節(jié)理跡線中點密度修正方法的探討*

劉 健 王 駒 陳 亮 云 龍 王春萍

(核工業(yè)北京地質(zhì)研究院環(huán)境工程研究所， 北京 100029，中國)

0 引 言

節(jié)理在巖體中普遍存在，其密度、尺寸和產(chǎn)狀等特征信息，是進行地下工程巖體質(zhì)量評價的重要指標(Bieniawski， 1973； 韓振華等， 2019)。露頭調(diào)查是獲得節(jié)理特征信息的主要手段之一。但是，露頭調(diào)查揭露的節(jié)理跡線分布信息通常含有以下4種誤差(Zhang et al.， 1998)：

(1)截短誤差，即由于野外調(diào)查精度的限制，通常需要忽略某一長度閾值之下的節(jié)理跡線。截短誤差使得節(jié)理密度被低估，使得節(jié)理跡長被高估。

(2)截長誤差，即由于測窗或露頭范圍的尺寸限制，某些跡線起始點或終止點的位置無法確定。截長誤差通常使得節(jié)理密度被高估，使得節(jié)理跡長被低估。

(3)尺寸誤差，即測窗或露頭更容易與大節(jié)理相交、測線更容易與長跡線相交。尺寸誤差通常使得節(jié)理跡線密度被低估，節(jié)理跡長被高估。

(4)角度誤差，即節(jié)理面與測窗或測線的夾角越大，則相交概率越大； 反之，則相交概率越小。角度誤差使得與測窗或測線夾角大的節(jié)理的密度被高估，使得與測窗或測線夾角小的節(jié)理的密度被低估。

當野外測量的最小跡長閾值遠小于平均跡長和地下洞室截面尺寸時，可以忽略截短誤差的影響(Zhang et al.， 1998)。同時，隨著無人機攝影以及三維點云處理等技術(shù)的引入，使得跡長測量精度接近厘米級，大大降低了截短誤差的影響(趙明宇等， 2018； 張愷等， 2019)。在此前提條件下，對于滿足“三維空間條件下中心點服從泊松分布”假設(shè)(Lanney， 1978)的平行、近平行或者分組平行節(jié)理，跡長信息主要受到上述截長和尺寸誤差的影響，密度信息主要受到上述截長、尺寸和角度誤差的影響(Song， 2006)。針對跡長信息的誤差修正，從20世紀70年代開始國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了大量的研究(陳劍平等， 1996； Cruden， 1977； Pahl， 1981； Wu et al.，2011)，此處不作討論。本文重點分析節(jié)理密度的誤差修正方法。

為修正截長和尺寸誤差對節(jié)理密度的影響，Mauldon(1998)通過關(guān)聯(lián)點分析，推導(dǎo)獲得了任意形狀凸面測窗中節(jié)理跡線中點密度的計算公式。Zhang et al.(1998)通過對Pahl(1981)以及Kulatilake et al.(1984)方法的拓展，推導(dǎo)出了圓形測窗中節(jié)理跡線數(shù)量、平均長度和跡線中點密度的關(guān)聯(lián)關(guān)系。楊春和等(2006)根據(jù)上述關(guān)聯(lián)關(guān)系推導(dǎo)了圓形測窗條件下節(jié)理跡線中點密度的計算公式，與Mauldon(1998)提出的計算公式一致。此外，Song(2006)將測窗面積倒數(shù)作為權(quán)重系數(shù)，進一步將Mauldon(1998)計算方法推廣至多個不平行面組成的測窗中。但是，上述方法均沒有考慮角度誤差的影響。

為修正角度誤差，Terzaghi(1965)最早提出了利用節(jié)理面與測線或測窗夾角正弦倒數(shù)進行修正的思路。根據(jù)上述原理，Palmstr?m(1995)認為可以將每條節(jié)理與測線或測窗的夾角正弦倒數(shù)作為節(jié)理出現(xiàn)頻率的權(quán)重系數(shù)，并提出了修正節(jié)理密度指標wJd。Sonmez et al. (2004)指出了指標wJd對測窗長度的敏感性，并提出了利用方形測窗計算指標wJd的方案。Nefeslioglu et al. (2006)在大理巖采石場塊體分析中使用了指標wJd，發(fā)現(xiàn)其與節(jié)理密集度具有很好的對應(yīng)性。劉明等(2016)推導(dǎo)了傾斜測窗上指標wJd的計算公式。但是，上述研究成果并沒有完全解決指標wJd對測窗尺寸敏感等問題。

