型工具包DACE實(shí)現(xiàn)[26-27]。

3.2 主動(dòng)學(xué)習(xí)更新Kriging代理模型

在采用Monte Carlo方法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度時(shí)，采用式(8)～(13)的Kriging代理模型預(yù)測抽樣樣本的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，可以減少抽樣樣本結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算次數(shù)，從而加速M(fèi)onte Carlo方法的求解速度。為了保證可靠度計(jì)算的準(zhǔn)確性，一般需要較多的初始樣本點(diǎn){X;Y}建立精度較高的Kriging模型；而初始樣本點(diǎn){X;Y}的建立，仍然需要較多的計(jì)算量。為了提高Kriging模型的精度和計(jì)算效率，近年來發(fā)展了采用主動(dòng)學(xué)習(xí)方法逐步提高Kriging模型精度的方法，僅需少量的樣本就可構(gòu)造精度較高的Kriging模型，也即：根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)選擇最佳樣本點(diǎn)，增補(bǔ)該樣本點(diǎn)后更新擬合Kriging模型，迭代多次更新以提升Kriging代理模型的精度。

為使Kriging模型不斷優(yōu)化，Echard等[28]提出了類似可靠度指標(biāo)的定義學(xué)習(xí)函數(shù)U評(píng)價(jià)樣本點(diǎn)x對(duì)于現(xiàn)有Kriging模型的潛在影響：

(14)

(15)

本文采用Echard提出的min{U(x)}≥2作為Kriging模型停止學(xué)習(xí)準(zhǔn)則，通過式(15)得到x*。

3.3 基于AK-MCS的管線抗震可靠度計(jì)算

在管線結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的有限元模型中，管線接口響應(yīng)與荷載、場地和管道屬性參數(shù)之間的關(guān)系難以顯式表達(dá)?；?.3節(jié)和3.2節(jié)的描述，采用主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging代理模型(active learning based Kriging, AK)結(jié)合Monte Carlo隨機(jī)模擬的方法(AK-MCS)計(jì)算地下管線的抗震動(dòng)力可靠度的流程如圖4所示。具體計(jì)算步驟如下：

步驟1：在隨機(jī)變量的x取值空間中使用拉丁超立方抽樣方法(LHS)隨機(jī)生成包含m個(gè)自變量樣本的輸入樣本集X。根據(jù)初始樣本的物理參數(shù)取值，利用ABAQUS軟件構(gòu)建管線有限元模型，并計(jì)算管線接口的最大位移響應(yīng)值，作為初始樣本X對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)響應(yīng)值Y，此響應(yīng)值為所有時(shí)間范圍內(nèi)接口位移最大值。其中，初始樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)m≥(n+1)(n+2)/2[29]，n為隨機(jī)變量個(gè)數(shù)。初始樣本X和響應(yīng)值Y作為Kriging模型的訓(xùn)練樣本集DoE。

步驟2：基于訓(xùn)練樣本集DoE，采用MATLAB的DACE工具箱實(shí)現(xiàn)式(8)～(12)的計(jì)算過程，構(gòu)建管線接口位移響應(yīng)安全狀態(tài)的Kriging模型。其中，Kriging模型的回歸部分為一次多項(xiàng)式，相關(guān)函數(shù)為高斯函數(shù)。

步驟3：使用MC抽樣產(chǎn)生N個(gè)自變量樣本點(diǎn)XN，利用構(gòu)建的Kriging模型求得自變量樣本點(diǎn)XN對(duì)應(yīng)的管線接口位移響應(yīng)預(yù)測值和預(yù)測方差(式(13))。計(jì)算這些樣本點(diǎn)的學(xué)習(xí)函數(shù)值U(式(14))，并從中挑選學(xué)習(xí)函數(shù)最小值(Umin)對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)x*(式(15))作為最佳樣本點(diǎn)。

步驟4：如果最佳樣本點(diǎn)自變量x*的學(xué)習(xí)函數(shù)值滿足學(xué)習(xí)停止條件Umin=U(x*)≥2，則構(gòu)建Kriging模型的主動(dòng)學(xué)習(xí)過程結(jié)束，轉(zhuǎn)步驟5；否則，建立最佳樣本點(diǎn)自變量x*對(duì)應(yīng)的管線有限元模型，計(jì)算管線接口位移響應(yīng)真實(shí)值S(x*)，將{x*,S(x*)}加入Kriging模型訓(xùn)練樣本集DoE中，轉(zhuǎn)步驟2。

步驟5：主動(dòng)學(xué)習(xí)過程結(jié)束，當(dāng)前Kriging模型即為滿足精確需求的模型。根據(jù)步驟3計(jì)算得到XN對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)值，利用式(7)求得管線地震失效概率Pf的估計(jì)值。

