帶有特殊非線性項的Dirichlet問題正解的確切個數(shù)

姚燕燕, 徐 晶, 高紅亮

(蘭州交通大學 數(shù)理學院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結(jié)果

考慮當非線性項為f(u)=u(eu-1)和f(u)=eu-1兩種形式時, 一維Minkowski空間給定平均曲率方程Dirichlet問題

(1)

正解的確切個數(shù)及分歧圖, 其中參數(shù)λ,L>0.

平均曲率問題是偏微分方程中的一個重要問題.設(shè)Ω?N為一個區(qū)域,k≠0是常數(shù).考慮方程

(2)

當k=1時, 方程(2)稱為Euclidean空間中的給定曲率方程; 當k=-1時, 方程(2)稱為Minkowski空間中的給定曲率方程.問題(1)是Minkowski曲率方程Dirichlet問題

(3)

的一維情形.研究表明, 這些問題在微分幾何和狹義相對論中具有重要作用[1-5].

近年來, 關(guān)于一維或高維Minkowski空間給定平均曲率方程Dirichlet問題的研究受到廣泛關(guān)注, 如文獻[6-14]用非線性分析的方法獲得了問題(1)或(3)正解的存在性和多解性, 其中： Bereanu等[6]用Larea-Schauder度理論研究了非線性邊值問題

(φ(u′))′=f(t,u,u′),l(u,u′)=0

解的存在性和多解性, 式中l(wèi)(u,u′)=0表示在[0,T]上Dirichlet、 周期或者Neumann邊界條件,φ: (-a,a)→是增同胚且φ(0)=0; Coelho等[7]用變分方法和拓撲度理論研究了一維Minkowski曲率方程Dirichlet問題(1)正解的存在性和多解性, 其中λ>0為參數(shù); Bereanu等[8-9]利用臨界點理論、 上下解方法和Larea-Schauder度理論討論了Minkowski空間中Dirichlet問題(3)在球域上徑向正解的存在性和多解性; Ma等[10]用分歧理論研究了球域上問題(3)正解的全局結(jié)構(gòu); Dai等[11]用分歧理論分別討論了非線性項在零點漸近線性、 次線性和超線性情形下球域上問題(3)徑向變號解的全局結(jié)構(gòu).

上述文獻對平均曲率問題正解的存在性研究較多, 而對其正解的確切個數(shù)研究較少. Zhang等[12]用時間映像原理研究了問題

(4)

正解的確切個數(shù)及分歧圖, 其中參數(shù)λ>0,L>0, 得到了如下結(jié)果.

定理1[12]假設(shè)f滿足如下條件:

1)f∈C([0,∞),R),f(u)>0, 0

2)f∈C1([0,∞),R),f′(u)u≤f(u), 0

則有:

定理2[12]若f(u)=up(p>1), 則存在λ*>0, 使得當λ∈(0,λ*)時, 問題(4)無正解; 當λ=λ*時, 問題(4)恰有一個正解; 當λ∈(λ*,∞)時, 問題(4)恰有兩個正解.

文獻[15-17]研究表明, 擬線性問題與半線性問題有很多不同之處, 分歧圖也不同.由于平均曲率問題的時間映像估計較復雜, 因此文獻[12]只討論了非線性項在零點處次線性增長的情形, 如f(u)=up(p>1),f(u)=up+uq(q>p>1).而對非線性項為f(u)=u(eu-1),f(u)=eu-1情形的研究目前尚未見文獻報道.因此, 本文研究給定平均曲率方程Dirichlet問題(1)非線性項為這兩種形式時正解的確切個數(shù)及分歧圖, 其中參數(shù)λ>0,L>0.用時間映像原理獲得了如下結(jié)果：

1) 當0<λ<λ*時, 問題(1)沒有正解；

2) 當λ=λ*時, 問題(1)恰有一個正解；

3) 當λ>λ*時, 問題(1)有兩個正解.

當f(u)=u(eu-1)時, 問題(1)的分歧圖如圖1所示.

1) 當0<λ<λ*時, 問題(1)無正解;

2) 當λ=λ*或λ≥λ*時, 問題(1)恰有一個正解;

3) 當λ*<λ<λ*時, 問題(1)有兩個正解.

當f(u)=eu-1時, 問題(1)的分歧圖如圖2所示.

圖1 當f(u)=u(eu-1)時問題(1)的分歧圖Fig.1 Bifurcation diagram of problem (1) when f(u)=u(eu-1)

圖2 當f(u)=eu-1時問題(1)的分歧圖Fig.2 Bifurcation diagram of problem (1) when f(u)=eu-1

2 預備知識

設(shè)u(x)是問題(1)的正解.由于u(x)在x=0處取得最大值并且關(guān)于x=0對稱, 且當-L0; 當0

(5)

進而有

(6)

對式(6)兩端從0到L積分, 可得

Tλ(s)稱為f的時間映像.由時間映像的定義可知, 問題(1)等價于找到s∈(0,L), 使得

Tλ(s)=L.