上述研究中鮮有同時修正截長、尺寸和角度誤差的計算方法。因此，通過融合上述修正方法，本文提出了一種可以同時修正截長、尺寸和角度誤差的節(jié)理跡線中點密度計算方法，繼而利用算例測試和驗證了新方法的有效性，最后實現(xiàn)了巖體露頭節(jié)理數(shù)據(jù)的實例分析。

1 基本原理及改進方法

Mauldon(1998)基于關(guān)聯(lián)點分析提出了截長和尺寸誤差修正方法，適用于任意凸面測窗，是目前最為常用的節(jié)理跡線中點密度計算方法之一。而目前的角度誤差修正方法則主要是Palmstr?m(1995)基于Terzaghi(1965)修正原理提出的計算方法。本節(jié)首先介紹上述修正方法，繼而提出可以同時修正截長、尺寸和角度誤差的節(jié)理跡線中點密度計算方法。

1.1 截長和尺寸誤差修正方法

Mauldon(1998)通過關(guān)聯(lián)點分析，提出了可以修正截長和尺寸誤差的節(jié)理跡線中點密度計算方法：

(1)

式中：d為節(jié)理跡線中點密度；A為測窗面積；N為測窗內(nèi)節(jié)理跡線總數(shù)目；Nt為上下端點均不可見的跡線的數(shù)目，Nc為上下端點均可見的跡線的數(shù)目(圖 1)。上述公式僅假定跡線在二維平面上均勻分布，只需要輸入節(jié)理跡長及其位置信息； 適用于任意形狀的凸面測窗； 對測窗面積無明確要求，建議通過改變測窗面積進行試算，在測窗面積v.s. 密度曲線上尋找平穩(wěn)水平段，繼而確定最終的密度計算結(jié)果。上述公式實際上忽略了上下端均不可見的跡線，同時將僅有一個端點可見的跡線的頻數(shù)乘以權(quán)重系數(shù)0.5，從而實現(xiàn)了截長和尺寸誤差的修正。

圖 1 凸面測窗與節(jié)理跡線示意圖Fig. 1 Sketch of joint traces and convex survey window

上述計算方法不需要預(yù)先進行節(jié)理優(yōu)勢組劃分，也不需要預(yù)估節(jié)理跡線的分布函數(shù)，易于實際應(yīng)用。楊春和等(2006)和雷光偉等(2016)利用上述計算方法分析了跡線中點密度和到斷裂帶距離的相關(guān)關(guān)系，實現(xiàn)了花崗巖巖體中斷裂影響帶的識別。但是，上述計算方法沒有考慮露頭面與節(jié)理面夾角變化而引起的角度誤差。

1.2 角度誤差修正方法

Palmstr?m(1995)將每條節(jié)理與巖體露頭面的夾角的正弦倒數(shù)作為節(jié)理出現(xiàn)頻率的權(quán)重系數(shù)，提出了可以修正角度誤差的密度指標wJd。為了減小指標wJd對測窗面積的敏感性，劉健等(2018)將指標wJd計算公式中的面積平方根調(diào)整為面積：

(2)

式中：wJd為修正后的節(jié)理跡線密度；A為測窗面積；N為測窗內(nèi)節(jié)理跡線總數(shù)目；δ為節(jié)理面與露頭面的夾角。上述公式需要輸入節(jié)理產(chǎn)狀和露頭方位信息，適用于任意形狀的測窗，對測窗面積無明確要求。

上述計算方法同樣不需要預(yù)先進行節(jié)理優(yōu)勢組劃分，也不需要預(yù)估節(jié)理跡線的分布函數(shù)，易于實際應(yīng)用。算例表明，指標wJd對露頭的方位變化不敏感，并且其取值與節(jié)理體密度具有良好的線性對應(yīng)關(guān)系； 但是，在較小測窗半徑條件下，修正后的指標wJd取值仍存在較大幅度的波動(劉健等， 2018)。這說明指標wJd可以修正角度誤差，但是仍然受到測窗尺寸的影響。

1.3 截長、尺寸和角度誤差聯(lián)合修正方法

將1.2節(jié)使用的“節(jié)理面與露頭面的夾角的正弦倒數(shù)”作為加權(quán)系數(shù)，帶入到1.1節(jié)的計算公式中，繼而提出了同時修正截長、尺寸和角度誤差的計算公式：

(3)

