帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性

楊杰， 常思江， 魏偉

(1.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094; 2.瞬態(tài)沖擊技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 102202;3.北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

通過(guò)在常規(guī)無(wú)控彈上加裝彈道修正組件，彈道修正彈逐步發(fā)展成為一類(lèi)新型彈藥。彈道修正彈介于常規(guī)無(wú)控彈與導(dǎo)彈之間，其成本低、毀傷率高、效費(fèi)比高，因而發(fā)展較為迅速?gòu)V泛，其中在針對(duì)旋轉(zhuǎn)彈的改造中，雙旋彈道修正彈極具發(fā)展?jié)摿1-2]。

根據(jù)改造方式的不同，雙旋彈道修正彈主要分為兩類(lèi)：一類(lèi)是在旋轉(zhuǎn)彈頭部加裝彈道修正引信，如精確制導(dǎo)組件(PGK)；另一類(lèi)是在旋轉(zhuǎn)彈尾部加裝擾流片。安裝在頭部的修正執(zhí)行機(jī)構(gòu)為鴨舵，包括固定舵和可動(dòng)舵，固定舵舵偏不可調(diào)，使得旋轉(zhuǎn)彈修正能力有限[3-4]，可動(dòng)舵舵偏可調(diào)但使得舵機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜[5-6]。與鴨舵相比，在轉(zhuǎn)向能力和阻力損失方面，安裝在尾部的擾流片與其性能相當(dāng)，但擾流片結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，修正能力更強(qiáng)，且攻角響應(yīng)方向與擾流片提供的升力方向一致，具有顯著優(yōu)勢(shì)[7]。

帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其由前體(即彈體)和后體兩部分組成，擾流片安裝在旋轉(zhuǎn)彈后體船尾部分，前體與后體通過(guò)軸承連接。旋轉(zhuǎn)彈未發(fā)射時(shí)，擾流片收縮在后體控制艙內(nèi)，全彈外表與普通旋轉(zhuǎn)彈相同。旋轉(zhuǎn)彈發(fā)射后，擾流片暫不彈出，飛行過(guò)程中后體通過(guò)電機(jī)反轉(zhuǎn)，與前體形成差動(dòng)旋轉(zhuǎn)，而前體保持較高轉(zhuǎn)速以保證全彈陀螺穩(wěn)定性。當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈飛行到預(yù)定區(qū)域后，后體通過(guò)電機(jī)反轉(zhuǎn)至穩(wěn)定狀態(tài)后相對(duì)空間不轉(zhuǎn)，擾流片展開(kāi)，提供所需的控制力和控制力矩，進(jìn)行彈道修正。

圖1 帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of spin-stabilized projectile with spoiler

帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的氣動(dòng)分析計(jì)算表明[8]，在超聲速條件下，擾流片的存在使旋轉(zhuǎn)彈尾部局部產(chǎn)生劇烈的壓力變化，擾流片迎風(fēng)表面壓力最大且靠近擾流片前方的區(qū)域壓力也較大，擾流產(chǎn)生的馬赫波系在彈體表面呈類(lèi)似半橢圓形分布，隨著馬赫波系距離擾流片越來(lái)越遠(yuǎn)，相應(yīng)位置的彈體表面壓力逐漸降低，在亞、跨聲速條件下，擾動(dòng)向前傳播的距離更遠(yuǎn)。在任何馬赫數(shù)下，在擾流片兩側(cè)的壓力分布對(duì)稱(chēng)，在旋轉(zhuǎn)彈同一截面沿周向的壓力分布在擾流片處最大，越靠近擾流片壓力越大。由此可見(jiàn)，擾流片所造成的壓力分布不對(duì)稱(chēng)產(chǎn)生了相應(yīng)的控制力和控制力矩，進(jìn)而影響帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的運(yùn)動(dòng)特性。