(7)

(8)

引理1[12]若f: [0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù), 且?u∈(0,L),f(u)>0, 則有

(9)

(10)

引理2[12]若f: [0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù), 且?u∈(0,L),f(u)>0, 則對任意s∈(0,L), 時間映像T關(guān)于λ嚴格遞減.

引理3[12]f: [0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù), 且滿足?u∈(0,L),f(u)>0.

引理4f: [0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)函數(shù), 且滿足?u∈(0,L),f(u)>0.

證明： 1) 若f(0)>0, 則當s→0時,

故

故

并且當s→0時, 有

于是

引理5[12]記η(λ)=inf{Tλ(s)|s∈(0,+∞)}, 則η(λ)在(0,+∞)上遞減； 記ω(λ)=sup{Tλ(s)|s∈(0,+∞)}, 若ω(λ)≠∞, 則ω(λ)在(0,+∞)上遞減.

引理6若f(u)=u(eu-1), 則對于任意的λ∈(0,+∞), 有

ξ=λ(F(s)-F(st))=λ(ses-es-s2/2-stest+est+s2t2/2),

則

ξ′=λ(f(s)-tf(st))=λ[s(es-1)-st2(est-1)],

ξ″=λ(f′(s)-t2f′(st))=λ[(es+ses-1)-t2(est+stest-1)].

令

A=ξ=λ(ses-es-s2/2-stest+est+s2t2/2),

B=sξ′=λ[s2(es-1)-s2t2(est-1)],

C=s2ξ″=λ[s2(es+ses-1)-s2t2(est+sest-1)],

又

其中s[A(2+A)]5/2>0, 則

因為

令g(s)=s3+(M-3)s2+2(3-M)s+2(M-3), (g(s)es)′=s3+Ms2>0, ?M>0, esg(s)-estg(st)>0, 又因為

則

根據(jù)Taylor公式, 當s<1/(1-t)時, 有

則

對式(11)關(guān)于t求導, 可得

g′(s)=4t3s4-(3t2+2t+1)(2M+3)s3+12(M+1)ts2+2(3-M)s,

g″(s)=12t2s4-(6t+2)(2M+3)s3+12(M+1)s2,g?(s)=24s4t-6(2M+3)s3,

從而

f1(s)=-(t3+t2+t+1)(2M+3)s3+6(M+1)t2s2+2(1+t)(3-M)s+4M.

由于s3≤s2, 則有-(t3+t2+t+1)(2M+3)s3≥-(t3+t2+t+1)(2M+3)s2, 于是

-(t3+t2+t+1)(2M+3)s3+6(M+1)t2s2≥[-(t3+t2+t+1)(2M+3)+6(M+1)t2]s2,

g1(t)=-(t3+t2+t+1)(2M+3)+6(M+1)t2=-(t3+t+1)(2M+3)+(4M+3)t2,

當M=7,s∈(0,0.8)時, 式(12)大于0.下面證明

(t-1)2s2es(1+t)[(t2+4t+1)s2-2(M+3)(t+1)s+4M]>0.

令h=(t2+4t+1)s2-2(M+3)(t+1)s+4M, 可知

h′(t)=(2t+4)s2-2(M+3)s,h″(t)=2s2>0,

則h′(t)單調(diào)遞增, 當t=1時,h′(t)=(2t+4)s2-2(M+3)s<0, 故h(t)單調(diào)遞減.于是

h(t)=(t2+4t+1)s2-2(M+3)(t+1)s+4M≥6s2-4(M+3)s+4M,

引理7若f(u)=eu-1, 則對于任意的λ∈(0,+∞), 有

證明: 記ξ=λ(F(s)-F(st))=λ(es-est-s+st), 則

ξ′=λ(f(s)-tf(st))=λ(es-test-1-t),

ξ″=λ(f′(s)-t2f′(st))=λ(es-t2est).

令A=λ(es-est-s+st),B=λ(ses-stest-s+st),C=λ(s2es-s2t2est), 可知

其中

g(s)=2(2+M)-8M+2s2-6s+2s(2+M)=2s2+2(M-1)s+4-6M,

(g(s)es)′=[2s2+2(M+1)s+2-4M]es.

從而當0≤M≤1/2時, esg(s)-estg(st)≥0, 其中

令

3 主要結(jié)果的證明

3.1 定理3的證明

由時間映像的定義可知, 問題(1)等價于找到s∈(0,L), 使得

T(s)=L.

(13)

因此當非線性項為f(u)=u(eu-1)時, 問題(1)的解等價于方程(13)的解.

(14)

3.2 定理4的證明

由時間映像的定義可知, 問題(5)等價于找到s∈(0,L), 使得式(13)成立.因此當非線性項為f(u)=eu-1時, 問題(1)的解等價于方程(13)的解.

(15)