圖4 AK-MCS方法求解管線抗震可靠度流程圖Fig.4 Flow chart for seismic reliability evaluation of pipeline by AK-MCS method

4 算例分析

4.1 算例參數(shù)

根據(jù)圖2所示的管線模型，在ABAQUS有限元軟件中建立了承插式接口球墨鑄鐵管線的地震反應(yīng)分析模型，沿管線軸向輸入地震動(dòng)荷載。管線結(jié)構(gòu)參數(shù)和周圍覆土的參數(shù)見表1，其中管線周圍土體為無黏性回填土，根據(jù)式(1)可算得土彈簧的軸向彈性極限力fy=20.5 kN/m。管道外徑61 cm和周向土體抗拉能力0.15 kN/mm，計(jì)算得接口的彈性極限拉力FJ=287 kN。土彈簧和接口軸向彈簧建模采用圖3所示的折線模型，土彈簧的彈性極限位移δs=0.3 cm，接口軸向彈簧的彈性極限位移δJ=0.25 cm[8]。根據(jù)2.1節(jié)的分析，本節(jié)進(jìn)行管線抗震可靠度算例分析時(shí)，選擇的模型不確定性參數(shù)及其分布特征見表2。

表1 管線有限元模型參數(shù)Tab.1 Finite element model parameters of pipeline

表2 管線模型中隨機(jī)變量參數(shù)及其概率分布參數(shù)Tab.2 Random variables and corresponding distribution properties in pipeline model

為分析地震動(dòng)頻譜特性對(duì)管線地震反應(yīng)的影響，本節(jié)沿管線軸向輸入正弦波、EL-Centro記錄以及汶川安縣地震動(dòng)位移時(shí)程記錄。其中，正弦波位移時(shí)程的參數(shù)為沿管道軸向最大速度Va=30 cm/s(中國地震烈度VIII度)，傳播速度Ca=120 m/s，周期T=3.5 s，持時(shí)28 s，此參數(shù)與1985年Michoacan地震[30]中產(chǎn)生大量管線破壞的面波特征相似。EL-Centro地震動(dòng)時(shí)程取自1940-05-19 Imperial Valley 南北向地震動(dòng)記錄，持時(shí)40 s，將地震動(dòng)速度時(shí)程調(diào)幅至Va=30 cm/s；汶川安縣地震動(dòng)時(shí)程取自2008-05-12 安縣地震動(dòng)記錄，將地震動(dòng)速度時(shí)程調(diào)幅至Va=30 cm/s，積分得到位移時(shí)程。為體現(xiàn)非一致地震動(dòng)輸入的影響，圖2所示的管線不同位置處的土彈簧底部輸入的地震動(dòng)之間的時(shí)間延遲采用式(3)計(jì)算。

本節(jié)算例中不同工況的模型和荷載參數(shù)見表3。為了驗(yàn)證本文分析模型的正確性，工況1采用與Shi[8]相同的模型參數(shù)，即：管線總長3 660 m，單根管道長度4.55 m，地震動(dòng)位移荷載為沿管線軸向分布的靜力荷載。參數(shù)研究表明接口長度對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響很小，為了數(shù)值模擬的穩(wěn)定性，模型中接口長度設(shè)置為2.5 cm。管道服役年限增加、接口膠圈老化等原因均可能導(dǎo)致管道接口抗拉拔能力下降，Shi[8]和Zhong等[10]研究了管線模型中間存在一個(gè)薄弱接口對(duì)管線結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。本節(jié)假定管線模型中間位置處的接口為薄弱接口，工況2～8計(jì)算了中間位置處接口的彈性極限拉力為FW={0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0}×FJ的不同結(jié)果。根據(jù)《連續(xù)鑄鐵管》[31]，國內(nèi)承插式接口球墨鑄鐵管道的有效長度一般為6 m，因此工況3～8中管道長度取為6 m。

表3 地下管線地震反應(yīng)分析工況Tab.3 Analysis for seismic responses of buried pipeline in different cases

4.2 地下管線的地震響應(yīng)

確定性模型參數(shù)工況1的計(jì)算結(jié)果見圖5。圖5(a)繪制了沿管線長度上各點(diǎn)處的輸入位移和管線位移響應(yīng)(土彈簧兩個(gè)端點(diǎn)的軸向位移)。由圖5(b)可看出管線隨著土體位移一起變形，管道中間位置土節(jié)點(diǎn)的位移等于管道節(jié)點(diǎn)位移。圖5(c)是沿管線長度方向的管道應(yīng)變，管道應(yīng)變從0開始線性增加，直到接口軸向力達(dá)到接口的抗拉能力時(shí)，管道應(yīng)變趨于穩(wěn)定。圖5(d)是沿管線長度方向的接口張開量，接口張開量從0到0.25 cm(接口彈性位移極限)呈線性增加，之后的變化呈正弦曲線趨勢，最大接口位移約1.10 cm。工況1與Shi[8]的模型采用相同的參數(shù)，計(jì)算結(jié)果與Shi[8]相同，驗(yàn)證了本文管線分析模型的正確性。