目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的研究較少，Rogers[7]通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，擾流片在亞音速范圍內(nèi)具有一定的控制效率，隨著馬赫數(shù)的增加，控制效率呈指數(shù)級(jí)增加，該機(jī)構(gòu)對(duì)高超聲速旋轉(zhuǎn)彈的控制研究具有重要意義。美國(guó)陸軍研究實(shí)驗(yàn)室的Celmins等[9]基于40 mm旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈提出幾種帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)可靠的性能。隨后Fresconi等[10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算得到空氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，研究了擾流片的結(jié)構(gòu)參數(shù)與修正能力之間的關(guān)系。Wey等[11]在旋轉(zhuǎn)彈船尾安裝滾轉(zhuǎn)解耦的擾流片，通過(guò)空氣動(dòng)力分析和七自由度彈道仿真說(shuō)明了該方案的作用原理和可靠的性能，研究表明，在不同射擊條件下，155 mm旋轉(zhuǎn)彈的彈道散布都可被修正，且擾流片只需在彈道末端作用。Fresconi等[12]將擾流片應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的控制系統(tǒng)，以155 mm旋轉(zhuǎn)彈為例，通過(guò)6自由度模型研究制導(dǎo)律并計(jì)算分析其修正能力，數(shù)值計(jì)算研究了旋轉(zhuǎn)彈的角運(yùn)動(dòng)特性，仿真結(jié)果表明該結(jié)構(gòu)具有較大的修正能力，能夠有效減小散布且未出現(xiàn)飛行不穩(wěn)定現(xiàn)象。除此之外，其他將擾流片應(yīng)用于尾翼彈的研究[13-18]同樣表明，擾流片具有較好的修正能力和可靠的性能。

在上述對(duì)帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的研究中，多集中于對(duì)其修正原理及氣動(dòng)特性的分析，對(duì)旋轉(zhuǎn)彈彈道特性的研究結(jié)果往往局限于數(shù)值仿真，缺乏對(duì)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的深入研究，包括線性和非線性角運(yùn)動(dòng)特性等。為深入探索該類(lèi)彈道修正彈的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，本文建立了帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)出帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的線性角運(yùn)動(dòng)方程，并針對(duì)該類(lèi)旋轉(zhuǎn)彈的控制原理，研究了彈體攻角在擾流片作用下的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，隨后考慮了擾流片氣動(dòng)系數(shù)的非線性，分析了旋轉(zhuǎn)彈結(jié)構(gòu)參數(shù)、飛行參數(shù)和氣動(dòng)參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)彈系統(tǒng)分岔特性及穩(wěn)定性的影響，并對(duì)其修正能力進(jìn)行了分析研究，以期為今后研制該類(lèi)旋轉(zhuǎn)彈提供相應(yīng)的理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示，由于擾流片的質(zhì)量和體積都很小，可忽略質(zhì)量不對(duì)稱(chēng)并假設(shè)控制過(guò)程無(wú)延遲。擾流片展開(kāi)后，旋轉(zhuǎn)彈整體產(chǎn)生氣動(dòng)不對(duì)稱(chēng)，形成附加的阻力、升力和俯仰力矩。

動(dòng)力學(xué)建模用到的坐標(biāo)系有：地面坐標(biāo)系、彈道坐標(biāo)系、彈軸坐標(biāo)系、前體坐標(biāo)系和后體坐標(biāo)系。前體坐標(biāo)系與后體坐標(biāo)系的定義如下：

前體坐標(biāo)系Oxfyfzf與常規(guī)彈體坐標(biāo)系Oxbybzb重合[19]，而后體坐標(biāo)系Oxayaza則是在前體坐標(biāo)系基礎(chǔ)上將Oyf軸和Ozf軸繞Oxf軸轉(zhuǎn)過(guò)角度Δγ得到，坐標(biāo)系示意圖如圖2所示，Δγ為差動(dòng)滾轉(zhuǎn)角，有

圖2 坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Coordinate system

Δγ=γa-γf，

(1)

式中：γa、γf分別為后體和前體的滾轉(zhuǎn)角，γf與彈體滾轉(zhuǎn)角γ相同。其余坐標(biāo)系的定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[19]。

