五個(gè)與生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)定理

誰說數(shù)學(xué)是枯燥的？今天介紹幾個(gè)與生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)定理，這些充滿生活氣息的數(shù)學(xué)定理，不但深受數(shù)學(xué)家們的喜愛，而且在數(shù)學(xué)迷的圈子里也廣為流傳。

定理1：喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥則可能永遠(yuǎn)也回不了家，

假設(shè)有一條水平直線，從某個(gè)位置出發(fā)，每次有50%的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米，按照這種方式無限地隨機(jī)游走下去，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率是多少？答案是100%，在一維隨機(jī)游走過程中，只要時(shí)間足夠長，我們最終總能回到出發(fā)點(diǎn)。

有一個(gè)喝醉的酒鬼，他在街道上隨機(jī)游走，假設(shè)整個(gè)城市的街道呈網(wǎng)格狀分布，酒鬼每走到一個(gè)十字路口，都會以相等的概率選擇一條路（包括自己來時(shí)的那條路）繼續(xù)走下去，那么他最終能夠回到出發(fā)點(diǎn)的概率是多少呢？答案也還是100%，剛開始時(shí)，這個(gè)醉鬼可能會越走越遠(yuǎn)，但最后他總能找到回家路。

不過，醉酒的小鳥就沒有這么幸運(yùn)了，假如一只小鳥在飛行時(shí)，每次都從上、下、左、右、前、后幾個(gè)方向中概率均等地選擇一個(gè)方向，那么它很有可能永遠(yuǎn)也回不到出發(fā)點(diǎn)，事實(shí)上，在三維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率只有大約34%。

這個(gè)定理是著名數(shù)學(xué)家波利亞（George P6lva）在1921年證明的，隨著維度的增加，回到出發(fā)點(diǎn)的概率將變得越來越低，在四維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率是19.3%，而在八維空間中，這個(gè)概率只有7.3%。

定理2：把一張當(dāng)?shù)氐牡貓D平鋪在地上，總能在地圖上找到一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)下面的地上的點(diǎn)正好就是它在地圖上所表示的位置。

如果在商場的地板上畫了一張整個(gè)商場的地圖，那么你總能在地圖上精確地作一個(gè)“你在這里”的標(biāo)記。

1912年，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾（Luiten Brouw-er）證明了這么一個(gè)定理：假設(shè)D是某個(gè)圓盤中的點(diǎn)集，∫是一個(gè)從D到它自身的連續(xù)函數(shù)，則一定有一個(gè)點(diǎn)x，使得∫（x）=x換句話說，讓一個(gè)圓盤里的所有點(diǎn)做連續(xù)運(yùn)動，則總有一個(gè)點(diǎn)可以正好回到運(yùn)動之前的位置，這個(gè)定理叫做布勞威爾不動點(diǎn)定理（Brouwer fixed pointtheorem）。

除了上面的“地圖定理”，布勞威爾不動點(diǎn)定理還有很多其它奇妙的推論，如果取兩張大小相同的紙，把其中一張紙揉成一團(tuán)之后放在另一張紙上，根據(jù)布勞威爾不動點(diǎn)定理，紙團(tuán)上一定存在一點(diǎn)，它正好位于下面那張紙的同一個(gè)點(diǎn)的正上方。

這個(gè)定理也可以擴(kuò)展到三維空間中去：當(dāng)你攪拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一個(gè)點(diǎn)，它在攪拌前后的位置相同（雖然這個(gè)點(diǎn)在攪拌過程中可能“到過”別的地方）。

定理3：你永遠(yuǎn)不能理順椰子上的毛，

想象一個(gè)表面長滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭發(fā)一樣的漩嗎？拓?fù)鋵W(xué)告訴你，這是辦不到的，這叫做毛球定理（haairy ball tlleorem），它也是由布勞威爾首先證明的，用數(shù)學(xué)語言來說，就是在—個(gè)球體表面，不可能存在連續(xù)的單位向量場，這個(gè)定理可以推廣到更高維的空間：對于任意一個(gè)偶數(shù)維的球面，連續(xù)的單位向量場都是不存在的。