本文采用的管線分析模型(圖2)的兩側(cè)端點(diǎn)處(0 m和3 660 m)并未設(shè)置端部約束，對(duì)于考慮位移時(shí)程荷載非一致輸入的工況1和工況2，管道接口最大張開量分布如圖6所示。由圖6中工況1的結(jié)果可知，接口最大張開量從管道兩端開始逐漸增大，經(jīng)過一定距離(約20 m)后達(dá)到穩(wěn)定值，管線中部接口最大張開量值基本相同(約為1.10 cm)(圖6)，這與Liu等[18]的結(jié)論一致。根據(jù)圖6中的結(jié)果，可知兩個(gè)工況的邊界條件影響區(qū)域的接口位移變化規(guī)律相同、中間區(qū)域的管線接口最大位移響應(yīng)相等，可認(rèn)為本文承插式接口管線模型兩側(cè)約20 m范圍為邊界條件影響區(qū)域。若將管線建模長度選擇在300 m左右，仍可得到不受邊界條件影響的管線接口的位移響應(yīng)，從而縮小管線模型的計(jì)算量。

圖5 工況1計(jì)算結(jié)果Fig.5 Pipeline response in case 1

圖6 工況1與工況2(FW=FJ)沿管線長度的接口張開量比較Fig.6 Comparison of axial joint opening between case 1 and case 2(FW=FJ)

對(duì)于管線中部存在薄弱接口時(shí)，圖7給出了工況2～5中薄弱接口最大張開量隨接口剛度變化的關(guān)系。由圖可知，薄弱接口張開量隨著FW減小而近似線性增加；與工況2計(jì)算結(jié)果相比，工況3管道長度6 m對(duì)薄弱接口張開量的影響更大；工況3(正弦波)、工況4(EL-Centro波)、工況5(汶川安縣波)的弱接口張開量不相等，而根據(jù)式(2)可算得三種工況的解析結(jié)果相等，說明接口張開量不僅受地震波峰值影響，頻譜特征不同也會(huì)引起接口張開量不同，體現(xiàn)出進(jìn)行管線地震動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)分析的重要性。

4.3 地下管線的抗震可靠度

分別采用2.3節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)Monte Carlo模擬(MCS)方法、3.3節(jié)的基于主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging模型的Monte Carlo模擬方法(AK-MCS)計(jì)算工況6～8中管線模型的抗震可靠度。在工況6～8的可靠度算例模型中，隨機(jī)變量參數(shù)個(gè)數(shù)為n=4。根據(jù)3.3節(jié)步驟1的描述，構(gòu)建Kriging代理模型所需要的最小為初始樣本點(diǎn)為m≥15。為了增加初始樣本點(diǎn)的代表性，本節(jié)采用拉丁超立方抽樣產(chǎn)生m=20個(gè)初始樣本點(diǎn)建立初始Kriging模型。步驟3中MC抽樣個(gè)數(shù)為N=1 000，生成自變量樣本點(diǎn)，利用Kriging模型預(yù)測響應(yīng)值(接口最大張開量)。

圖7 工況2～5中間薄弱接口張開量Fig.7 Opening of middle weak joint in cases 2-5

表4給出了在工況7(FW=0.4FJ)中使用AK-MCS方法計(jì)算不同樣本點(diǎn)的管線失效概率及直接采用MCS方法的失效概率結(jié)果，將MCS方法計(jì)算結(jié)果視為“精確解”。有限元計(jì)算次數(shù)是指需要調(diào)用ABAQUS有限元軟件執(zhí)行管線計(jì)算的次數(shù)。