圖3為零攻角時(shí)作用于后體的附加力和力矩示意圖，設(shè)沿彈軸從彈尾向前看有一垂直于彈軸的橫截面，假設(shè)擾流片位于后體坐標(biāo)系Oya軸位置，ΔRx表示附加阻力，ΔRy表示附加升力，ΔMz表示附加力矩。定義Oya軸與彈軸坐標(biāo)系Oη軸的夾角為后體擾流片的滾轉(zhuǎn)角γs，從η軸算起，順時(shí)針為正。

圖3 零攻角時(shí)附加力和力矩示意圖Fig.3 Schematic diagram of additional force and moment for AOA=0°

基于上述坐標(biāo)系，可推導(dǎo)得到帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的6自由度動(dòng)力學(xué)模型，由于本文主要對(duì)角運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行研究，因此不再對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行贅述，僅給出帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的角運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

式中：θe表示速度高低角；t表示時(shí)間；Fyt表示作用在旋轉(zhuǎn)彈上的空氣動(dòng)力在彈道坐標(biāo)系Oyt軸下的分量；v表示彈丸質(zhì)心速度；m表示彈丸質(zhì)量；ψa表示速度方向角，

(3)

Fzt表示作用在旋轉(zhuǎn)彈上的空氣動(dòng)力在彈道坐標(biāo)系Ozt軸下的分量。

(4)

式中：ωξ、ωη、ωζ表示彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；C表示極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；A表示赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mη表示作用在旋轉(zhuǎn)彈上的空氣動(dòng)力矩在彈軸坐標(biāo)系Oη軸上的分量[20]；φa表示彈軸方位角，

(5)

(6)

式中：Mζ表示作用在旋轉(zhuǎn)彈上的空氣動(dòng)力矩在彈軸坐標(biāo)系Oζ軸上的分量。

(7)

式中：φe表示彈軸高低角。

為研究帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，下面根據(jù)以上建立的動(dòng)力學(xué)模型，基于線性假設(shè)對(duì)攻角的解析解進(jìn)行推導(dǎo)分析，并結(jié)合非線性理論對(duì)其動(dòng)力學(xué)分岔特性進(jìn)行分析，最后進(jìn)行修正能力分析。

2 攻角運(yùn)動(dòng)特性

考慮到帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的角運(yùn)動(dòng)是在理想彈道附近進(jìn)行的，在建立角運(yùn)動(dòng)方程時(shí)略去小量及小量乘積，有θ≈θe，則(2)式～(5)式可簡(jiǎn)化為

(8)

式中：ψc表示速度方向角分量；δe表示高低攻角；δa表示方向攻角；g表示重力加速度。

(9)

(10)

式中：φc表示彈丸姿態(tài)角分量。

(11)

根據(jù)復(fù)擺動(dòng)角φ、復(fù)偏角ψ和復(fù)攻角Δ的定義及相互關(guān)系，將(8)式～(11)式寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式，可得

(12)

(13)

聯(lián)立(12)式和(13)式，忽略小量乘積，并將自變量從時(shí)間改為弧長(zhǎng)s，得到攻角運(yùn)動(dòng)方程

(14)

考慮由擾流片引起的角運(yùn)動(dòng)，線性角運(yùn)動(dòng)方程(14)式可寫(xiě)為

(15)

下面對(duì)擾流片彈出后彈體攻角的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析。

2.1 擾流片彈出產(chǎn)生的瞬態(tài)解

旋轉(zhuǎn)彈在飛行過(guò)程中，擾流片彈出對(duì)旋轉(zhuǎn)彈進(jìn)行控制，相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)彈受到一個(gè)階躍激勵(lì)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)彈受到階躍激勵(lì)時(shí)，角運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成如下形式：

(16)

