基于應(yīng)力理論的艦炮炮尾抓鉤強(qiáng)度分析

葛書強(qiáng)，楊彬

(1.中國船舶集團(tuán)有限公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015；2.鄭州市科學(xué)技術(shù)情報(bào)研究所，河南 鄭州 450007)

0 引言

某艦炮在射擊時(shí)，炮尾與身管定位塊位置出現(xiàn)斷裂缺口，造成自動(dòng)機(jī)停射。對該炮尾部位進(jìn)行測量后發(fā)現(xiàn)炮尾抓鉤尺寸偏小，結(jié)構(gòu)壁厚偏薄弱。

為了查找炮尾裂口原因，校核炮尾強(qiáng)度是否足夠，分別建立炮尾名義尺寸和實(shí)測尺寸模型，對炮尾-身管耦合模型進(jìn)行非線性接觸分析，對炮尾抓鉤進(jìn)行強(qiáng)度分析。

1 炮身軸向載荷理論計(jì)算

由火炮內(nèi)彈道相關(guān)理論[1–3]，彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)期炮膛合力分為3 部分：

1）火藥氣體作用在膛底的力Pt；

2）作用在藥室錐面上的力Pzm；

3）彈丸作用在膛線上的力r。

膛內(nèi)時(shí)期炮膛合力示意圖如圖1 所示。

圖1 膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)期炮膛合力作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of gun bore resultant force during interior ballistics process

1.1 火藥氣體作用在膛底的力

膛內(nèi)火藥氣體膛底壓力pt與膛內(nèi)平均壓力p關(guān)系如下[4]：

式中：q為彈丸質(zhì)量；w為裝藥質(zhì)量；φ1為僅考慮彈丸旋轉(zhuǎn)和摩擦兩種次要功的計(jì)算系數(shù)，φ1≈1.02；φ為次要功計(jì)算系數(shù)。

用St表示膛底斷面積，作用在膛底的力為：

1.2 作用在藥室錐面上的軸向分力

膛內(nèi)壓力分布是不均勻的，火藥氣體壓力沿藥室長度分布也不均勻。作用在藥室錐面上的軸向分力為：

式中：pzm為整個(gè)藥室錐面上所受火藥氣體壓力的平均值，pzm與pt相差不大；S為線膛部分的斷面積，則藥室錐面在垂直于炮膛軸線方向的投影面積為St?S。

1.3 彈丸對膛線作用力的軸向分力

膛內(nèi)時(shí)期彈丸的彈帶對膛線作用力的軸向分力r又稱為彈丸膛線阻力。用pd表示火藥氣體的彈底壓力。由牛頓第二定律，以彈丸相當(dāng)質(zhì)量的形式考慮膛線阻力r的作用，彈丸運(yùn)動(dòng)方程為：

將式（5）代入式（6），考慮pd=pφ1/φ，即可得到膛線阻力r與p的關(guān)系為：

將相關(guān)內(nèi)彈道參數(shù)代入式（4）和式（6），即可得到Pzm和r。

Pzm和r可由身管傳遞給炮尾，炮尾抓鉤在射擊時(shí)受到的軸向載荷由這2 個(gè)載荷引起。有限元分析時(shí)將Pzm和r加載到身管上，即可建立炮尾-身管有限元模型并分析。

2 有限元分析模型及結(jié)果

基于PTC Creo 2.0 建立炮尾、身管三維模型，基于Ansys Workbench 18.0 進(jìn)行有限元分析。

2.1 炮尾材料參數(shù)

有限元分析軸向載荷由前文所述方法求得，約束條件由艦炮射擊時(shí)工況確定。炮尾材料為炮鋼，其屈服極限用σs表示，熱處理后其屈服極限超過1 300 MPa，有限元計(jì)算時(shí)所用材料參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)鋼材料參數(shù)Tab.1 Structural steel material parameters

2.2 炮尾有限元分析模型

炮尾抓鉤強(qiáng)度校核不需分析炮閂和炮尾的非線性接觸，將炮尾和炮閂接觸部分切除。射擊時(shí)只有一個(gè)炮膛進(jìn)行點(diǎn)火擊發(fā)，其他炮膛和對應(yīng)身管不受射擊載荷作用。

計(jì)算建立2 種三維模型，一是根據(jù)名義尺寸建立的三維模型；二是根據(jù)炮尾抓鉤實(shí)測尺寸建立的三維模型。由于工況相同，兩模型的邊界條件相同，有限元模型的約束及載荷情況如圖2 所示。炮尾后斷面為固定約束，滾珠滾道為軸向位移約束，身管前端臺座與六面體貼合處為法向位移約束，膛底為均布壓力，施加沿發(fā)射方向的藥室錐面軸向力Pzm和內(nèi)膛壁面軸向力r。

