相互作用玻色氣體的截?cái)嘟聘窳趾瘮?shù)

鄭菡蕾

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

1924年，印度科學(xué)家玻色采用一種不同于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)出了普朗克黑體輻射公式[1]，他的處理光子(粒子數(shù)不守恒)統(tǒng)計(jì)的方法被愛(ài)因斯坦推廣到原子(粒子數(shù)守恒)的情況，得到“玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)”的預(yù)言[2-3]，即對(duì)于沒(méi)有相互作用的玻色原子氣體，當(dāng)溫度低于某個(gè)臨界值時(shí)，將有部分有限份額(宏觀)的粒子開始占據(jù)能量最低的單粒子態(tài)，即在動(dòng)量空間上發(fā)生了凝聚.

這一理論以理想玻色氣體為研究對(duì)象，而實(shí)際的玻色原子之間存在著相互作用.為了研究相互作用玻色氣體的基本性質(zhì)，物理學(xué)家采用了多種理論與計(jì)算方法，如微擾論展開、重正化群等方法，廣泛研究了相互作用勢(shì)對(duì)凝聚溫度和凝聚比例的影響，同時(shí)研究了凝聚比例與凝聚溫度的關(guān)系等問(wèn)題，并取得了一些重要的結(jié)果，這些計(jì)算方法一般比較復(fù)雜.本文嘗試在Bogoliubov近似的基礎(chǔ)上，利用截?cái)嘟频母窳趾瘮?shù)方法研究相互作用玻色氣體的凝聚比例和凝聚溫度與相互作用強(qiáng)度的關(guān)系.截?cái)嘟品椒ㄐ问胶?jiǎn)單，能夠計(jì)算較強(qiáng)相互作用的情況，不失為研究玻色氣體的一個(gè)工具.

1 相互作用玻色氣體

根據(jù)玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)[1-7]，理想玻色氣體系統(tǒng)的總粒子數(shù)[4-7]為

(1)

(2)

其中n=N/V為平均粒子數(shù)密度(體積V中包含N個(gè)玻色子).在溫度低于Tc時(shí)，處于凝聚態(tài)的粒子數(shù)在總粒子數(shù)中所占的比例(簡(jiǎn)稱凝聚比例)為[8]

(3)

實(shí)際玻色氣體通常是有相互作用的，可以想象相互作用強(qiáng)度對(duì)凝聚溫度和凝聚比例是有影響的.這也是相互作用玻色氣體研究的核心問(wèn)題之一.

2 相互作用玻色氣體的Bogoliubov近似

采用二次量子化表象，N個(gè)自旋為0的玻色子系統(tǒng)的哈密頓量為

(4)

(5)

3 計(jì)算與討論

3.1 格林函數(shù)的計(jì)算與截?cái)?/h3>

本文研究的是相互作用玻色系統(tǒng)，粒子通過(guò)二體相互作用在凝聚態(tài)(零動(dòng)量)和非凝聚態(tài)(非零動(dòng)量態(tài))之間跳轉(zhuǎn)，雖然粒子總數(shù)不守恒，但是粒子數(shù)密度守恒.在這樣的系統(tǒng)中,用一個(gè)產(chǎn)生算符與一個(gè)湮滅算符組成正常格林函數(shù)，表示粒子數(shù)算符；兩個(gè)產(chǎn)生算符或者兩個(gè)湮滅算符(配對(duì)算符)組成反常格林函數(shù)，表示是配對(duì)粒子共同“行動(dòng)”，在凝聚態(tài)與非凝聚態(tài)之間變化[11-15].

對(duì)紫外發(fā)散的問(wèn)題，在高階格林函數(shù)的截?cái)嘟浦?，?duì)其中的相互作用勢(shì)進(jìn)行兩種近似：第一種是取U(q)=U，這樣才能繼續(xù)格林函數(shù)的截?cái)嘟?，把粒子?shù)算符用其平均值替代或者把配對(duì)算符也作替換取為其平均值；第二種是取U(0)=U.

運(yùn)動(dòng)方程組寫做

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

這樣取n=1，則當(dāng)系統(tǒng)溫度在凝聚溫度與絕對(duì)溫度之間變化時(shí)，n0的取值在0～1.而T′取值為0時(shí)代表系統(tǒng)處于絕對(duì)溫度；T′取值為1時(shí)代表系統(tǒng)溫度為凝聚溫度.對(duì)這個(gè)重新標(biāo)度后的方程取定積分上限：如果取相互作用強(qiáng)度為1，則可以取定能量的積分上限為100.

