導體棒旋轉切割磁感線模型的解決新法

程宏遠

(新鄉(xiāng)市第一中學 河南 新鄉(xiāng) 453000)

導體棒旋轉切割磁感線模型一般解決方法是法拉第電磁感應法和等效速度法[1]，這兩種方法在學生理解和解決問題層面具有一定的局限性.法拉第電磁感應法是定律的應用，對學生掌握定律非常有益，但是磁通量的變化量在復雜情況中很難計算.等效速度法是利用導體棒上每一點的線速度與半徑成正比的關系，得到導體棒中間位置線速度可以作為整個導體棒等效速度，從而利用動生電動勢公式求解電動勢.徐洪圖等人已證明平均速度法對于直導體棒繞任意點旋轉切割均成立[2]，然而得到等效速度過程對于學生思維理解的臺階過高.這兩種傳統(tǒng)方法可以解決旋轉點在導體棒上和導體棒延線上的問題，但對于旋轉點為平面內任意一點的情況以及導體棒彎曲的情況難以解決.旋轉切割的復雜情況需要微分的方法，但是高中學生缺乏相關理論知識，需要用簡化可行的方法幫助學生理解和解決問題.

本文在微分思想的指導下，利用圖像和微元相結合的方法，創(chuàng)新解決導體棒旋轉切割磁感線的系列問題，得出此類問題的一般結論.旋轉切割問題中使用圖像與微元法，不僅解決旋轉切割的各類問題，也擴展高中物理階段微元法的應用范圍，培養(yǎng)學生科學思維.

1 導體棒直線任一點作為旋轉點

1.1 導體棒端點作為旋轉點

如圖1所示，導體棒Oa繞端點O旋轉.

圖1 旋轉點為導體棒端點

導體棒上每一點線速度不同，要利用動生電動勢公式E=BLv求解導體棒產生的電動勢，需要解決速度與長度乘積問題.我們將導體棒切割成n段，總電動勢等于每一段導體棒產生電動勢之和.每段導體棒長度ΔL非常短，可視為一個點，所以每段導體棒切割速度近似可用前端線速度代替.如圖2所示，每段導體棒速度與長度乘積在圖像中表現為小矩形的面積，整個導體棒速度與長度乘積就是各個小矩形面積之和，即圖像與橫軸所圍三角形面積ΔS.

圖2 導體棒各點速度v與到O點距離l關系圖像

E=BΔL1v1+BΔL2v2+…+BΔLnvn=

1.2 導體棒之間一點作為旋轉點

如圖3所示，導體棒ab繞棒上點O旋轉.

圖3 旋轉點為導體棒上一點(非端點)

導體棒ab看作兩部分Oa和Ob，每部分產生的電動勢可由1.1中結論得到.由右手定則得到兩部分電動勢方向不同，E為

1.3 導體棒延線上一點作為旋轉點

如圖4所示，導體棒ab繞延線一點O旋轉.

圖4 旋轉點為導體棒延線一點

我們依然把導體棒ab分割成n段，每段vΔL是小矩形的面積，導體棒整體vL就是圖像與橫軸所圍梯形面積，如圖5所示.

圖5 導體棒各點速度v與到O點距離l關系圖像

1.2和1.3結果相同，因為1.2中導體棒Oa和Ob產生的電動勢相抵消后與1.3中所描述情況一致.

2 導體棒旋轉點為平面內任意一點

如圖6所示，導體棒ab繞平面一點O轉動，Oa和Ob分別為L1和L2(L2>L1)

圖6 旋轉點為導體棒平面一點

方法一：微元圖像結合法

導體棒ab分割成n段，每段導體速度與長度成夾角θ，且各段夾角不同.我們把每段長度ΔL分解到垂直速度的方向上，得到ΔLcosθ，則這段導體產生電動勢表示為ΔE=BΔLvcosθ.各點速度v與到旋轉點O的距離l仍滿足圖5，各段速度與長度乘積是圖5中小矩形面積，則整段導體棒速度與有效長度的乘積是圖5中圖像與橫軸所圍梯形面積.

方法二：有效長度法

導體棒各段長度分解到垂直速度方向的長度疊加后，長度等效為導體棒ab沿半徑方向分量a′b′長度，即L2-L1為導體棒的有效長度.導體棒ab產生的電動勢等效為導體棒a′b′產生的電動勢.我們假想有Oa和Ob兩根導體棒與導體棒ab結合，則導體棒ab產生的感應電動勢等于Oa和Ob兩根導體棒產生的感應電動勢之差.

導體棒旋轉點為平面內任意一點的旋轉切割題目非常靈活，見以下兩道例題.

【例1】如圖7所示，直角形導體棒abO繞O點旋轉，ab和Ob長度分別為L1和L2,求EOa.

圖7 直角導體棒繞端點旋轉

解析：導體棒abO產生電動勢可分解為Ob和ba兩根導體棒產生電動勢之和.

EOa=EOb+Eba=

【例2】如圖8所示，導體棒abc中點為b，繞O點旋轉，導體棒abc垂直直線Ob,求Eac.

圖8 “一字型”導體棒繞中垂線一點旋轉

解析：導體棒abc產生電動勢可視為ab和bc兩根導體棒產生電動勢之和.兩根導體棒有效長度相同，產生電動勢等大反向，即Eac=0.

3 曲線導體棒繞導體棒平面一點旋轉

如圖9所示，曲線導體棒ab繞O點旋轉.

圖9 曲線導體棒繞平面一點旋轉

導體棒ab為曲線，我們利用微元法的思想將其分割為n段，每段導體速度與長度成夾角θ，每段長度ΔL分解到垂直速度的方向上得到曲線的有效長度也為徑向長度，速度與有效長度關系圖像與圖5相同.故曲線導體棒ab產生感應電動勢的表達式為

4 導體棒旋轉切割磁感線模型一般結論

本文論證均為導體棒在垂直于勻強磁場平面旋轉切割磁感線的前提下提出，根據以上討論可得到以下3條結論.

(1)微元圖像法解決公式中導體棒速度與長度乘積問題.我們作出導體棒速度與旋轉點距離關系圖像，經過微元法處理，得到圖像與坐標軸所圍面積的含義即為導體棒速度與長度的乘積.

(2)導體棒旋轉切割磁感線模型存在有效長度.無論導體棒是曲線還是直線，“有效長度”都等于將導體棒投影到半徑方向的長度.

(3)導體棒切割磁感線產生的感應電動勢可以通過兩種思路求解.一是利用電動勢E=BLv求解，其中Lv為圖像與橫軸所圍面積；二是利用電動勢等于“有效長度”導體棒產生的感應電動勢求解.