粒子群算法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

張皓翔

摘 要：粒子群算法是數(shù)學(xué)建模中的重要方法之一，本文總結(jié)結(jié)合實際分析其在數(shù)學(xué)建模中的作用，為在數(shù)學(xué)建模過程中正確選擇建模方案提供參考。

關(guān)鍵詞：粒子群算法;數(shù)學(xué)模型;應(yīng)用;分析

0 前言

粒子群算法是一種典型的尋優(yōu)算法，其基本思想是通過模擬自然界生物捕食的策略，群體迭代，使得粒子在解空間向最優(yōu)的粒子靠攏，其是智能算法的一種。粒子群算法模型中，粒子運動時都能記憶自身在運動中的最優(yōu)位置和群體在運動中的最優(yōu)位置，他們相互共享所得到的信息，因此整個群體都能通過分析得到的信息群體最佳位置運動。它是一個全面的尋優(yōu)方法，有效的避免了遺傳算法等復(fù)雜的操作過程，只通過簡單的位置變換來達(dá)到群體最優(yōu)解。本文以討論普通消費者確定成為自動駕駛汽車車主的臨界購車成本為例，對粒子群算法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

1 粒子群算法簡介

1.1 算法基本概念

在PSO算法中，微粒群在n維空間中搜索，其中每個粒子的位置Xi表示問題的一個解，粒子通過不斷更新自己的位置進(jìn)行解的搜索。

第i個粒子t時刻的位置用表示;

第1個粒子t時刻的速度用表示;

第1個粒子每一個時刻都能記住自己t時刻前搜索到的最佳位置，記作Pt，整個微粒群搜索到的最佳位置，記作Pg。

每個粒子t時刻的速度Vit由自身最佳位置和群體最佳位置影響，并按照以下公式更新各微粒的速度和位置。

其中，ω稱為權(quán)慣因子，c1，c2為正的加速常數(shù)，r1，r2為0到1之間均勻分布的隨機數(shù)。

1.2 算法基本原理

粒子群算法從模型中得到啟示并用將其運用于解決問題。在粒子群算法中，解決問題最佳方案都是粒子。粒子們均有一個自身最佳值，這個值是由執(zhí)行過優(yōu)化的函數(shù)決定的。每個粒子向前的移動都是由一定的速度（具有方向性、相對性、瞬時性）決定的。粒子們跟隨著最優(yōu)粒子在空間中移動至最優(yōu)方位。粒子群初始的集群是一群隨機產(chǎn)生的粒子，他們通過不斷的迭代找到最終目標(biāo)。在每一次迭代的過程中，粒子們通過跟蹤自身的個體極值和種群的全局極值來更新自己的位置;個體極值是粒子自己找到的最佳位置;全局極值是整個種群找到的最優(yōu)解[4]。我們也可以只取其中一部分粒子作為樣本群體而不是采用整個粒子群解決問題，而取值的這部分粒子群的極值被稱為這部分粒子群的局部極值。

1.3 算法特點

在粒子群剛開始進(jìn)行優(yōu)化算法時，其產(chǎn)生的第一代粒子群具有很大的隨機性，而每代所有粒子用過信息的共享和各個粒子的自身尋求最優(yōu)解的能力的逐步提高使得粒子群隨著種群進(jìn)化代數(shù)的增加而變得具有更大的隨機性。而遺傳算法需要采用二進(jìn)制編碼或者是采用針對實數(shù)的遺傳操作，所以粒子群算法相對于遺傳算法的主要優(yōu)勢就是采用了實數(shù)編碼的機制;并且通過粒子群優(yōu)化算法的信息共享機制和遺傳算法相比是具有相當(dāng)大的差異的：在遺傳算法中，染色體相互之間都能實現(xiàn)信息的傳遞，因此整個種群會相互聯(lián)結(jié)向著最佳的方向均勻移動;而在粒子群算法解決相同的問題的過程中，粒子間的信息流動是單向的，只有最優(yōu)解粒子能夠?qū)⑿畔鬟_(dá)給其他的粒子，所以整個優(yōu)化解決問題的過程中粒子都是跟隨最優(yōu)粒子的速度移動。例如對于F=x12+x22+x32的問題求解，粒子可以直接編碼為（x1，x2，x3），而其適應(yīng)度函數(shù)就是f（x）。并且粒子是有記憶特性的，它們通過自我和借鑒式的學(xué)習(xí)，讓其后續(xù)粒子有方向性的向著最優(yōu)的方位移動，所以粒子群算法能在相對短的時間內(nèi)得出問題的最優(yōu)解。

2 粒子群算法在具體問題中的應(yīng)用舉例

2.1 討論自動駕駛汽車的充電時間縮短，幫助普通消費者確定成為車主的臨界購車成本

假設(shè)自動駕駛汽車的充電時間縮短，幫助普通消費者確定成為車主的臨界購車成本。然后利用Matlab軟件，采用粒子群算法可以得到如下所示結(jié)果。

由此可以確定當(dāng)超過5.2w時，可能會造成一定的損失。

2.2 討論如果自動駕駛汽車的續(xù)航里程增加，幫助普通消費者確定成為車主的臨界購車成本

利用Matlab軟件編制程序，進(jìn)行優(yōu)化分析，通過優(yōu)化確定出自動駕駛汽車的續(xù)航里程增加時的消費者確定成為車主的臨界購車成本。對模型參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，可以確定此種情況下的臨界曲線如下所示。

如果自動駕駛汽車的續(xù)航里程增加，幫助普通消費者確定成為車主的臨界購車成本為81 w。

3 結(jié)語

粒子群算法是數(shù)學(xué)建模中的重要工具之一。其實際應(yīng)用從初期的函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練發(fā)展到求解隨機優(yōu)化問題、求解最優(yōu)控制問題和工程領(lǐng)域應(yīng)用，涵蓋系統(tǒng)設(shè)計，多目標(biāo)優(yōu)化，高精度分類，模式識別，快速調(diào)度，信號處理，輔助快速決策等多個方面，對工程實踐有著十分重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

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