三種顏色就是三種可能嗎

文|朱榮武

【問題凝視】

在四年級上冊“可能性”新知識學(xué)完后的練習(xí)中，幾乎所有的學(xué)生都會出現(xiàn)這樣的錯誤：

問：袋子中裝有1個紅球、2個白球和3個黃球。從中任意摸出一個，摸出的可能結(jié)果有幾種？

答：3種，紅球、白球和黃球。

更有甚之，將這一問題推到成人之中，出錯的人也占大多數(shù)。

袋子中球的顏色只有三種，從中任意摸出一個，為什么摸出的可能結(jié)果不是三種呢？不是三種，那該是幾種呢？面對這樣的錯誤，教師該何去何從呢？

【成因透視】

一、生活經(jīng)驗負(fù)遷移

生活中，顏色是區(qū)分不同事物或同類事物不同屬性的常用標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生對此已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗并應(yīng)用嫻熟。比如黑色和白色是截然不同的兩種顏色、綠旗和綠旗是同一種顏色的旗子；再比如“紅燈停綠燈行”的規(guī)則中不同顏色代表的不同行為等。顏色不同即種類不同，這一認(rèn)知學(xué)生確信無疑。因此，在上述問題情境中學(xué)生堅決認(rèn)為“摸出的可能結(jié)果有3種”也在情理之中。同時，相關(guān)的學(xué)習(xí)活動也在無形中強(qiáng)化著學(xué)生的這一判斷視角。例如（如下圖），可能摸出的無外乎兩種顏色的球——紅球和黃球。

二、核心概念建構(gòu)不準(zhǔn)

義務(wù)教育階段涉及的概率內(nèi)容都屬于古典概型，即在事件發(fā)生的結(jié)果有限且等可能的前提下，若所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為n，事件A實際發(fā)生的結(jié)果數(shù)為m，那么事件A發(fā)生的概率為。由此看定義概率必需兩個關(guān)鍵數(shù)據(jù)——所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)n和事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)m。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對第二學(xué)段隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性雖未作“定量描述”的要求，但要求“感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性做出定性描述”。這里，描述的前提仍是清楚地知曉“事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)”，但相關(guān)的教學(xué)活動卻未能實現(xiàn)對這一核心概念的準(zhǔn)確建構(gòu)。比如例1后的“試一試”（如下圖），盡管教材有意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)為“2”——“這個紅球和那個紅球”，但由于情境內(nèi)涵不充分，因此學(xué)生仍然是通過顏色來做出判斷——“因為只有一種顏色即紅色，所以摸出的一定是紅球”。學(xué)生雖然經(jīng)歷了相關(guān)活動，但始終是在數(shù)學(xué)本質(zhì)的邊緣游離，核心概念尚未建立。相反，這也從另一方面強(qiáng)化了學(xué)生依據(jù)“顏色”判斷種數(shù)的負(fù)面經(jīng)驗。

【出路審視】

一、立足生活經(jīng)驗提升數(shù)學(xué)理解，修正認(rèn)識偏差

“所有的學(xué)習(xí)都涉及到原有經(jīng)驗的遷移……用先前經(jīng)驗去建構(gòu)理解，學(xué)生也會誤解新信息……教師可以通過幫助學(xué)生使其思維可視化來糾正錯誤并鼓勵學(xué)生超越具體問題去思考，了解問題的各種變化，改變他們的原初概念。”因此，教學(xué)中要正視和尊重這些經(jīng)驗，準(zhǔn)確甄別、合理利用，恰當(dāng)組織教學(xué)活動，引領(lǐng)學(xué)生在比較、反省、順應(yīng)、重構(gòu)等活動中獲得新的發(fā)展?！安煌念伾词遣煌姆N類，有幾種顏色就有幾種可能”，這些經(jīng)驗在學(xué)生頭腦中根深蒂固、深信不疑。針對這一學(xué)情，一方面需要創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生充分釋放“根據(jù)經(jīng)驗表達(dá)交流”的過程；另一方面要基于上位知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)引領(lǐng)學(xué)生看到不一樣的“結(jié)局”，讓認(rèn)識過程和認(rèn)識結(jié)果上的“矛盾”引發(fā)學(xué)生的深思，并在“有意義接受”的過程中實現(xiàn)從生活概念向數(shù)學(xué)概念的蛻變，最終獲得數(shù)學(xué)理解——判斷可能的結(jié)果種數(shù)不是根據(jù)顏色種數(shù)而是根據(jù)球的個數(shù)。有幾個球，任意摸出一個球就有幾種可能。