圖2 約束和載荷加載情況示意Fig.2 Schematic diagram of constraint and load

2.3 兩種模型有限元分析結(jié)果

基于大量的理論研究和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，目前已經(jīng)提出了上百個(gè)強(qiáng)度模型或準(zhǔn)則，按照剪應(yīng)力分類，可以將強(qiáng)度理論劃分為單剪強(qiáng)度理論（SSS 理論，Single-Shear Strength Theory）、雙剪強(qiáng)度理論（TSS 理論，Twin-Shear Strength Theory）和八面體剪應(yīng)力強(qiáng)度強(qiáng)度理論（OSS 理論，Octahedral-Shear Strength Theory）三大系列強(qiáng)度理論[5–6]。Tresca 屈服條件是SSS 強(qiáng)度理論的單參數(shù)準(zhǔn)則，Mises 屈服條件是OSS 強(qiáng)度理論的單參數(shù)準(zhǔn)則，最大偏應(yīng)力屈服條件是TSS 理論的單參數(shù)準(zhǔn)則。

對炮尾抓鉤分別按照Tresca 屈服條件、Mises 屈服條件和最大偏應(yīng)力屈服條件進(jìn)行校核，提取炮尾Tresca等效應(yīng)力、Mises 等效應(yīng)力、最大偏應(yīng)力等效應(yīng)力云圖。

炮尾抓鉤內(nèi)側(cè)圓角被抓鉤側(cè)壁擋住，在觀察其應(yīng)力分布時(shí)難以直接觀察到圓角根部，對炮尾進(jìn)行切片處理，在炮尾前端鏡面前進(jìn)行剖切，便于觀察圓角根部和抓鉤側(cè)壁處應(yīng)力分布。

1）Tresca 等效應(yīng)力結(jié)果

圖3 抓鉤Tresca 等效應(yīng)力云圖Fig.3 Nephogram of grapnel Tresca equivalent stress

2）Mises 等效應(yīng)力結(jié)果

圖4 抓鉤Mises 等效應(yīng)力云圖Fig.4 Nephogram of grapnel Mises equivalent stress

3）最大偏應(yīng)力等效應(yīng)力結(jié)果

圖5 抓鉤最大偏應(yīng)力等效應(yīng)力云圖Fig.5 Nephogram of grapnel maximum deviatoric stress equivalent stress

4）抓鉤根部等效應(yīng)力沿路徑的分布

取抓鉤圓角根部路徑（Path），由3 種屈服條件求得的等效應(yīng)力隨路徑的分布曲線如圖6～圖8 所示?？芍刃?yīng)力在倒角根部兩側(cè)和中間點(diǎn)附近達(dá)到峰值，抓鉤在此3 處承受較大的周期性交變載荷作用，此3 處易成為疲勞源，裂紋易在此處形核擴(kuò)展，進(jìn)而造成炮尾抓鉤斷裂失效。

圖6 抓鉤根部Tresca 等效應(yīng)力沿路徑的變化Fig.6 Curve of grapnel chamfer Tresca equivalent stress along the path

圖7 抓鉤根部Mises 等效應(yīng)力沿路徑的變化Fig.7 Curve of grapnel chamfer Mises equivalent stress along the path

圖8 抓鉤根部最大偏應(yīng)力等效應(yīng)力沿路徑的變化Fig.8 Curve of grapnel chamfer maximum deviatoric stress equivalent stress along the path

3 3 種強(qiáng)度理論下的炮尾強(qiáng)度分析

3.1 3 種強(qiáng)度理論對比

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)屈服條件為應(yīng)力空間中的曲線、曲面或超曲面。初始屈服條件一般可表示為：

對各向同性材料，屈服條件與坐標(biāo)無關(guān)，可用應(yīng)力張量不變量表示為：

炮鋼應(yīng)用于火炮自動(dòng)機(jī)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明靜水壓力對其屈服的影響可以忽略不計(jì)[7]，忽略其影響，屈服條件可用應(yīng)力偏張量不變量表示為：

法國工程師H.Tresca 提出的Tresca 屈服條件[8]的一般應(yīng)力表達(dá)式為：

它是非正則的，由6 個(gè)線性函數(shù)構(gòu)成，幾何上是一個(gè)不光滑曲面，在數(shù)學(xué)處理上不方便。

德國力學(xué)家R.Von Mises 提出用圓柱面代替Tresca正六邊棱柱面，即為Mises 屈服條件，它的一般應(yīng)力表達(dá)式為：

最大偏應(yīng)力屈服條件[8]（又稱雙剪應(yīng)力屈服條件）最早由R.Schmidt 提出，后由俞茂宏用雙剪應(yīng)力的概念對該屈服條件進(jìn)行了說明，其一般表達(dá)式為：