式中：d為跡線中點密度；A為測窗面積；N為測窗內(nèi)跡線總數(shù)目；Nt為上下端點均不可見的跡線的數(shù)目；Nc為上下端點均可見的跡線的數(shù)目；δ為節(jié)理面與露頭面的夾角。上述公式的適用條件與式(1)一致，但是需要附加輸入露頭方位和節(jié)理產(chǎn)狀信息。

式(3)是式(1)和式(2)的融合，可以同時完成截長、尺寸和角度誤差的修正。此外，式(3)同樣可以繼承式(1)和式(2)的優(yōu)點：不需要預(yù)先進行節(jié)理優(yōu)勢組劃分，也不需要預(yù)估節(jié)理跡線的分布函數(shù)，易于實際應(yīng)用。

2 算例驗證

借助三維節(jié)理網(wǎng)絡(luò)建模技術(shù)，模擬不同方位的巖體露頭，布置不同尺寸和形狀的測窗，分析了截長、尺寸和角度誤差的影響，測試了新算法的性能。

2.1 測試模型構(gòu)建

測試模型的節(jié)理產(chǎn)狀和尺寸信息參照我國高放廢物處置舊井預(yù)選區(qū)十月井斷裂附近的節(jié)理分布信息(表 1和表 2)(劉健等， 2018)。其中，產(chǎn)狀服從Elliptical-Fisher分布，其概率密度分布函數(shù)為(Golder Associates Inc.，2018)：

表 1 節(jié)理產(chǎn)狀分布模型和參數(shù)(劉健等， 2018)Table 1 Distribution law and parameters of joint occurrence

表 2 節(jié)理直徑分布模型和參數(shù)(劉健等， 2018)Table 2 Distribution law and parameters of joint diameter

f(φ，β|k，R，θ)

(4)

式中：φ和β為將Schmidt投影球z軸旋轉(zhuǎn)至優(yōu)勢產(chǎn)狀方向后計算獲得的節(jié)理的相對傾角和傾向；k為離散系數(shù)，反映產(chǎn)狀數(shù)據(jù)的離散程度；R為橢圓長短軸系數(shù)，反映產(chǎn)狀數(shù)據(jù)在兩個相互垂直方向上的密度分布差異；θ為旋轉(zhuǎn)后的Schmidt投影球的正北方向相對于原有正北方向的旋轉(zhuǎn)角。

根據(jù)“三維空間條件下中心點服從泊松分布”的圓盤節(jié)理假設(shè)(Lanney， 1978)，利用蒙特卡洛隨機抽樣技術(shù)構(gòu)建100×100×100m3范圍的三維節(jié)理網(wǎng)絡(luò)模型(圖 2)。優(yōu)勢組-1的節(jié)理體密度設(shè)定為0.05m-3，優(yōu)勢組-2和優(yōu)勢組-3的體密度按照表 1中相對于優(yōu)勢組-1的數(shù)目比例進行確定。通過節(jié)理網(wǎng)絡(luò)模型的中心點，分別設(shè)置水平、東西向豎直和南北向豎直截面，用以模擬不同方位的巖體露頭(圖 3)。在模擬露頭上布置不同尺寸和形狀的測窗，利用式(1)、式(2)和式(3)計算跡線中點密度，分析露頭方位、測窗尺寸和形狀的影響，評價不同計算公式的性能。

圖 2 三維節(jié)理網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 2 3D discrete joint network model

圖 3 不同方位的模擬露頭示意圖Fig. 3 Sketch of simulated outcrops with different orientations

2.2 計算結(jié)果及討論

2.2.1 最大有效測窗

對于節(jié)理網(wǎng)絡(luò)模型，由于“建模范圍外的、有可能延伸到建模范圍內(nèi)的節(jié)理”的缺失，將使得邊界處的跡線密度低于實際值。因此，計算跡線中點密度時，測窗不能過于接近模型邊界。對于直徑服從負指數(shù)分布的節(jié)理，其直徑大于5倍均值的概率小于1%。因此，可以將5倍均值作為可能引起邊界效應(yīng)的直徑閾值。換言之，在露頭上距離邊界大于2.5倍直徑均值的范圍內(nèi)，可以認為節(jié)理跡線均勻分布，是計算跡線中點密度的有效范圍。

