用三維曲面插值技術(shù)求解水輪機(jī)實(shí)時(shí)運(yùn)行參數(shù)

結(jié)少鵬，虞 鴻

(浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江 杭州 310002)

在水利工程規(guī)劃設(shè)計(jì)和實(shí)際運(yùn)行調(diào)度中一些關(guān)鍵參數(shù)或結(jié)果的獲得常常需要查找特定的已知數(shù)據(jù)[1- 2]、參數(shù)表或曲線圖，如實(shí)用堰淹沒系數(shù)曲線[3]、水輪機(jī)模型綜合特性曲線[4]等；另一方面，一些復(fù)雜方程的求解也需要求助于圖解法，如矩形斷面明渠底流消能水力計(jì)算、梯形斷面渠道正常水深、臨界水深等。雖然一些可以用復(fù)雜公式(如隱式公式)表達(dá)的問題目前已經(jīng)能通過程序進(jìn)行查表和插值[5- 6]，甚至可以通過試算、迭代等數(shù)值方法求解，簡(jiǎn)化了大量設(shè)計(jì)人員的工作，但還有一些問題因?yàn)闊o法找到對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，必須查找實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)圖形曲線才能獲得對(duì)應(yīng)參數(shù)。具體來說，模型試驗(yàn)繪制的曲線，如水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪綜合特性曲線、實(shí)用堰淹沒系數(shù)曲線等，受到眾多參數(shù)的影響，往往難以用簡(jiǎn)單函數(shù)或其組合進(jìn)行良好的擬合，每次參數(shù)查找基本都需要由設(shè)計(jì)人員根據(jù)曲形進(jìn)行取值，有較大的隨意性，而且往往需要根據(jù)多條曲線上的鄰近數(shù)據(jù)進(jìn)行單向或雙向線性插值計(jì)算，在種種限制條件下查詢的過程不僅效率不高，獲得的結(jié)果也有較大的隨機(jī)誤差，也難以用程序?qū)崿F(xiàn)計(jì)算過程。

在當(dāng)前水利數(shù)字化和信息化蓬勃發(fā)展的背景下[7- 12]，傳統(tǒng)的參數(shù)曲線處理方法已經(jīng)不能很好地適應(yīng)程序化的處理方式和實(shí)時(shí)精細(xì)化控制對(duì)參數(shù)的要求。目前用于計(jì)算的圖表通常表現(xiàn)為笛卡爾坐標(biāo)系中的等值曲線簇，每條線上的各個(gè)點(diǎn)都可以認(rèn)為是分別對(duì)應(yīng)縱、橫軸自變量的函數(shù)值，因此上述曲線簇可以認(rèn)為是來自于一個(gè)復(fù)雜三維曲面的成果；如水電站工程中關(guān)鍵設(shè)備水輪機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線圖，包含橫坐標(biāo)“功率”、縱坐標(biāo)“水頭”及等效率值曲線簇。對(duì)水輪機(jī)實(shí)時(shí)工況點(diǎn)效率值的計(jì)算，在數(shù)學(xué)上就構(gòu)成三維曲面問題，可以通過克里格方法將類似曲面數(shù)據(jù)網(wǎng)格化，使之能用程序處理。

1 克里格(Kriging)方法簡(jiǎn)介

克里格法是比較靈活和準(zhǔn)確的網(wǎng)格化插值方法之一，它可以通過在整體預(yù)測(cè)中給予較小的權(quán)重來補(bǔ)償集群數(shù)據(jù)。

Z(p)為區(qū)域Ω上的一個(gè)隨機(jī)過程，p∈Ω。Z(p)在p，p+h兩點(diǎn)處的值之差的方差之半為Z(p)在p方向上的變差函數(shù)γ(h)。

(1)

Z(p)在p1，p2處的兩個(gè)隨機(jī)變量Z(p1)和Z(p2)的二階混合中心距，即：

Cov{Z(p1)，Z(p2)}=E[Z(p1)·Z(p2)]-E[Z(p1]·E[Z(p2)]

(2)

Ω上有n個(gè)樣本點(diǎn)，Zi=Z(pi)在pi處的值，則p0處的最優(yōu)線性估計(jì)值為

(3)

(4)

求解方程組，可得

(5)

2 算例分析

2.1 工程概況

某水庫(kù)工程以供水、防洪為主，兼顧灌溉、發(fā)電及改善河道水環(huán)境等綜合利用。水庫(kù)配套水電站型式為地面引水式，發(fā)電廠房位于大壩左岸下游側(cè)。電站裝設(shè)3臺(tái)臥式混流式水輪發(fā)電機(jī)組，單機(jī)容量1200kW。水輪機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線如圖1所示。