毛球定理在氣象學(xué)上有一個(gè)有趣的應(yīng)用：由于地球表面的風(fēng)速和風(fēng)向都是連續(xù)的，因此由毛球定理可知，地球上總會有一個(gè)風(fēng)速為0的地方，也就是說氣旋和風(fēng)眼是不可避免的。

定理4：在任意時(shí)刻，地球上總存在對稱的兩點(diǎn)，他們的溫度和大氣壓的值正好都相同，

波蘭數(shù)學(xué)家烏拉姆（stanistaw Marcin Ulam）曾經(jīng)猜想，任意給定一個(gè)從n維球面到n維空間的連續(xù)函數(shù)，總能在球面上找到兩個(gè)與球心相對稱的點(diǎn)，他們的函數(shù)值是相同的，1933年，波蘭數(shù)學(xué)家博蘇克（Karol Borsuk）證明了這個(gè)猜想，這就是拓?fù)鋵W(xué)中的博蘇克一烏拉姆定理（Borsuk-Ulam theorem）。

博蘇克一烏拉姆定理有很多推論，其中一個(gè)推論就是，在地球上總存在對稱的兩點(diǎn)，他們的溫度和大氣壓的值正好都相同（假設(shè)地球表面各地的溫度差異和大氣壓差異是連續(xù)變化的），這是因?yàn)?，我們可以把溫度值和大氣壓值所有可能的組合看成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，于是地球表面各點(diǎn)的溫度和大氣壓變化情況就可以看作是二維球面到二維平面的函數(shù)，由博蘇克一烏拉姆定理便可推出，一定存在兩個(gè)函數(shù)值相等的對稱點(diǎn)。

當(dāng)n=1時(shí)，博蘇克一烏拉姆定理則可以表述為，在任意時(shí)刻，地球的赤道上總存在溫度相等的兩個(gè)點(diǎn)，對于這個(gè)弱化版的推論，我們有一個(gè)非常直觀的證明方法：假設(shè)赤道上有A、B兩個(gè)人，他們站在關(guān)于球心對稱的位置上，如果此時(shí)他們所在的地方溫度相同，問題就已經(jīng)解決了，下面我們只需要考慮他們所在地點(diǎn)的溫度一高一低的情況，不妨假設(shè)，A所在的地方是10度，B所在的地方是20度，現(xiàn)在，兩人以相同的速度相同的方向沿著赤道旅行，保持兩人始終在對稱的位置上，假設(shè)在此過程中，各地的溫度均不變，在旅行過程中，兩人不斷報(bào)出自己所在地的溫度，等到兩人都環(huán)行赤道半周后，A就到了原來B的位置，B也到了A剛開始時(shí)的位置，在整個(gè)旅行過程中，A所報(bào)的溫度從10開始連續(xù)變化（有可能上下波動甚至超出10到20的范圍），最終變成了20;而B經(jīng)歷的溫度則從20出發(fā)，最終連續(xù)變化到了10.那么，他們所報(bào)的溫度值在中間一定有“相交”的一刻，這樣一來我們也就找到了赤道上兩個(gè)溫度相等的對稱點(diǎn)。

定理5：任意給定一個(gè)火腿三明治，總有一刀能把它切開，使得火腿、奶酪和面包片恰好都被分成兩等份，

有趣的是，這個(gè)定理的名字真的就叫做“火腿三明治定理”（ham sandwich theorem），它是由數(shù)學(xué)家亞瑟·斯通（Anhur stone）和約翰·圖基（John Tukey）在1942年證明的，在測度論中有著非常重要的意義。

火腿三明治定理可以擴(kuò)展到n維的情況：如果在n維空間中有n個(gè)物體，那么總存在一個(gè)n-1維的超平面，它能把每個(gè)物體都分成“體積”相等的兩份，這些物體可以是任何形狀，還可以是不連通的（比如面包片），甚至可以是一些奇形怪狀的點(diǎn)集，只要滿足點(diǎn)集可測就行了。