式中：ε(s)為單位階躍函數(shù)；si為階躍激勵(lì)開(kāi)始作用時(shí)的彈道弧長(zhǎng)。

在[0,si]弧長(zhǎng)間隔內(nèi)，旋轉(zhuǎn)彈未受到激勵(lì)作用，處于無(wú)控狀態(tài)；在s>si弧長(zhǎng)段，激勵(lì)一直存在。根據(jù)杜哈梅積分[21]，可以將該激勵(lì)視為一系列脈沖激勵(lì)的迭加，即

(17)

式中：x(t)為系統(tǒng)響應(yīng)；p(τ)為外部激勵(lì)；h(t-τ)為τ時(shí)刻由單位脈沖引起的系統(tǒng)響應(yīng)，有如下表達(dá)式，

(18)

于是得到階躍激勵(lì)時(shí)旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)方程的解為

(19)

(19)式得到的攻角瞬態(tài)解與6自由度彈道仿真得到的攻角進(jìn)行對(duì)比，圖4為60 s啟控、擾流片滾轉(zhuǎn)角為90°時(shí)的對(duì)比曲線。

圖4 60 s啟控、90°滾轉(zhuǎn)角時(shí)攻角對(duì)比曲線Fig.4 Comparison curves of angle of attack for t=60 s and γs=90°

由圖4可知，由(19)式計(jì)算出的攻角瞬態(tài)響應(yīng)與剛體彈道數(shù)值仿真得到的攻角是吻合的，證明了該解析解的正確性。結(jié)合kc和bc的表達(dá)式與(19)式分析可知，擾流片附加升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)和附加力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)越大，攻角響應(yīng)幅值越大，而計(jì)算流體力學(xué)模擬計(jì)算表明該系數(shù)與擾流片高度近似呈正比關(guān)系，因此擾流片高度越高，攻角響應(yīng)幅值越大。

2.2 擾流片彈出產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)解

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=(kc+ibcP)eiγs，

(20)

式中：等號(hào)右邊為定值，利用常數(shù)變易法求得特解為

(21)

(21)式的分母實(shí)數(shù)化得到

(22)

式中：

(23)

實(shí)部與虛部分離，可得

(24)

(25)

(24)式和(25)式即為擾流片彈出后產(chǎn)生的攻角穩(wěn)態(tài)解。60 s時(shí)啟控，擾流片在0°方位上產(chǎn)生階躍激勵(lì)時(shí)，數(shù)值積分和理論推導(dǎo)計(jì)算出的攻角響應(yīng)的瞬態(tài)解和由(24)式和(25)式計(jì)算得到的穩(wěn)態(tài)解如圖5所示。

圖5 穩(wěn)態(tài)解與瞬態(tài)解對(duì)比曲線Fig.5 Curves of comparison between steady state solution and transient solution

由圖5可知，穩(wěn)態(tài)解反映了旋轉(zhuǎn)彈攻角在階躍激勵(lì)下擺動(dòng)結(jié)束后的平衡位置。相比之下，解析計(jì)算所得瞬態(tài)解的平衡位置與穩(wěn)態(tài)解更接近，這是因?yàn)樵诶碚撏茖?dǎo)過(guò)程中，穩(wěn)態(tài)解和瞬態(tài)解的計(jì)算采取了相同的假設(shè)。

彈體攻角的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為一復(fù)攻角，由(24)式和(25)式可求得其幅角為

(26)

(23)式代入(26)式，并根據(jù)反正切相加減定理[22]，可得

(27)

由(27)式可知，Δst的幅角始終與擾流片滾轉(zhuǎn)角γs相差一個(gè)大約為180°的相位角。

3 非線性分岔特性

隨著現(xiàn)代外彈道理論的發(fā)展，與彈箭非線性運(yùn)動(dòng)相關(guān)的研究逐步開(kāi)展[23]，而分岔理論是非線性分析的一個(gè)有力工具。分岔理論的應(yīng)用有助于尋找引起彈箭飛行特性突變的彈箭氣動(dòng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)分岔點(diǎn)，為參數(shù)設(shè)計(jì)、避免非線性飛行突變不穩(wěn)提供依據(jù)。為研究分析帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的結(jié)構(gòu)參數(shù)和氣動(dòng)力參數(shù)對(duì)彈箭角運(yùn)動(dòng)特性和飛行穩(wěn)定性的影響，下面應(yīng)用分岔理論對(duì)該旋轉(zhuǎn)彈進(jìn)行非線性分岔特性分析。