根據(jù)表 2，優(yōu)勢組2的直徑均值(2.64m)最大。因此，可以認為距離邊界大于6.6m的露頭內(nèi)部區(qū)域為計算跡線中點密度的合理范圍。因此，圍繞露頭中心布置86.8m×86.8m的方形測窗，即為計算跡線中點密度的最大有效測窗。最大有效測窗包含最多的有效數(shù)據(jù)，其密度計算結(jié)果最為可靠。

分別按照式(1)、式(2)和式(3)，計算最大有效測窗條件下的跡線中點密度如表 3所示。

表 3 最大有效測窗條件下的跡線中點密度Table 3 Density of trace mid-point at the biggest effective survey window

對于同一個露頭， 3個公式計算結(jié)果差異明顯，這說明截長、尺寸和角度誤差的影響顯著。此外，對于不同的露頭，式(2)和式(3)給出的跡線中點密度的相對變化率((3個露頭中的最大值-3個露頭中的最小值)/最小值)僅為2%，而式(1)的變化率可達50%。這說明角度誤差使得來自同一節(jié)理網(wǎng)絡(luò)模型的、方位不同的露頭給出了差異顯著的跡線中點密度。

2.2.2 測窗形狀的影響

在圖 3所示的每個模擬露頭上，以中心點為圓心，分別以半徑5m、6m、7m、…、43m布置圓形測窗，利用式(1)、式(2)和式(3)計算跡線中點密度。同時，對應(yīng)于每個圓形測窗，按照等面積和中心點不變的原則，布置一個方形測窗，計算節(jié)理跡線中點密度。圓形與方形測窗的計算結(jié)果如圖 4所示。對于式(1)，在水平、豎直東西向和豎直南北向露頭上，由于測窗形狀變化而引起的跡線中點密度變化率(兩種測窗計算結(jié)果的差值與圓形測窗計算結(jié)果的比值)的最大值分別為6.3%、7.1%和14.3%； 對于式(2)，分別為6.6%、11.9%和16.4%； 對于式(3)，分別為6.1%、5.6%和11.5%。變化率最大值出現(xiàn)在較小測窗面積條件下。此外，兩種測窗條件下，密度計算結(jié)果隨著測窗面積的變化規(guī)律一致。因此，可以認為測窗形狀變化不會引起跡線中點密度計算值的顯著變化。

圖 4 跡線中點密度計算結(jié)果Fig. 4 Results of trace midpoint density a. 僅修正截長和尺寸誤差的計算結(jié)果； b. 僅修正角度誤差的計算 結(jié)果； c. 聯(lián)合修正截長、尺寸和角度誤差的計算結(jié)果

2.2.3 測窗面積的影響

對于式(1)，當測窗面積對數(shù)值大于3時，隨著測窗面積的增大，3個不同方位露頭的跡線中點密度計算值趨于穩(wěn)定(圖 4a)。這說明，式(1)可以有效修正尺寸和截長誤差。但是，3個不同方位露頭的密度計算值并沒有趨于一致(圖 4a)。這說明，針對同一節(jié)理網(wǎng)絡(luò)模型，式(1)給出了不同的跡線中點密度，即角度誤差的影響顯著。

對于式(2)，隨著測窗面積的增大，3個不同方位露頭的密度計算值趨于一致(圖 4b)。這說明，式(2)可以消除角度誤差。但是，3個不同方位露頭的密度計算值并未趨于穩(wěn)定，當測窗面積對數(shù)值大于3時，仍存在持續(xù)下降的趨勢(圖 4b)。這說明，式(2)未能消除截長和尺寸誤差的影響。

對于式(3)，當測窗面積對數(shù)值大于3時， 3個露頭上的密度與表 3中最大有效測窗條件下獲得的計算值的差異均小于5%； 并且3個露頭之間的密度相對變化率小于7%(圖 4c)。即3個不同方位露頭的密度計算值趨于穩(wěn)定，并趨于一致。這說明，式(3)可以消除角度誤差的影響，同時可以有效地控制截長和尺寸誤差。

3 實例應(yīng)用

北山坑探設(shè)施是我國高放廢物處置地下實驗室的先導(dǎo)工程(Wang et al.， 2018)，其硐口處的巖體露頭平整清晰(圖 5a)。利用綜合測線法獲得69條節(jié)理跡線的產(chǎn)狀和跡長等信息(圖 5b)。為計算節(jié)理跡線中點密度，在露頭上按照以下兩種方案布置測窗：方案1，沿露頭最長測線方向、以0.5m為間隔連續(xù)布置半徑為5m的圓形測窗(圖 5b)； 方案2，以露頭最長測線中點為圓心連續(xù)布置半徑為5m、5.5m、…、10m的圓形測窗(圖 5c)。