單剪強(qiáng)度理論的極限面為所有外凸極限軌跡的內(nèi)邊界，雙剪強(qiáng)度理論的極限面為所有外凸極限軌跡的外邊界，八面體剪應(yīng)力強(qiáng)度理論的極限面居中[6]，如圖9 所示。

圖9 三大系列強(qiáng)度理論的極限面[6]Fig.9 Limit surface of three series of strength theories[6]

作為三大系列強(qiáng)度理論的單參數(shù)準(zhǔn)則，在π 平面（或偏平面）上，若假定單軸拉伸時(shí)2 個(gè)屈服面重合，則Tresca 六邊形內(nèi)接于Mises 圓，此時(shí)2 個(gè)屈服面在純剪切狀態(tài)時(shí)差別最大為33.33%。若假定純剪切時(shí)2 個(gè)屈服面重合，則Tresca 六邊形外切于Mises 圓，此時(shí)2 個(gè)屈服面在單軸拉伸（或壓縮）狀態(tài)時(shí)差別最大為33.33%。最大偏應(yīng)力屈服條件在π 平面上為一外切于Mises 圓的正六邊形，相對于內(nèi)接Tresca 正六邊形旋轉(zhuǎn)30°，如圖10 所示。

圖10 3 種強(qiáng)度理論屈服面的關(guān)系[8–9]Fig.10 Relationships between yield surface of three strength theories[8–9]

3.2 3 種強(qiáng)度理論校核結(jié)果及分析

3.2.1 3 種屈服條件校核結(jié)果

分別按Tresca 屈服條件、Mises 屈服條件、最大偏應(yīng)力屈服條件校核該炮尾抓鉤處的強(qiáng)度。

名義尺寸模型計(jì)算結(jié)果為：

實(shí)測最小尺寸計(jì)算結(jié)果為：

3 種強(qiáng)度理論分析結(jié)果整理后如表2 所示。

3.2.2 結(jié)果分析

抓鉤按Tresca 屈服條件校核時(shí)，名義尺寸模型滿足2 倍安全系數(shù)，不滿足2.5 倍安全系數(shù)，實(shí)測尺寸模型不滿足2 倍安全系數(shù)，此時(shí)其安全系數(shù)（n）降為1.84，強(qiáng)度不足。

抓鉤按Mises 屈服條件和最大偏應(yīng)力屈服條件校核時(shí)，名義尺寸模型均近似滿足2.5 倍安全系數(shù)，實(shí)測尺寸模型均滿足2 倍安全系數(shù)，不滿足2.5 倍安全系數(shù)。且由表2 可知，不論是名義尺寸模型還是實(shí)測尺寸模型，均有最大偏應(yīng)力屈服條件安全系數(shù)最大，Tresca 屈服條件安全系數(shù)最小，Mises 屈服條件安全系數(shù)居中，計(jì)算結(jié)果與理論預(yù)測結(jié)果一致。

表2 安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation results of safety factor

各種屈服理論的可靠性需要由實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，據(jù)此可對比分析Tresca 屈服條件、Mises 屈服條件、最大偏應(yīng)力屈服條件與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的吻合程度。

Lode 薄壁圓筒拉伸-內(nèi)壓實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11（a）所示[10]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Mises 屈服條件更接近，與Tresca 屈服條件偏離較遠(yuǎn)。如前文所述，若拉伸時(shí)各屈服條件重合，剪切時(shí)最大偏差可達(dá)33.33%，由于未考慮剪應(yīng)力的影響，此實(shí)驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)證并不充分。

圖11 各屈服條件和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.11 Comparison of yield conditions and experimental data

Taylor 等[11]又進(jìn)行了薄壁圓筒拉伸-扭轉(zhuǎn)聯(lián)合作用實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖11（b）所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，鋁和銅與Mises 屈服條件吻合較好，而軟鋼實(shí)驗(yàn)結(jié)果更接近最大偏應(yīng)力屈服條件，且所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果都與Tresca屈服條件偏離較遠(yuǎn)。

Tresca 屈服條件在材料力學(xué)中經(jīng)過處理，被稱為最大剪應(yīng)力理論，其強(qiáng)度條件在材料力學(xué)中被表述為：

其只考慮最大和最小主應(yīng)力的作用，未考慮中間主應(yīng)力的作用，大量理論研究和試驗(yàn)研究結(jié)果表明，中間主應(yīng)力對材料屈服確實(shí)存在一定的影響，其對材料失效破壞的影響在很多應(yīng)力狀態(tài)下是不能忽略的[12–13]。根據(jù)Tresca 屈服條件得到的強(qiáng)度條件偏保守，由此設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)重量偏大，較為笨重，經(jīng)濟(jì)性偏低，不適合對重量要求較高的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