3.1 研究方法

分岔問(wèn)題起源于力學(xué)失穩(wěn)現(xiàn)象的研究，可以分為靜態(tài)分岔和動(dòng)態(tài)分岔。若任意小的參數(shù)變化會(huì)使結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的相軌跡拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突然變化，則稱(chēng)這種變化為分岔。因此可將分岔的定義敘述為：

對(duì)于含參數(shù)的系統(tǒng)：

(28)

式中：x為狀態(tài)變量，x∈Rp；μ為分岔參數(shù)，μ∈Rq；p、q表示維數(shù)，Rp、Rq表示歐幾里德空間。當(dāng)參數(shù)μ連續(xù)變動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)(28)式相軌跡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在μ=μ0處發(fā)生突然變化，則稱(chēng)系統(tǒng)(28)式在μ=μ0處出現(xiàn)分岔，μ0稱(chēng)為分岔值或臨界值，(x,μ0)稱(chēng)為分岔點(diǎn)。在參量μ的空間Rq中，由分岔值構(gòu)成的集合稱(chēng)為分岔集。在(x,μ)的空間Rp×Rq中，平衡點(diǎn)和極限環(huán)隨參數(shù)μ變化的圖形稱(chēng)為分岔圖。

鞍結(jié)分岔是指控制參數(shù)變化過(guò)程中系統(tǒng)因形成鞍結(jié)點(diǎn)而出現(xiàn)的分岔，該分岔點(diǎn)也被稱(chēng)為極限點(diǎn)，屬于靜態(tài)分岔；霍普夫分岔是指系統(tǒng)參數(shù)變化經(jīng)過(guò)臨界值時(shí)，平衡點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定并從中生長(zhǎng)出極限環(huán)，是一類(lèi)動(dòng)態(tài)分岔。

由于帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈結(jié)構(gòu)非對(duì)稱(chēng)、氣動(dòng)非對(duì)稱(chēng)，其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)屬于高維非線性系統(tǒng)，求得其解析解比較困難，因此本文采用數(shù)值方法對(duì)其分岔特性進(jìn)行研究分析。數(shù)值方法首先計(jì)算得到系統(tǒng)解隨分岔參數(shù)變化的曲線即平衡點(diǎn)曲線，通過(guò)每一點(diǎn)的特征值判斷其穩(wěn)定性、分岔類(lèi)型及分岔位置，最終得到系統(tǒng)分岔圖。

3.2 非線性角運(yùn)動(dòng)方程

帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)高維的非線性系統(tǒng)，狀態(tài)變量較多，因此需要進(jìn)行簡(jiǎn)化將其降維。而旋轉(zhuǎn)彈的穩(wěn)定性與其飛行過(guò)程中的角運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)，因此根據(jù)動(dòng)力學(xué)中的角運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)建低維模型。

帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈在飛行過(guò)程中，近似認(rèn)為δe=φe-θe，δa=φa-ψa，根據(jù)(2)式～(7)式，簡(jiǎn)化得到其非線性角運(yùn)動(dòng)方程：

(29)

式中各力和力矩表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)[20]，其中：c′y=cy,l+cy,n·δ2，δ表示總攻角，cy,l和cy,n分別為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)的線性項(xiàng)和立方項(xiàng)；m′z=mz,l+mz,n·δ2，mz,l和mz,n分別為靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)的線性項(xiàng)和立方項(xiàng)。擾流片外露高度Hs是對(duì)擾流片氣動(dòng)特性影響最大的參數(shù)[7]，為便于研究結(jié)構(gòu)參數(shù)Hs對(duì)旋轉(zhuǎn)彈非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的影響，建立擾流片氣動(dòng)參數(shù)模型如下：