工程正在建設(shè)水庫(kù)智慧運(yùn)行管理平臺(tái)，基于設(shè)備在線監(jiān)測(cè)系統(tǒng)及平臺(tái)計(jì)算分析功能，精確掌握各類機(jī)電設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行智能運(yùn)行管理。為了滿足電站精細(xì)化管理的需求，需要實(shí)時(shí)計(jì)算水輪機(jī)運(yùn)行工況點(diǎn)效率，同時(shí)計(jì)算水輪機(jī)的過流量，并將工況點(diǎn)實(shí)時(shí)展示在運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線圖中。由于機(jī)組容量較小，廠房空間有限，機(jī)組未裝設(shè)流量和效率監(jiān)測(cè)設(shè)備，因此水輪機(jī)流量和效率數(shù)據(jù)的采集是智慧管理平臺(tái)開發(fā)的一個(gè)難點(diǎn)。

在電站的自動(dòng)化監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，可以實(shí)時(shí)讀取的參數(shù)有：發(fā)電機(jī)功率Pg，蝸殼進(jìn)水口壓力PW，下游尾水位ZT等。

水輪機(jī)的過流量QT可通過式(6)計(jì)算：

(6)

(7)

式中，Pg—發(fā)電機(jī)功率，kW;ηg—發(fā)電機(jī)效率，可近似為常數(shù)。

H=PW+ZW-ZT

(8)

式中，PW—蝸殼進(jìn)水口壓力，m;ZW—蝸殼進(jìn)水口高程，為常數(shù)，m；ZT—電站尾水位，m。

經(jīng)以上初步分析可知，通過電站現(xiàn)有的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)參數(shù)，可以間接計(jì)算得到水輪機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線圖中工況點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值(即：水輪機(jī)出力PT和凈水頭H)，只要能計(jì)算出水輪機(jī)的實(shí)時(shí)效率值，平臺(tái)開發(fā)的數(shù)據(jù)問題就可迎刃而解。而水輪機(jī)效率值的計(jì)算必須采用程序化的處理方法，以滿足流量數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)計(jì)算和實(shí)時(shí)顯示。

2.2 等值線的處理及選點(diǎn)

水輪機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線是由模型試驗(yàn)數(shù)值制成的。對(duì)于模型試驗(yàn)難以模擬的過渡過程工況，曲線圖上有些區(qū)域是空白的。傳統(tǒng)的人工計(jì)算方法下，水輪機(jī)效率值是根據(jù)出力PT和凈水頭H從運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線近似查得，遇到的也是穩(wěn)態(tài)常規(guī)運(yùn)行工況，故不需要對(duì)等效率線進(jìn)行特殊處理。

而智慧管理平臺(tái)在計(jì)算水輪機(jī)效率時(shí)，會(huì)涉及水輪機(jī)的開機(jī)、停機(jī)等過渡過程工況，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)沒有曲線數(shù)據(jù)，則會(huì)顯示錯(cuò)誤。因此，需要對(duì)運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線圖進(jìn)行處理，用專業(yè)經(jīng)驗(yàn)按照曲線簇的變化趨勢(shì)，將外圍的等效率曲線補(bǔ)全，保證水輪機(jī)運(yùn)行范圍內(nèi)的效率數(shù)據(jù)是完整的，以便計(jì)算機(jī)能夠正常計(jì)算處理。處理后的運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線圖如圖2所示。

圖1 水輪機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線

圖2 處理后的水輪機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線

為了將等效率曲線簇生成三維曲面，需要將等效率曲線的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)出至Civil 3D軟件中，因此需要先進(jìn)行選點(diǎn)。每條等效率線上的點(diǎn)的選擇應(yīng)該能反映曲線的走勢(shì)，并保證曲線的精度。在曲線的平直段，點(diǎn)的設(shè)置可以適當(dāng)稀疏一些，而在曲率半徑小的位置，點(diǎn)的設(shè)置應(yīng)當(dāng)加密。每條曲線上的點(diǎn)應(yīng)將其Z坐標(biāo)設(shè)置為效率值。水輪機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線的點(diǎn)的設(shè)置如圖3所示。

圖3 等效率線的點(diǎn)設(shè)置

通過list命令將CAD中綜合特性曲線上點(diǎn)的x(對(duì)應(yīng)PT)、y(對(duì)應(yīng)H)、z(對(duì)應(yīng)ηT)坐標(biāo)值導(dǎo)出提取至Excel表中，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變化，形成(PT，H，ηT)數(shù)據(jù)表，見表1。

表1 從CAD中提取的綜合特性曲線數(shù)據(jù)

2.3 三維曲面生成及柵格數(shù)據(jù)的輸出

將表1中的特性曲線等值線數(shù)據(jù)導(dǎo)入至Civil 3D軟件中，以便生成三維曲面。曲面生成過程中，選擇自然鄰近內(nèi)插法或克里格方法對(duì)曲面進(jìn)行光滑處理以提高曲面精度。由此，綜合特性曲線圖中離散的等值線簇轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)的三維曲面。如圖4所示。

