橢球變換構(gòu)建工程獨(dú)立坐標(biāo)系方法比較*

劉國棟，劉 佳，秦 浩，劉 浪

(重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

隨著社會(huì)現(xiàn)代化的進(jìn)程，對(duì)工程控制的要求呈現(xiàn)出高精度化、大范圍化，高精度的GNSS定位技術(shù)的發(fā)展，很好的滿足了這個(gè)需求。但工程區(qū)域過大會(huì)使得區(qū)域跨經(jīng)度范圍過大，地形起伏相對(duì)高差變大，若仍采用以參考橢球面作為投影面的3°帶與6°帶國家大地坐標(biāo)系建立方法，那么高精度將無法保證[1]。故在實(shí)際的工程中一般會(huì)選擇區(qū)域內(nèi)中央經(jīng)線作為新的中央子午線和改變投影面使用新的參考橢球來建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)，從而滿足測(cè)區(qū)內(nèi)長(zhǎng)度投影變形不大于2.5 cm/km的工程規(guī)范[2]。改變投影面目的是將平面坐標(biāo)歸算到區(qū)域內(nèi)的平均高程面上[3]，即通過改變橢球參數(shù)，使得變換后的參考橢球面與測(cè)區(qū)內(nèi)平均高程面相切，作為新的大地坐標(biāo)系的投影面。

首先，分析了工程獨(dú)立坐標(biāo)系建系原則，供讀者選擇適合工程實(shí)際需求的建系方式，對(duì)橢球膨脹法、橢球平移法、橢球變形法原理進(jìn)行探討，論述通過橢球變換建立具有抵償投影面獨(dú)立坐標(biāo)系的方法流程，最后，通過算例驗(yàn)證該方法構(gòu)建獨(dú)立坐標(biāo)系對(duì)精度提高的可行性，并分析三種橢球變換法建系的差異優(yōu)缺點(diǎn)，為不同實(shí)際工程提供選擇參考。

1 工程獨(dú)立坐標(biāo)系建系

1.1 工程建系規(guī)范

從外業(yè)觀測(cè)值到參考橢球面再投影到高斯平面坐標(biāo)系的過程中，主要有兩次長(zhǎng)度變形[4]：

(1)量測(cè)邊的高程歸化，假設(shè)量測(cè)水準(zhǔn)面已經(jīng)過垂線偏差改正，量測(cè)邊的平均水準(zhǔn)面平行于橢球面，平均水準(zhǔn)面與橢球面有一定距離Hm，需要進(jìn)行高程歸化。

(1)

(2)橢球大地線的高斯投影距離改化，橢球面上大地線投影到高斯平面上，需要距離改化。

(2)

為了便于施工放樣工作的順利進(jìn)行，要求在圖紙上量測(cè)的邊長(zhǎng)數(shù)據(jù)按照比例尺計(jì)算的實(shí)地邊長(zhǎng)，應(yīng)和實(shí)地量測(cè)的邊長(zhǎng)在長(zhǎng)度上相等[5]。在《工程測(cè)量規(guī)范》(GB50026-2007)中規(guī)定：建立平面控制網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)，應(yīng)滿足測(cè)區(qū)內(nèi)長(zhǎng)度投影變形不大于2.5 cm/km，相對(duì)長(zhǎng)度變形小于1/40 000。

1.2 工程坐標(biāo)系建立原則

根據(jù)工程建系規(guī)范，結(jié)合實(shí)際情況選擇平面投影建系原則：

(1)在滿足工程規(guī)范精度要求前提下，根據(jù)實(shí)際工程區(qū)域范圍距離國家標(biāo)準(zhǔn)3°或6°帶中央子午線不超過45 km，選擇標(biāo)準(zhǔn)的國家3°或6°帶高斯投影，建立坐標(biāo)系，有助于工程應(yīng)用。

(2)若邊長(zhǎng)的投影歸算不能達(dá)到精度要求，為保證工程坐標(biāo)系能滿足精度，需要考慮其他方式進(jìn)行投影：

①更改中央子午線，一般選擇工程區(qū)域內(nèi)中央經(jīng)線作為投影建系的中央子午線，將地面觀測(cè)結(jié)果依然歸算到參考橢球面上，即任意帶高斯投影[6]；

②更改投影面，建系過程仍然采用3°或6°帶高斯投影，但投影面則是選擇合適的高程面作為抵償投影面，一般選擇測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的平均高程面，即抵償投影面的高斯投影；

③既更改中央子午線又更改投影面，即具有抵償投影面的高斯任意帶投影[7]。

實(shí)際工程中為追求高精度，多采用具有抵償投影面的高斯任意帶投影建系，將橢球運(yùn)用某種方法進(jìn)行變換，使橢球面變換到與原橢球的某一高程面上，再將變換后的橢球控制點(diǎn)按照任意帶高斯投影到新橢球的橢球面上，從而達(dá)到一定區(qū)域范圍的投影變形最小化，極大的提高投影精度。