(30)

式中：Δcy,l和Δcy,n分別為單位高度擾流片引起的附加升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)的線性項(xiàng)和立方項(xiàng)；Δmz,l和Δmz,n分別為單位高度擾流片引起的附加靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)的線性項(xiàng)和立方項(xiàng)，該數(shù)值通過(guò)計(jì)算流體力學(xué)方法數(shù)值模擬得到。

基于簡(jiǎn)化得到的低維非線性模型(29)式，對(duì)其進(jìn)行分岔特性分析與仿真，研究帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈在不同參數(shù)下的分岔特性，仿真時(shí)旋轉(zhuǎn)彈速度取400 m/s，轉(zhuǎn)速取1 300 rad/s，其他必需的旋轉(zhuǎn)彈參數(shù)和氣動(dòng)參數(shù)見(jiàn)表1和表2，表1中：m″y表示馬格努斯力矩系數(shù)2階聯(lián)合偏導(dǎo)數(shù)；m′zz表示赤道阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)。

表1 主要計(jì)算參數(shù)Tab.1 Main calculation parameters

表2 擾流片氣動(dòng)參數(shù)Tab.2 Aerodynamic parameters of spoiler

3.3 分岔特性分析

旋轉(zhuǎn)彈處于有控狀態(tài)時(shí)，擾流片彈出且轉(zhuǎn)角固定，擾流片產(chǎn)生持續(xù)的附加力矩對(duì)彈丸進(jìn)行控制。當(dāng)擾流片方位角為0°時(shí)，計(jì)算得到(29)式的系統(tǒng)平衡點(diǎn)為(-0.16 rad,0.006 rad,-0.009 rad/s,-0.04 rad/s)T，分別與δe、δa、ωη、ωζ對(duì)應(yīng)。

為研究速度、氣動(dòng)參數(shù)等因素對(duì)系統(tǒng)特性的影響，首先計(jì)算系統(tǒng)的分岔圖，圖6為攻角隨擾流片高度變化的分岔曲線?？紤]到研究對(duì)象實(shí)際的物理意義，擾流片高度不可能為負(fù)值，因此下文僅針對(duì)Hs>0 mm的情況進(jìn)行分析。

圖6 系統(tǒng)分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of system

由圖6可知，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)數(shù)量和穩(wěn)定性隨著擾流片高度的變化而變化。當(dāng)0 mm≤Hs≤3 mm時(shí)，系統(tǒng)有一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；當(dāng)3 mm≤Hs≤12.5 mm時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。從平衡點(diǎn)的分布可以看出：穩(wěn)定平衡點(diǎn)1為期望的飛行狀態(tài)，帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈具有良好的動(dòng)態(tài)特性，旋轉(zhuǎn)彈隨著Hs的逐漸增大產(chǎn)生更大的攻角；而穩(wěn)定平衡點(diǎn)2在較小的Hs下產(chǎn)生較大的攻角，不利于旋轉(zhuǎn)彈飛行。對(duì)于本文算例而言，為保證帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈按照期望的平衡狀態(tài)飛行，應(yīng)使擾流片外露高度在0～3 mm的范圍內(nèi)。

3.4 不同因素對(duì)系統(tǒng)特性的影響

帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分岔圖可能隨其飛行參數(shù)、氣動(dòng)參數(shù)等表現(xiàn)出不同的特性，分析這些參數(shù)的影響可以為旋轉(zhuǎn)彈氣動(dòng)外形和彈體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。由于穩(wěn)定平衡點(diǎn)1是期望的平衡點(diǎn)，因此下文僅對(duì)穩(wěn)定平衡點(diǎn)1的變化曲線進(jìn)行分析。