3.2 數(shù)值結(jié)果與討論

取γ=1，數(shù)值計(jì)算得到n0與T′關(guān)系，如圖1所示.

圖1 溫度T′與凝聚比例n0的關(guān)系

從圖1中可以看到：隨著溫度的升高，凝聚比例逐漸減小.這種變化趨勢(shì)是符合物理上的預(yù)言的.對(duì)計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并與公式(3)相比較，擬合公式如下：

n0=0.98-T′0.76.

(11)

所得到凝聚比例n0是與溫度T′的0.76次冪成反比，這一結(jié)果的精確性值得懷疑，因?yàn)橛?jì)算中采用了多種近似.期待在對(duì)計(jì)算優(yōu)化之后，得到更好的更有說(shuō)服力的結(jié)果.

計(jì)算絕對(duì)零度時(shí)，凝聚比例n0與相互作用強(qiáng)度γ之間的關(guān)系,結(jié)果如圖2所示.

圖2中相互作用強(qiáng)度的取值范圍為0<γ≤17.當(dāng)相互強(qiáng)度的變化范圍在0<γ≤1時(shí)，凝聚比例下降得比較劇烈；在相互作用強(qiáng)度超過(guò)4時(shí)，變化趨于緩和，最后逐漸接近一個(gè)常數(shù).這個(gè)結(jié)果也符合國(guó)際上對(duì)相互作用玻色氣體的凝聚比例隨相互作用強(qiáng)度變化的關(guān)系趨勢(shì)，但是依然不夠精確.因?yàn)樵谟?jì)算中對(duì)格林函數(shù)進(jìn)行了一個(gè)截?cái)嘟疲@一近似限制了計(jì)算，導(dǎo)致結(jié)果趨于一個(gè)常數(shù).總體上凝聚比例的變化很小，數(shù)值上都大于0.99.這也可能是因?yàn)榛贐ogoliubov近似，這一近似的基礎(chǔ)認(rèn)為在絕對(duì)溫度時(shí)，大部分的粒子都處于凝聚態(tài)，只有非常少的粒子動(dòng)量不等于0.在后續(xù)工作中，可以進(jìn)一步擴(kuò)展進(jìn)更高階的格林函數(shù)，選擇更合適的近似進(jìn)行截?cái)?

圖2 相互作用強(qiáng)度γ與凝聚比例n0的關(guān)系曲線

對(duì)圖2中弱相互作用(0<γ≤1.1)部分的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖3所示.

圖3 相互作用強(qiáng)度γ與凝聚比例n0的擬合曲線

圖3中的紅線表示擬合曲線，可以看到擬合的效果并不是很好，得到的擬合方程為

n0=1-0.007γ0.346.

(12)

凝聚比例n0與相互作用強(qiáng)度γ的指數(shù)關(guān)系為0.346次冪，采用一階指數(shù)衰減方程進(jìn)行擬合嘗試，得到圖4，紅線表示擬合曲線，擬合方程為

(13)

圖4 相互作用強(qiáng)度γ與凝聚比例n0擬合曲線

4 結(jié) 論

通過(guò)計(jì)算可知，該方法對(duì)于研究相互作用玻色氣體性質(zhì)有很大的應(yīng)用前景，計(jì)算所得的凝聚比例與溫度、相互作用強(qiáng)度關(guān)系的結(jié)果比較合理.

(1)討論了兩種不同的截?cái)嘟品桨?計(jì)算表明：第一種方案的精確程度類似于Bogoliubov近似；第二種方案能夠較好反映相互作用勢(shì)對(duì)系統(tǒng)的影響，但是沒(méi)有很好地計(jì)算玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的臨界溫度.

(2)在計(jì)算過(guò)程中遇到了紫外發(fā)散問(wèn)題.產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題的原因是對(duì)于動(dòng)量轉(zhuǎn)移較大的相互作用情況，s波散射近似不再是一個(gè)很好的近似.在計(jì)算中通過(guò)限定積分上限，得到了凝聚比例與溫度以及相互作用勢(shì)的關(guān)系，結(jié)果具有一定的合理性.這說(shuō)明如果找到消除發(fā)散的方案，這種方法還是可行的.