2 變換橢球獨(dú)立坐標(biāo)系建系原理

建立與工程區(qū)域相適應(yīng)的投影坐標(biāo)系，需要先確定合適的參考橢球，橢球都是由橢球參數(shù)所確定的，在原符合全球范圍的參考橢球的基礎(chǔ)上進(jìn)行變換。不同的橢球變換方法會(huì)引起橢球參數(shù)如坐標(biāo)原點(diǎn)、長(zhǎng)半軸、扁率以及坐標(biāo)軸指向等的變化，但一般不會(huì)引起坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)與尺度的變化[8]。橢球參數(shù)的變化會(huì)引起大地坐標(biāo)經(jīng)度、緯度的變化，大地坐標(biāo)變化量采用廣義大地坐標(biāo)微分公式可得：

(3)

代入不同平移參數(shù)、旋轉(zhuǎn)參數(shù)、橢球幾何要素以及尺度因子Δm可計(jì)算出不同橢球變換方法，主要方法有橢球膨脹法、橢球平移法、橢球變形法[9]。

2.1 橢球變換

2.1.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法是保持橢球的扁率α不變、橢球中心點(diǎn)不變，通過增長(zhǎng)短半軸與長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度達(dá)到橢球膨脹效果，使得膨脹后的橢球面與目標(biāo)高程面相切(高程面可能不與橢球面平行，切點(diǎn)稱為基準(zhǔn)點(diǎn)，下同)[10]，如圖1所示。

圖1 橢球膨脹法

P點(diǎn)為地面點(diǎn)，E1為原橢球，E2為膨脹后橢球，Ph為投影抵償面(即指定高程面)，橢球膨脹的過程是將原橢球E1保持扁率α不變，膨脹到投影抵償面Ph，得到新橢球E2，Δh為P點(diǎn)沿著法線方向E1到E2的距離。因?yàn)闄E球的各向異性，P點(diǎn)在原橢球中的法線與變換后橢球中的法線不一定會(huì)重合，這使得橢球膨脹法的長(zhǎng)半軸參數(shù)確定出現(xiàn)多種計(jì)算方法[11]。本文選用法線方向直接增長(zhǎng)法進(jìn)行橢球膨脹法探討，把變換前后P點(diǎn)兩法線視作重合，故有：

(4)

式中，B0為基準(zhǔn)點(diǎn)P點(diǎn)經(jīng)緯度；Δh為選擇抵償投影面的大地高，即Ph大地高；da為橢球長(zhǎng)軸變化量，為使得da=0，短軸相應(yīng)發(fā)生變化。

變換前后空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)沒有發(fā)生位移，故dX=dY=dZ=0，也沒有發(fā)生旋轉(zhuǎn)和尺度變化，故εX=εY=εZ=0,Δm=0。由廣義大地坐標(biāo)微分公式(3)可得區(qū)域內(nèi)控制點(diǎn)Pi變化量：

(5)

其中，參數(shù)計(jì)算如下(后文也如此)：

(6)

2.1.2 橢球平移法

橢球平移法是保持原橢球參數(shù)不變，將橢球整體平移到另一位置，使得平移后的橢球面與投影面相切，如圖2所示。

圖2 橢球平移法

原始橢球E1保持原橢球幾何要素不變，da=dα=0，沿P點(diǎn)的法線平移Δh，與定義投影參考面Ph相切，得到新橢球E2。橢球平移前后的基準(zhǔn)點(diǎn)經(jīng)緯度沒有發(fā)生改變，只有橢球中心坐標(biāo)發(fā)生變化，即：

(7)

上式可計(jì)算橢球中心平移量。由廣義大地坐標(biāo)微分公式(3)可得區(qū)域內(nèi)控制點(diǎn)Pi變化量：

(8)

2.1.3 橢球變形法

橢球變形法是保持橢球中心和坐標(biāo)軸指向不變，通過改變橢球長(zhǎng)短半軸與扁率α，達(dá)到膨脹目的，變換前后基準(zhǔn)點(diǎn)的經(jīng)緯度不變，如圖3所示。

圖3 橢球變形法

本文介紹方法是將原橢球E1沿著基準(zhǔn)點(diǎn)P點(diǎn)的法線膨脹Δh，使膨脹的橢球面與設(shè)定投影面Ph相切，保持橢球中心及坐標(biāo)指向不變，變換膨脹橢球的扁率dα≠0，使變形后的橢球P點(diǎn)法線與原橢球法線相重合，從而使基準(zhǔn)點(diǎn)的經(jīng)緯度不變，即:

(9)

由廣義大地坐標(biāo)微分公式(3)可得區(qū)域內(nèi)控制點(diǎn)Pi變化量：

(10)

2.1.4 橢球變換比較

三種橢球變換對(duì)比，從變換特點(diǎn)、控制點(diǎn)大地坐標(biāo)變化及適用范圍三因素考慮，如表1所示。

表1 三種橢球變換法對(duì)比一覽表

2.2 橢球變換獨(dú)立坐標(biāo)系的構(gòu)建流程

(1)在工程區(qū)域內(nèi)選擇中心點(diǎn)(B0、L0、H0)作為基準(zhǔn)點(diǎn)P；

(2)選擇區(qū)域范圍內(nèi)的平均高程所在高程面作為抵償投影面(即Ph)，選擇橢球變換法計(jì)算橢球參數(shù)；

(3)將區(qū)域內(nèi)的原控制點(diǎn)Pi在新橢球參數(shù)下計(jì)算得到新橢球下的控制點(diǎn)坐標(biāo)；

(4)對(duì)新橢球控制點(diǎn)進(jìn)行任意高斯平面投影，得到平面坐標(biāo)(x,y)，即獨(dú)立坐標(biāo)系建成。流程如圖4所示。