圖 5 露頭照片、節(jié)理跡線圖及測窗布置方案 (實心點-測窗中心、圓形-測窗、直線段-節(jié)理跡線)Fig. 5 Outcrop photo， trace map and different designs of survey windows (solid point-center of survey window， circle-survey window， line-joint trace) a.山坑探設(shè)施開挖前硐口巖體露頭照片； b. 測窗布置方案1； c. 測窗布置方案2

根據(jù)測窗布置方案1，計算獲得的節(jié)理跡線中點密度結(jié)果如圖 6所示。相比于式(1)和式(3)，式(2)給出的跡線中點密度的變化幅度更大，說明截長和尺寸誤差隨著測窗位置的變化而顯著變化。式(3)的計算結(jié)果高于式(1)的計算結(jié)果(增大幅度在8.1%～14.5%范圍內(nèi))，說明角度誤差可以使得計算結(jié)果出現(xiàn)10%左右的偏差。當測窗位置變化時，尤其是測窗位于露頭中部(即測窗中心到測線起點的距離為15～25m)時，式(1)和式(3)計算結(jié)果穩(wěn)定，說明此區(qū)域內(nèi)節(jié)理跡線的分布相對更為均勻； 根據(jù)式(3)結(jié)果，此區(qū)域內(nèi)的跡線中點密度分布在0.117～0.147m-2范圍內(nèi)，均值為0.135m-2。

圖 6 不同位置測窗上的節(jié)理跡線中點密度Fig. 6 Results of midpoint density of joint traces obtained from survey windows at different locations

圖 7 不同測窗半徑條件下的節(jié)理跡線中點密度Fig. 7 Results of midpoint density of joint traces under different survey radii

根據(jù)測窗布置方案2，計算獲得的節(jié)理跡線中點密度與測窗半徑的對應(yīng)關(guān)系如圖 7所示。隨著測窗半徑的增大，式(2)計算結(jié)果整體上呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢，并逐漸接近式(3)計算結(jié)果； 而式(1)和式(3)計算結(jié)果更為穩(wěn)定，并且式(3)的計算結(jié)果高于式(1)的計算結(jié)果。上述變化規(guī)律與2.2節(jié)所示的算例結(jié)果變化規(guī)律一致。因此，可以推斷：巖體中節(jié)理分布特征與2.2節(jié)中的節(jié)理分布特征相似，即均滿足“三維空間條件下節(jié)理中心點服從泊松分布”的假設(shè)。這說明，按照測窗布置方案2，分別利用式(1)、式(2)和式(3)計算節(jié)理跡線中點密度，可以為判定巖體中節(jié)理分布規(guī)律是否滿足“三維空間條件下中心點服從泊松分布”假設(shè)提供佐證，繼而為后續(xù)的節(jié)理三維分布特征分析和網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建提供支撐。

上述分析結(jié)果說明，式(3)可以針對真實的巖體露頭給出穩(wěn)定可靠的節(jié)理跡線中點密度。同時，通過計算不同測窗面積條件下的跡線中點密度，可以測試和驗證節(jié)理分布是否滿足“三維空間條件下中心點服從泊松分布”假設(shè)，為后續(xù)的巖體統(tǒng)計均質(zhì)區(qū)劃分和三維節(jié)理網(wǎng)絡(luò)建模等工作提供依據(jù)。

4 結(jié) 論

本文將角度誤差修正系數(shù)引入到關(guān)聯(lián)點密度計算方法中，提出了凸面測窗條件下同時修正截長、尺寸和角度誤差的節(jié)理跡線中點密度計算方法。算例測試和實際應(yīng)用結(jié)果表明：

(1)提出的新方法不需要進行節(jié)理優(yōu)勢組劃分或節(jié)理跡長分布函數(shù)預(yù)估，對測窗方位和尺寸的變化不敏感。建議使用提出的新方法進行野外露頭節(jié)理跡線中點密度計算。

(2)根據(jù)實例應(yīng)用結(jié)果，建議分別利用截長和尺寸誤差修正方法、角度誤差修正方法以及提出的新方法，計算分析不同測窗面積條件下的跡線中點密度，為判定節(jié)理分布是否滿足“三維空間條件下中心點服從泊松分布”的假設(shè)提供佐證。