初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的內(nèi)容分類

朱敏龍 張愛平

摘要：作為一種學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)體驗順應(yīng)新課改的要求，符合學(xué)生的認(rèn)知特點和情感需要，具有親歷性和探究性等特征，要經(jīng)歷身心合一、內(nèi)外并舉的體驗過程。設(shè)計數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的內(nèi)容，要將數(shù)學(xué)知識具體化和直觀化，同時設(shè)計成問題或任務(wù)，讓學(xué)生以探究的方式解決或完成。由此，在初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)中，主要設(shè)計生活現(xiàn)實、直觀操作和歸納探究這三類教學(xué)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)體驗;教學(xué)內(nèi)容;生活現(xiàn)實;直觀操作;歸納探究

數(shù)學(xué)體驗是指在外部操作和表層認(rèn)知的基礎(chǔ)上，深刻感受數(shù)學(xué)對象、解決數(shù)學(xué)問題、理解數(shù)學(xué)知識、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗以及提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種深層次的認(rèn)知與情感活動。作為一種學(xué)習(xí)方式，它順應(yīng)新課改的要求，符合學(xué)生的認(rèn)知特點和情感需要，具有親歷（具身、實踐）性和探究（發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)）性等特征，要經(jīng)歷身心合一、內(nèi)外并舉的體驗過程。

在教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗，首先要設(shè)計合適的教學(xué)內(nèi)容，包括情境問題、活動任務(wù)等。數(shù)學(xué)知識具有高度的抽象性（一般性）和形式化（屬于符號表征）特征，不利于學(xué)生的體驗。因此，設(shè)計數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的內(nèi)容，要將數(shù)學(xué)知識具體化（特殊化）和直觀化（變成圖像表征和動作表征），同時設(shè)計成問題或任務(wù)，讓學(xué)生以探究的方式解決或完成，從而充分經(jīng)歷從猜想（驗證）到確認(rèn)（論證）這一經(jīng)典數(shù)學(xué)探究過程，理解或運用知識?；谶@一思路，筆者在初中數(shù)學(xué)體驗教學(xué)中，主要設(shè)計以下三類教學(xué)內(nèi)容：

一、生活現(xiàn)實類

數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活。生活現(xiàn)實通常是具體、直觀的，具有很強的體驗性。因此，設(shè)計數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的內(nèi)容，可從尋找數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實背景（來源）與應(yīng)用（去向）入手，尤其是對比較抽象的“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容。

例如，教學(xué)“有理數(shù)乘法法則”時，可以設(shè)計如下現(xiàn)實情境問題，引導(dǎo)學(xué)生基于現(xiàn)實意義，歸納得出有理數(shù)乘法法則：

有一只蝸牛沿直線l爬行，現(xiàn)在的位置記為點O。

（1）如果這只蝸牛一直以每分鐘5cm的速度向右爬行，3分鐘后它在什么位置？

（2）如果這只蝸牛一直以每分鐘5cm的速度向左爬行，3分鐘后它在什么位置？

（3）如果這只蝸牛一直以每分鐘5cm的速度向右爬行，3分鐘前它在什么位置？

（4）如果這只蝸牛一直以每分鐘5cm的速度向左爬行，3分鐘前它在什么位置？

再如，教學(xué)“去括號法則”時，可以設(shè)計如下現(xiàn)實情境問題，引導(dǎo)學(xué)生基于生活背景，歸納得出去括號法則：

（1）小明在文具店買鉛筆用了3元，買練習(xí)本用了6元，小明付了10元，應(yīng)找回多少錢？

（2）小紅的學(xué)校在家的東邊1000米處。一天，小紅從家向東出發(fā)去學(xué)校。走了500米，發(fā)現(xiàn)紅領(lǐng)巾丟了，于是立刻返回，向西走了400米，找到紅領(lǐng)巾，此時小紅離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

又如，教學(xué)“科學(xué)記數(shù)法”時，可以設(shè)計如下現(xiàn)實活動任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生基于現(xiàn)實需要，感受運用科學(xué)計數(shù)法的必要性：

請你完成校園廣播站播報任務(wù)，內(nèi)容如下：“北京時間2021年6月17日9時22分，搭載‘神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心準(zhǔn)時點火發(fā)射。約573秒后，‘神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入近地點高度約200 000米、遠(yuǎn)地點高度約348 000米的預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空。飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功。 據(jù)了解，地球距離太空大約370 000米，地球的質(zhì)量約是5 965 000 000 000 000 000 000噸?！?/p>

此外，教學(xué)“函數(shù)”“方程”“統(tǒng)計”“概率”等內(nèi)容時，也可以設(shè)計大量的現(xiàn)實情境問題或活動任務(wù)，幫助學(xué)生理解和運用知識。這里不再一一舉例。