二、多層建構(gòu)古典概型感悟本質(zhì)，重塑認(rèn)知結(jié)構(gòu)

古典概型本質(zhì)上是一種定義概率，是在理想化的背景下來研究的，即如果事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為n，那么每個結(jié)果的可能性的大小都是。比如，袋中有5個球，從中任意摸出1個球，摸到的必然是這5個球中的1個，每個球被摸到的可能性就是。因此不管球的顏色有幾種，事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)就是5，即球的個數(shù)對應(yīng)的就是可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。鑒于學(xué)生“頑固”的生活經(jīng)驗干擾，怎樣讓學(xué)生從依據(jù)“顏色種數(shù)”確定“可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)”轉(zhuǎn)變到依據(jù)“物體個數(shù)”來確定“可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)”，并認(rèn)同其合理性進(jìn)而接納這一“標(biāo)準(zhǔn)”便成為教學(xué)活動的關(guān)鍵。教學(xué)中可以采用由簡到繁的策略導(dǎo)引可視化思維，先研究簡單的“單色”古典概型，再研究稍復(fù)雜的“多色”古典概型，讓學(xué)生在多層次的判斷、表達(dá)、比較和抽象等思維活動中逐步突破“顏色干擾”，感悟古典概型的本質(zhì)，掌握確定“事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)”的方法，在“順應(yīng)”的思維活動中形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【片斷重構(gòu)】

片斷一：單色古典概型

1.激活經(jīng)驗，暴露真實思維。

教師呈現(xiàn)裝有2個大小一樣的紅球的袋子，問：從中任意摸出一個球，可能摸出什么球？

生：摸出的一定是紅球。因為袋子中的球全是紅球。

生：是的。雖然袋子中有2個球，但都是紅顏色的，所以無論摸出哪個球都是紅球。

師：那你們覺得從袋子中任意摸出一個球，可能摸出的結(jié)果有幾種？

生：1種，紅球。

2.逼近本質(zhì)，引發(fā)思維碰撞。

教師將袋中的2個紅球分別呈現(xiàn)出編號后，問：這兩個球和剛才的球比，有什么變化？

生：剛才的2個球沒有編號，現(xiàn)在2個球都有了編號。

生：球還是原來的那2個球，就是多了編號。

師：是的。這里球的顏色、大小等都沒變，就是多了編號，就好比每個球都有了自己的名字，這樣就好區(qū)分這兩個球了，分別是1號球、2號球。咦！現(xiàn)在從中任意摸出一個球，可能摸出的結(jié)果有幾種？

生：還是1種，紅球。

生：也可以說是2種。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了不同意見。同學(xué)們都來猜一猜：這位同學(xué)認(rèn)為也可以說是2種，他可能是怎樣想的呢？

生：他是想可能摸出1號球，也可能摸出2號球，所以是2種。

生：我不同意！無論是摸出哪號球，都是紅球，結(jié)果還是1種。

生：我覺得從顏色上來看的話，是1種可能。但實際摸的話，可能摸到1號紅球，也可能摸到2號紅球……

師：大家說的好像都有道理，究竟可能摸出的結(jié)果有幾種呢？

（學(xué)生開始議論紛紛，但還是拿不定主意）

師：雖然這兩個球顏色大小都相同，但它們還是有區(qū)別的兩個球。任意摸出一個的話，可能是1號紅球，也可能是2號紅球，所以在數(shù)學(xué)上我們認(rèn)為這時可能摸出的結(jié)果有2種。這時要從個數(shù)上來判斷而不是從顏色上來判斷。