圖4 克里格方法處理的三維曲面圖(運(yùn)轉(zhuǎn)綜合特性曲線)

三維曲面生成后利用指定的坐標(biāo)生成點(diǎn)，可以直接取得曲面Z坐標(biāo)的數(shù)值，就完成了一次數(shù)據(jù)查詢，完全免去了插值計(jì)算的過程。

利用Civil 3D軟件的按指定柵格處生成點(diǎn)命令，將離散成滿足使用精度要求的網(wǎng)格化數(shù)據(jù)(如圖5所示)，并按指定的格式輸出“X-Y-Z”的數(shù)據(jù)文件供軟件開發(fā)使用(實(shí)際文件是按地形數(shù)據(jù)“東距-北距-高程”等格式導(dǎo)出的)。原有的三維曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)是粗線條的、不均勻的、不規(guī)律的，經(jīng)過克里格方法轉(zhuǎn)換以后，數(shù)據(jù)點(diǎn)變?yōu)榫?xì)的且均勻分布的網(wǎng)格化數(shù)據(jù)，便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行程序化的查詢計(jì)算。Civil 3D軟件導(dǎo)出的數(shù)據(jù)見表2。

圖5 水輪機(jī)運(yùn)行范圍內(nèi)的柵格設(shè)置

表2 Civil 3D導(dǎo)出的網(wǎng)格化數(shù)據(jù)表

將Civil 3D軟件導(dǎo)出的特性曲線網(wǎng)格化數(shù)據(jù)上傳至智慧管理平臺(tái)，作為水輪機(jī)實(shí)時(shí)效率計(jì)算的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2.4 水輪機(jī)實(shí)時(shí)參數(shù)計(jì)算

以表2中的一系列柵格數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，根據(jù)水輪機(jī)的實(shí)時(shí)工況參數(shù)(出力PT(坐標(biāo)值x)、實(shí)時(shí)凈水頭H(坐標(biāo)值y))，計(jì)算水輪機(jī)實(shí)時(shí)工況點(diǎn)p與每個(gè)格柵點(diǎn)i的距離Li：

(9)

式中，Li—工況點(diǎn)p與格柵點(diǎn)i的距離；xp—實(shí)時(shí)工況點(diǎn)p的橫坐標(biāo)；yp—實(shí)時(shí)工況點(diǎn)p的縱坐標(biāo)；xi—格柵點(diǎn)i的橫坐標(biāo)；yi—格柵點(diǎn)i的縱坐標(biāo)。

通過式(9)的排序計(jì)算，找到離實(shí)時(shí)工況點(diǎn)p最近的4個(gè)格柵點(diǎn)A、B、C和D，然后選擇最近4個(gè)格柵點(diǎn)的效率平均值，作為實(shí)時(shí)工況點(diǎn)p的效率值ηp。適當(dāng)提高格柵矩陣的密度會(huì)提高計(jì)算精度。

ηp=(ηA+ηB+ηC+ηD)/4

(10)

得到水輪機(jī)實(shí)時(shí)效率值ηp后，即可按式(1)計(jì)算水輪機(jī)實(shí)時(shí)過流量QT。如此可得到水輪機(jī)的所有實(shí)時(shí)運(yùn)行參數(shù)，滿足工程運(yùn)行管理的需求。

3 結(jié)語(yǔ)

(1)水利工程的建設(shè)中涉及較多的復(fù)雜曲線圖，這些參數(shù)曲線難以找到對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式或擬合函數(shù)。本文提出的程序化的插值計(jì)算方法，解決了傳統(tǒng)人工讀數(shù)和插值計(jì)算精度不高且效率低下的問題。

(2)在綜合特性曲線處理時(shí)，補(bǔ)全等效率曲線簇需要專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，依賴執(zhí)行人的判斷力，精度難以控制。但考慮到水輪機(jī)在此區(qū)域內(nèi)運(yùn)行的時(shí)間很短，處理誤差對(duì)整體的監(jiān)控效果影響十分有限。

(3)現(xiàn)有的水輪機(jī)綜合特性曲線都是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制而成的。而實(shí)際上，模型試驗(yàn)時(shí)工況點(diǎn)的位置很難剛好處于等效率線上，等效率線也是由試驗(yàn)人員借助經(jīng)驗(yàn)描繪，本身就存在一定的誤差。若采用本文所闡述的方法，可以直接將所有試驗(yàn)工況點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)導(dǎo)入Civil 3D軟件，不需繪制等效率線，可以避免人為因素導(dǎo)致的隨機(jī)誤差。