由表4可知，當(dāng)采用初始樣本個(gè)數(shù)m=20，基于此樣本點(diǎn)所建立的Kriging模型進(jìn)行可靠度評(píng)估計(jì)算的失效概率為0.112，計(jì)算的相對(duì)誤差為9.80%，誤差較大，說明所建立的模型精度有待進(jìn)一步提高。該模型通過主動(dòng)學(xué)習(xí)，增加新的樣本點(diǎn)至初始樣本集，重新構(gòu)建Kriging模型。當(dāng)樣本點(diǎn)達(dá)到23時(shí)，其失效概率相對(duì)誤差降低至3.92%，此時(shí)Kriging模型符合精度要求。為驗(yàn)證所建立的模型精確性，圖8比較了Kriging模型預(yù)測值與真實(shí)響應(yīng)值。圖8(a)是通過初始樣本點(diǎn)構(gòu)建的Kriging模型，圖8(b)是經(jīng)過主動(dòng)學(xué)習(xí)后的Kriging模型?？梢钥闯?，經(jīng)過主動(dòng)學(xué)習(xí)的Kriging模型預(yù)測得到的響應(yīng)值基本接近真實(shí)值，兩者響應(yīng)值的相對(duì)差值也逐漸變小，說明構(gòu)建的Kriging模型是準(zhǔn)確的。

表4 MCS與AK-MCS的可靠度結(jié)果(工況7(FW=0.4FJ))Tab.4 Reliability of MCS method and AK-MCS method(case 7(FW=0.4FJ))

表5為MCS方法和AK-MCS方法的地下管線抗震可靠度計(jì)算結(jié)果對(duì)比。在FW=FJ時(shí)，從圖7可知此時(shí)管線接口最大張開量遠(yuǎn)小于接口允許位移(5.2 cm)，三種地震波的失效概率均為0。在不同地震波作用下，隨著弱接口抗拉能力的減小，管線的失效概率均逐漸增大。需要說明的是，盡管表5中工況6～8采用相同的地震動(dòng)參數(shù)(Va=30 cm/s和Ca=120 m/s)，由于地震動(dòng)荷載時(shí)程的周期成分不同，導(dǎo)致管線的地震反應(yīng)和抗震可靠度計(jì)算結(jié)果差異較大。而按照式(2)的簡化方法計(jì)算接口張開量，計(jì)算結(jié)果保持不變，不能體現(xiàn)管線薄弱接口剛度變化、地震動(dòng)周期成份對(duì)管線地震反應(yīng)的影響，因此建立地下管線結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)分析模型是進(jìn)行管線抗震可靠度分析的必要支撐。

表5 AK-MCS和MCS計(jì)算的管線失效概率Tab.5 Pipeline failure probability evaluated by AK-MCS method and MCS method

由表5可以看出，AK-MCS方法得到的管線失效概率Pf與MCS方法的Pf相對(duì)誤差(|MCS-AK-MCS|/MCS)為0.00%～3.92%，而AK-MCS方法的計(jì)算時(shí)間僅為MCS方法的2%；同時(shí)，其計(jì)算有限元次數(shù)僅為MCS方法的2%左右。因此，對(duì)于地下管線抗震可靠度計(jì)算問題，AK-MCS方法是一種準(zhǔn)確且高效的計(jì)算方法。

5 結(jié) 論

地下管線結(jié)構(gòu)的抗震可靠度分析是管線抗震安全性評(píng)估的重要內(nèi)容。本文主要考慮土體、管道結(jié)構(gòu)等參數(shù)的不確定性，采用主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging模型可靠度方法(AK-MCS)對(duì)地下承插式球墨鑄鐵管線進(jìn)行抗震可靠度評(píng)價(jià)，得出的主要結(jié)論如下：

1)本文算例結(jié)果表明，AK-MCS法所得的管線失效概率與標(biāo)準(zhǔn)Monte Carlo模擬方法的相對(duì)差值在5%以內(nèi)；AK-MCS法中有限元模型計(jì)算次數(shù)和計(jì)算時(shí)間約為標(biāo)準(zhǔn)Monto Carlo模擬方法的2%左右。表明采用AK-MCS法計(jì)算地下管線抗震可靠度是可行且高效的。

2)當(dāng)?shù)卣鹆叶葹棰?VPG=30 cm/s)時(shí)，新建成的承插式球墨鑄鐵管線接口失效概率為0，管線處于安全狀態(tài)；隨著管道服役年限增加、接口膠圈老化等，管線接口的抗拉拔能力下降到原接口的60%時(shí)，管線失效概率顯著上升。因此，進(jìn)行現(xiàn)役管線的抗震可靠度分析時(shí)，需要注意管線接口模型剛度的合理性。

3)由于地震動(dòng)時(shí)程的頻譜成份不同，不同地震動(dòng)導(dǎo)致的地下管線地震反應(yīng)結(jié)果差異顯著。僅利用公式簡化方法計(jì)算的接口張開量，不能體現(xiàn)管線薄弱接口剛度變化、地震動(dòng)周期成分對(duì)管線地震反應(yīng)的影響，因此建立地下管線的地震動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)分析模型是進(jìn)行管線抗震可靠度分析的必要支撐。