3.4.1 速度變化對(duì)系統(tǒng)特性的影響

旋轉(zhuǎn)彈在不同條件下的初速以及飛行中的速度變化都可能存在差異，因此首先分析速度不同對(duì)系統(tǒng)特性的影響。圖7為速度不同時(shí)攻角隨擾流片高度變化的平衡點(diǎn)曲線。

圖7 不同速度下系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線Fig.7 Equilibrium curves of system at different velocities

由圖7可知：帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈速度的變化對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定域影響不大，飛行穩(wěn)定情況下的最大擾流片外露高度變化不大；在γs=0°條件下，Hs不變時(shí)，速度越大，方向攻角越小，而高低攻角變化不大。

3.4.2 擾流片方位角變化對(duì)系統(tǒng)特性的影響

旋轉(zhuǎn)彈在飛行過(guò)程中，通過(guò)不斷改變擾流片方位角從而對(duì)旋轉(zhuǎn)彈修正方向進(jìn)行控制，因此需要分析不同方位角對(duì)系統(tǒng)特性的影響。圖8為擾流片方位角不同時(shí)計(jì)算得到的系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線。

圖8 不同擾流片方位角系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線Fig.8 Equilibrium curves of system at different γs

由圖8可知：當(dāng)γs=0°時(shí)，旋轉(zhuǎn)彈產(chǎn)生與擾流片方位相反的高低攻角和近似為0°的方向攻角；當(dāng)γs=90°時(shí)，旋轉(zhuǎn)彈產(chǎn)生與擾流片方位相反的方向攻角和近似為0°的高低攻角。隨著γs的變化，高低攻角和方向攻角隨γs呈正弦變化。擾流片外露高度Hs越大，產(chǎn)生的攻角幅值越大。

3.4.3 氣動(dòng)系數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)特性的影響

帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈在飛行過(guò)程中，角運(yùn)動(dòng)主要受到氣動(dòng)力矩的影響，而擾流片主要通過(guò)產(chǎn)生的附加力矩對(duì)旋轉(zhuǎn)彈進(jìn)行控制，因此各力矩系數(shù)可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)特性產(chǎn)生影響。圖9為彈體靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)線性項(xiàng)不同時(shí)系統(tǒng)分岔圖；圖10為擾流片附加靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)線性項(xiàng)不同時(shí)系統(tǒng)分岔圖；圖11為彈體靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)立方項(xiàng)不同時(shí)系統(tǒng)分岔圖；圖12為擾流片附加靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)立方項(xiàng)不同時(shí)系統(tǒng)分岔圖。

圖9 不同mz,l系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線Fig.9 Equilibrium curves of system at different mz,l

圖10 不同Δmz,l下系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線Fig.10 Equilibrium curves of system at different Δmz,l

圖11 不同mz,n下系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線Fig.11 Equilibrium curves of system at different mz,n

圖12 不同Δmz,n下系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線Fig.12 Equilibrium curves of system at different Δmz,n

由圖9可知：隨著靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)線性項(xiàng)的變化，系統(tǒng)能產(chǎn)生的最大攻角變化不明顯；mz,l增大會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定域增大，在Hs相同條件下，mz,l增大會(huì)使攻角的幅值減小。

由圖10可知：隨著附加力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)線性項(xiàng)的變化，系統(tǒng)能產(chǎn)生的最大攻角變化不明顯；Δmz,l增大會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定域減小，在Hs相同條件下，Δmz,l增大會(huì)使攻角的幅值增大。

由圖11可知，隨著靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)立方項(xiàng)絕對(duì)值的增大，系統(tǒng)能產(chǎn)生的最大攻角幅值逐漸減小，且系統(tǒng)的穩(wěn)定域逐漸減小。在Hs相同條件下，當(dāng)Hs較小時(shí)，mz,n不同產(chǎn)生的攻角差異不大；當(dāng)Hs較大時(shí)，mz,n絕對(duì)值越大，產(chǎn)生的攻角幅值越大。