Mises 屈服條件認(rèn)為引起材料屈服的主要因素是畸變能，其強(qiáng)度條件在材料力學(xué)中被表述為：

式（16）中的等效應(yīng)力考慮了3 個(gè)主應(yīng)力的綜合影響，也更符合大量試驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)果。對于塑性材料，其結(jié)果相對于Tresca 屈服條件校核結(jié)果更為精確。但Mises 屈服條件并不能夠?qū)Ω呷S應(yīng)力狀態(tài)下材料易于脆斷的現(xiàn)象予以解釋[14]。

雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論認(rèn)為當(dāng)作用于單元體上的2 個(gè)較大主剪應(yīng)力之和達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開始發(fā)生屈服，俞茂宏將其表述為：

它比Tresca 強(qiáng)度理論多考慮了中間主剪應(yīng)力的影響（見圖10），在不同的應(yīng)力狀態(tài)下二者相差最大可達(dá)33.33%。在某些應(yīng)力狀態(tài)下其理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合非常好，文獻(xiàn)[15]展示了其實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論預(yù)測的對比。

3.2.3 主應(yīng)力分布的影響分析

對炮尾抓鉤有限元分析的3 個(gè)主應(yīng)力進(jìn)行對比分析。

由主應(yīng)力分布云圖（見圖12 和圖13），結(jié)合前述等效應(yīng)力云圖以及抓鉤倒角根部路徑處等效應(yīng)力變化曲線，可以清晰地看出中間主應(yīng)力對等效應(yīng)力的影響，其不但影響了等效應(yīng)力的大小，而且影響了等效應(yīng)力極值的分布。

圖13 實(shí)測尺寸模型主應(yīng)力分布Fig.13 Principal stress distribution of measured size model

中間主應(yīng)力在抓鉤圓角根部是最大拉應(yīng)力，在抓鉤側(cè)壁邊緣處是最大壓應(yīng)力，考慮其影響和忽略其影響會(huì)對強(qiáng)度校核結(jié)果產(chǎn)生較大差異，從而導(dǎo)致不同強(qiáng)度理論下最大等效應(yīng)力的顯著差異，2 種尺寸三維模型在不同強(qiáng)度理論下的校核結(jié)果對比如圖14 所示。2 種模型在忽略中間主應(yīng)力的影響時(shí)，得到的等效應(yīng)力均為最大值，由此得到的結(jié)構(gòu)安全系數(shù)較低，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)偏保守，考慮中間主應(yīng)力的影響后，2 種模型的等效應(yīng)力下降，且基于雙剪強(qiáng)度系列理論的最大偏應(yīng)力等效應(yīng)力下降最多，結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)最大，材料利用更充分，結(jié)構(gòu)的潛能得到最大程度的發(fā)揮。

圖14 3 種強(qiáng)度理論校核曲線Fig.14 Intensity check curves of three kinds of strength theory

4 結(jié)語

根據(jù)本文分析，可以得出如下結(jié)論：

1）名義尺寸模型按Tresca 強(qiáng)度理論校核滿足2 倍安全系數(shù)，達(dá)到2.3 倍安全系數(shù)，不滿足2.5 倍安全系數(shù)，按照Mises 強(qiáng)度理論和最大偏應(yīng)力強(qiáng)度理論校核時(shí)均近似滿足2.5 倍安全系數(shù)，抓鉤設(shè)計(jì)強(qiáng)度足夠。

實(shí)測尺寸模型抓鉤壁厚變薄，按Tresca 強(qiáng)度理論校核時(shí)炮尾抓鉤安全系數(shù)僅為1.84，不足2 倍安全系數(shù)，強(qiáng)度不足。按Mises 強(qiáng)度理論和最大偏應(yīng)力理論校核滿足2 倍安全系數(shù)，不滿足2.25 倍安全系數(shù)，強(qiáng)度不足。炮尾抓鉤斷裂由機(jī)加超差引起。

2）Tresca 強(qiáng)度理論較為保守，位于屈服面的下限，由于忽略了中間主應(yīng)力的影響，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)計(jì)算得到的靜強(qiáng)度不滿足要求，由此強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)較為保守，結(jié)構(gòu)較粗笨，偏安全，但經(jīng)濟(jì)性較差。而Mises強(qiáng)度理論和最大偏應(yīng)力強(qiáng)度理論均考慮了中間主應(yīng)力的影響，材料利用率更高，結(jié)構(gòu)更輕巧更合理，經(jīng)濟(jì)性和靈活性更佳。

3）由計(jì)算結(jié)果來看，Mises 屈服條件校核結(jié)果和最大偏應(yīng)力校核結(jié)果相差不大，二者很接近，在對炮鋼進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)，二者均可選用，視具體情況而定。最大偏應(yīng)力屈服條件是線性方程，Mises 屈服條件是非線性方程，對數(shù)學(xué)處理上的解析分析而言，最大偏應(yīng)力屈服條件應(yīng)用起來更加方便，在解析分析中有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。