圖4 具有抵償投影面獨(dú)立坐標(biāo)系構(gòu)建流程

3 獨(dú)立坐標(biāo)系建立算例分析

為驗(yàn)證建系理論的可行性，設(shè)計(jì)模擬算例進(jìn)行驗(yàn)證，編制橢球變換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換程序。設(shè)定工程原橢球的參考基準(zhǔn)為WGS 84橢球，a=6 378 137,α=1/298.257 223 563，測(cè)區(qū)基準(zhǔn)點(diǎn)P的大地坐標(biāo)為(28°,107°,250)，工程范圍為以P點(diǎn)為中心，經(jīng)度與緯度在點(diǎn)P的±0.2° 范圍，高程在±50 m范圍內(nèi)，隨機(jī)生成控制點(diǎn)30個(gè)，平均高程為250 m。故算例設(shè)定中央子午線為107°，高程補(bǔ)償面Δh=250 m。

本文選擇3個(gè)點(diǎn)為例進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果分析，三點(diǎn)在原橢球的大地坐標(biāo)、方位角與大地線如表2所示。其中,P3距離基準(zhǔn)點(diǎn)最遠(yuǎn)達(dá)到16 km，最短的距離為P1點(diǎn)7 km，三點(diǎn)分別在基準(zhǔn)點(diǎn)的3個(gè)方位上具有很好的代表意義。

表2 控制點(diǎn)原橢球坐標(biāo)、方位角與大地線

橢球變換后控制點(diǎn)大地坐標(biāo)變化量如表3所示。緯度變化上橢球變形法小于其他兩種方法；經(jīng)度變化上只有橢球平移法有變化；大地高變化則是橢球平移法明顯小于其他兩種方法。

表3 控制點(diǎn)橢球變換后大地坐標(biāo)變化量

橢球變換后的大地線大地方位角的變化量如圖5所示。三種橢球變換的大地線變化量與大地線呈正比關(guān)系，距離越遠(yuǎn)變化越大；數(shù)值上，橢球平移法變化最大，橢球變形法次之，橢球膨脹法最小。大地方位角變化，橢球變形法最大，橢球膨脹法次之，橢球平移法最小，接近0值；趨勢(shì)上，橢球膨脹法與橢球變形法大地方位角變化量隨角度增大呈現(xiàn)正弦函數(shù)式周期性變化，而橢球平移法則不穩(wěn)定。在選擇橢球變換的時(shí)候考慮兩種變化因素的綜合影響，因橢球膨脹法的兩種變化因素小且更穩(wěn)定，選擇此方法更為理想。

圖5 橢球變換后相較與原橢球變化量

若在實(shí)驗(yàn)?zāi)M區(qū)域內(nèi)仍采用國家高斯3°帶投影，會(huì)使長(zhǎng)度變形達(dá)到12 cm/km，遠(yuǎn)大于工程規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的2.5 cm/km，如表4所示。若采用本文所述三種基于橢球變換構(gòu)建具有抵償投影面的高斯任意帶投影，建系的平均精度能達(dá)到0.9 cm/km，均能很好的滿足工程的規(guī)范要求。三種利用變換橢球建系方法的投影變形量均與長(zhǎng)度距離呈正比關(guān)系，距離越遠(yuǎn)變形越大，三種方法投影變形量基本相當(dāng)。

表4 邊長(zhǎng)投影變形對(duì)比

4 結(jié) 語

本文介紹了三種具有投影抵償面的獨(dú)立坐標(biāo)系構(gòu)建原理，詳述了建系流程，并設(shè)計(jì)算例實(shí)驗(yàn)，分析橢球變換后大地線、大地方位角變化量及變換橢球前后的高斯投影變形量，得出結(jié)論如下：

(1)三種利用橢球變換構(gòu)建獨(dú)立坐標(biāo)系的方法，精度不僅明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)高斯投影建系，還高精度滿足了工程規(guī)范的需求。

(2)橢球平移法計(jì)算最為簡(jiǎn)單，不需要改變橢球的參數(shù)，大地高變化較小，但距離與方位角不穩(wěn)定，適用于需快速實(shí)現(xiàn)高斯投影計(jì)算時(shí)；橢球變形法因控制點(diǎn)大地坐標(biāo)、大地線變化量較小，很具優(yōu)勢(shì)，但是其大地方位角變化量較大，計(jì)算相對(duì)來說較為復(fù)雜，較適用于小區(qū)域范圍建系；在面對(duì)大范圍區(qū)域選擇橢球變換時(shí)，針對(duì)精度高、變化量小的原則，可以優(yōu)先選擇橢球膨脹法。