由圖12可知，隨著附加靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)立方項(xiàng)絕對(duì)值的增大，系統(tǒng)能產(chǎn)生的最大攻角幅值逐漸增大，且系統(tǒng)的穩(wěn)定域逐漸增大。在Hs相同條件下，當(dāng)Hs較小時(shí)，Δmz,n不同產(chǎn)生的攻角差異不大；當(dāng)Hs較大時(shí)，Δmz,n絕對(duì)值越大，產(chǎn)生的攻角幅值越小。

4 修正能力分析

對(duì)帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的攻角運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)分岔特性進(jìn)行研究之后，下面根據(jù)其動(dòng)力學(xué)模型對(duì)其修正能力進(jìn)行數(shù)值仿真分析。圖13為旋轉(zhuǎn)彈在彈道末端距離地面不同高度hc啟控時(shí)的修正范圍對(duì)比曲線；圖14為旋轉(zhuǎn)彈在不同擾流片高度Hs下的修正范圍對(duì)比曲線。

圖13 不同hc下修正范圍對(duì)比曲線Fig.13 Comparison curves of correction range under different hc

圖14 不同Hs下修正范圍對(duì)比曲線Fig.14 Comparison curves of correction range under different Hs

由圖13可知，距離地面高度hc=500 m時(shí)啟控修正半徑約為500 m，hc=1 000 m時(shí)啟控修正半徑達(dá)1 000 m，hc=1 500 m時(shí)啟控修正半徑達(dá)1 500 m，因此距離地面高度越高時(shí)啟控，旋轉(zhuǎn)彈修正范圍越廣，修正效率較高。

由圖14可知，Hs=7.75 mm時(shí)修正半徑約為1 000 m，Hs=11.5 mm時(shí)修正半徑達(dá)1 600 m，由此可見(jiàn)擾流片高度越高，所能提供的修正能力越強(qiáng)。

5 結(jié)論

本文建立了帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的工作模式，求解了旋轉(zhuǎn)彈攻角的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通過(guò)分岔計(jì)算分析了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性的影響，得到如下結(jié)論：

1) 擾流片產(chǎn)生階躍激勵(lì)控制信號(hào)時(shí)，理論推導(dǎo)得到的攻角瞬態(tài)響應(yīng)解具有較高的精度，與數(shù)值解較吻合，穩(wěn)態(tài)解則反映了攻角在階躍激勵(lì)下擺動(dòng)結(jié)束的平衡位置，且擾流片高度越高，攻角響應(yīng)的幅值越大,攻角響應(yīng)方向與擾流片轉(zhuǎn)角存在一個(gè)接近180°的相位差。

2) 有控狀態(tài)下，帶擾流片旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，其中只有一個(gè)平衡點(diǎn)為期望的平衡點(diǎn)，并反映了期望的擾流片高度范圍。因此應(yīng)選擇合適的擾流片高度，既能產(chǎn)生所需攻角又不致彈體失穩(wěn)。當(dāng)擾流片轉(zhuǎn)角固定時(shí)，速度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定域影響不大；擾流片轉(zhuǎn)角變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定域影響不大。

3) 當(dāng)擾流片轉(zhuǎn)角固定時(shí)，隨著靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)線性項(xiàng)增大，期望平衡點(diǎn)的穩(wěn)定域逐漸增大，在Hs相同條件下所能產(chǎn)生最大攻角幅值減??；隨著附加靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)線性項(xiàng)增大，期望平衡點(diǎn)的穩(wěn)定域逐漸減小，在Hs相同條件下所能產(chǎn)生最大攻角幅值增大。

4) 當(dāng)擾流片轉(zhuǎn)角固定時(shí)，隨著靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)立方項(xiàng)增大，期望平衡點(diǎn)的穩(wěn)定域逐漸減小，系統(tǒng)能產(chǎn)生的最大攻角幅值逐漸增大；隨著附加靜力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)立方項(xiàng)增大，期望平衡點(diǎn)的穩(wěn)定域逐漸增大，系統(tǒng)能產(chǎn)生的最大攻角幅值逐漸增大。