片斷二：多色古典概型

1.遷移說理。

教師呈現(xiàn)裝有1個白球、2個黃球、3個紅球的袋子，6個球上分別隨機(jī)寫有①~⑥六個編號。問：從中任意摸出一個球，可能摸出的是幾號球？有幾種可能的結(jié)果？寫一寫。

生：有6種可能的結(jié)果，因為從1號球到6號球，每一號球都有可能被摸到。

師：現(xiàn)在將這些編號去掉。還是從中任意摸出一個球，有幾種可能的結(jié)果？

生：還是6種，因為6個球中每一個球都有可能被摸到。

師：為什么不是3種呢？

生：因為雖然是3種顏色，但一共有6個球，就應(yīng)該是有6種可能。

生：同一種顏色的球有幾個算幾個。比如2個黃球雖然顏色相同，但還是有區(qū)別的2個球。

2.類比歸納。

（1）教師將袋子中的6個球分別變?yōu)榘?、黃、紅、藍(lán)、綠五種顏色和白、黃、紅、藍(lán)、綠、紫六種顏色，問：從中任意摸出一個球，有幾種可能的結(jié)果？

生：都是6種。因為雖然顏色的數(shù)量變了，但球的總個數(shù)沒變。

（2）教師呈現(xiàn)裝有2紅、2綠、3藍(lán)7支鉛筆的袋子，問：任意摸出一支，有幾種可能的結(jié)果？

生：7種。7支鉛筆每一支都有可能被摸到。

（3）教師呈現(xiàn)紅桃A、紅桃2、紅桃3、黑桃4四張牌，然后背面朝上打亂次序。問：從中任意摸出一張，有幾種可能的結(jié)果？

生：4種，分別是紅桃A、紅桃2、紅桃3、黑桃4。

3.抽象概括。

師：通過以上的學(xué)習(xí)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：有幾個物體，任意摸出一個就有幾種可能。

生：判斷可能摸出的種數(shù)不能看顏色，因為顏色和大小都相同的物體還是有區(qū)別的不同物體。

本例中，學(xué)生出錯的根本原因在于其以顏色作為分類標(biāo)準(zhǔn)的先前經(jīng)驗和對概率知識的未知。但細(xì)思之，學(xué)生此時已經(jīng)具有了關(guān)于概率的直觀經(jīng)驗和直覺感受，其對相關(guān)結(jié)果的判斷正是基于這種直覺和經(jīng)驗進(jìn)行理解、建構(gòu)的“正常行為”,只不過這種直覺、經(jīng)驗在當(dāng)下有悖于數(shù)學(xué)知識現(xiàn)實而已。事實上，在學(xué)生漫長的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中，類似的“用先前經(jīng)驗去建構(gòu)理解而誤解新信息”的“正常行為”很多，比如學(xué)生根據(jù)乘法分配律模型“（a+b）×c=a×c+b×c”發(fā)現(xiàn)“（a+b）÷c=a÷c+b÷c”是對的，于是認(rèn)為：因為“a×（b+c）=a×b+a×c”所以“a÷(b+c)=a÷b+a÷c”等。作為教師，一定要尊重和保護(hù)學(xué)生這種純真大膽的建構(gòu)行為，并據(jù)此展開深度溯源，透視本質(zhì)，尋求解決問題的出路，創(chuàng)造條件讓學(xué)生在深度理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)對已有經(jīng)驗的改造和已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重塑，在基于先前經(jīng)驗的文化實踐過程中獲得知識、觀念、思想方法等全方位的熏陶。當(dāng)然對教師而言，上例帶來的啟示是教師仍需要再學(xué)習(xí)，以彌補(bǔ)上位知識的缺失。