非慣性系中大擺角單擺周期的積分形式及數(shù)值分析

趙清鋒

(武漢市卓刀泉中學建和分校 湖北 武漢 430065)

單擺問題是基礎物理中的重要模型，在物理學中有廣泛的應用，對于單擺的研究非常多，而其中的研究多限于固定懸掛點單擺做圓周運動的周期，包括大擺角周期公式、有無空氣阻尼的影響、不同擺次單擺的周期、解析解等[1～6].對于非慣性系單擺運動問題在近幾年中學生物理競賽中出現(xiàn)的次數(shù)較多，相關文獻也對此有研究，文獻[7]用不同方法計算了無固定懸掛點單擺周期，文獻[8，9]利用機械能守恒分析了勻加速直線運動系統(tǒng)和定軸轉(zhuǎn)動非慣性系統(tǒng)單擺周期，但都只分析了小角度振動周期，對于非慣性系中大擺角振動問題研究較少.基于此，本文從無阻尼非慣性系出發(fā)，對懸點可動單擺周期進行了計算，得出周期的積分形式，并應用數(shù)值計算與相關研究結(jié)果進行對比分析.

1 懸點可在水平方向無阻尼運動單擺周期的積分形式

考慮無阻尼情況，質(zhì)量為M的小環(huán)A套在光滑的水平固定桿上，擺球B的質(zhì)量為m，A和B用一長度為l的輕繩連接[模型來源2019年全國中學生物理競賽(江蘇賽區(qū))第一輪復賽第15題，教材中也有對應模型[10]，如圖1所示].本文以擺線與豎直方向初始夾角為θ進行計算(原題中擺線從水平位置自由釋放).

圖1 懸點無阻尼單擺模型

由于桿是光滑的，小環(huán)A和擺球B在水平方向所受合外力為零，系統(tǒng)質(zhì)心在水平方向的坐標保持不變，即質(zhì)心位置到擺球B的距離應該為

(1)

考慮懸線在擺動過程中質(zhì)心水平坐標不變，而豎直坐標在變化，為方便研究，取擺線水平時質(zhì)心位置為坐標原點O，建立直角坐標系如圖2所示(其中擺線與豎直方向夾角為θ時，令OB與水平方向的夾角為φ，l2=l-l1，vB為擺球B的速度，φ為擺球B此時運動方向與水平方向的夾角.

圖2 懸點無阻尼單擺坐標系及相關物理量

分析可知，擺球B對應的橫縱坐標分別為

x=l1sinθy=-lcosθ

聯(lián)立兩式消去θ可得擺球運動的軌跡方程為橢圓的一部分，如下

(2)

對式(2)求導可得橢圓上此點切線斜率為

(3)

角度φ為擺球B此時速度的方向與水平方向夾角，為方便后文計算，進一步化簡可得

(4)

由于水平方向外力之和為零，所以水平方向動量守恒

MvA=mvBcosφ

(5)

將式(1)、(4)帶入式(5)可得

(6)

設擺繩初始時刻與豎直方向的夾角為θ0，由于系統(tǒng)機械能守恒

(7)

將式(6)帶入式(7)可得

(8)

(9)

以O為圓心，dφ角度對應的圓弧長度即為

(10)

而小球軌跡并非圓弧，而是橢圓，根據(jù)幾何關系可得dφ對應的軌跡弧長

(11)

根據(jù)式(9)和(11)即可得到擺球周期的積分形式

(12)

φ0為擺繩初始時OB與水方向的夾角.由于質(zhì)心水平位置坐標不變，可將θ用φ取代

(13)

由式(3)和式(13)可將φ用φ取代

(14)

將式(13)和式(14)帶入式(12)即可進行數(shù)值積分計算[11].

對于此類模型的周期，競賽題答案多采用受力分析結(jié)合非慣性系動力學方程求解，這種方法通過數(shù)值計算也可求出模型的準確周期或頻率，相關文獻給出其他方法，當擺角θ較小時取sinθ≈θ，然后近似計算小角度非慣性系單擺周期[7，8].在教材中有定義M水平坐標x1和θ為廣義坐標，然后利用拉格朗日方程得到微分方程組[10]

(15)

2 數(shù)值計算周期與近似周期的比較分析

表1 數(shù)值計算周期與近似周期的比較

從數(shù)值計算的數(shù)據(jù)進一步可以得到，大擺角懸點可動單擺周期變化隨著N的減小而更明顯，當N值很大時，其周期與懸點固定單擺周期基本一致(本文計算均為無阻尼情況，N=107對應周期與文獻[1]周期存在微小差距，與數(shù)值計算精度有關).

l為擺線的長度，g為重力加速度，M和m分別代表懸點和擺球的質(zhì)量.

圖隨θ的變化關系

3 結(jié)束語