另一方面，“圖形與幾何”內(nèi)容雖然比較直觀，但實際上也是一種“抽象的直觀”（從實物中抽象出圖形）。因此，也可尋找其現(xiàn)實背景與應(yīng)用，設(shè)計數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的內(nèi)容，讓學(xué)生有更深入的數(shù)學(xué)體驗，尤其是設(shè)計實踐性比較強的活動任務(wù)。

例如，教學(xué)“圖形的旋轉(zhuǎn)”時，可以讓學(xué)生觀察停車場門禁起落桿的運動;教學(xué)“直線與圓的位置關(guān)系”時，可以讓學(xué)生觀看太陽從地平線上升起（或落下）的過程;教學(xué)“數(shù)軸”和“平面直角坐標(biāo)系”時，可以借助城市交通圖;等等。

再如，教學(xué)“圖形的相似”和“銳角三角函數(shù)”后，可以讓學(xué)生測量豎直的頂部不可及的物體的高度（分底部可及——如旗桿和底部不可及——如山峰兩種情況），以及水平的不可直接測量的兩地的距離（分兩地之間連線不可及、一地不可及、兩地均不可及三種情況）。如，筆者曾設(shè)計過如下“兩地均不可及”的測量活動任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生運用圖形相似的知識（若角相等，則邊對應(yīng)成比例）解決：

南京市莫愁湖公園門票背面有公園的導(dǎo)游圖（如圖1所示），從中可以發(fā)現(xiàn)湖中有兩個漂亮的小島之間沒有路連接，你能通過實地測量（如果沒有條件，可以設(shè)計測量方案），用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識求出這兩個小島之間的距離嗎？

二、直觀操作類

幾何（形）是比較直觀的內(nèi)容，具有較好的體驗性。而在數(shù)學(xué)中，代數(shù)（數(shù)）和幾何（形）有著密切的聯(lián)系。因此，對于許多代數(shù)知識，設(shè)計數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的內(nèi)容，可從尋找?guī)缀我饬x與表征或幾何背景與應(yīng)用入手，設(shè)計圖形（直觀）操作活動。

例如，教學(xué)“多項式乘法和因式分解”時，可以利用二次式的幾何意義設(shè)計畫圖拼接或?qū)嵨锲磮D的圖形操作任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法公式或因式分解方法：

利用適當(dāng)數(shù)量的邊長為a的正方形（記為A型）、邊長為b的正方形（記為B型）、鄰邊長分別為a和b的長方形（記為C型）紙片完成操作活動：

（1）用1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片拼一個正方形;

（2）用適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型紙片拼一個長和寬分別為a+3b和a+b的長方形;

（3）用1張A型紙片、9張B型紙片、10張C型紙片拼一個長方形;

（4）用適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型紙片能拼出面積為a²+5ab+3b²的長方形嗎？

又如，教學(xué)“利用方程、函數(shù)解決問題”的有關(guān)內(nèi)容時，當(dāng)然可以設(shè)計現(xiàn)實情境問題，同時也可以設(shè)計幾何背景與應(yīng)用意味比較濃的情境問題——一次方程或函數(shù)往往與長度（角度）問題聯(lián)系密切，二次方程或函數(shù)往往與面積問題聯(lián)系密切。如，筆者教學(xué)“用一元一次方程解決問題”時，設(shè)計過如下有關(guān)鐘面（角度）的情境問題：

如圖3，在3點整時刻，鐘面上的時針與分針?biāo)傻慕牵ㄖ覆淮笥谄浇堑慕牵?u>? ? ? ? °;如圖4，經(jīng)過? ? ? ? 分鐘，鐘面上的時針與分針?biāo)傻慕窃俅螢?點整的度數(shù)。

另一方面，雖然幾何（形）是比較直觀的內(nèi)容，但是教學(xué)中，為了增強學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，不僅要盡可能地讓學(xué)生作圖（包括靜態(tài)的結(jié)果性圖與動態(tài)的過程性圖），而且要盡可能地設(shè)計實物（直觀）操作活動。

例如，教學(xué)“認(rèn)識三角形”時，可以讓學(xué)生將兩根小棒的一段連接，然后將兩根小棒繞此連接點旋轉(zhuǎn)，感受第三條邊長度的變化和三角形形狀的變化;教學(xué)“探索三角形全等的條件”時，可以讓學(xué)生按一個、兩個、三個……給定的條件任意畫三角形，然后剪下來與同學(xué)的相比較，看看是否重合;教學(xué)“圖形的旋轉(zhuǎn)”時，可以讓學(xué)生畫出并剪下圖形，然后將其繞一點旋轉(zhuǎn)，看看旋轉(zhuǎn)不同的角度后所得圖形的形狀、大小與位置及其與原圖形的對應(yīng)關(guān)系;教學(xué)“直線與圓的位置關(guān)系”時，可以讓學(xué)生移動一根木棒，看其與固定的圓（畫的或?qū)嵨锏模┑奈恢藐P(guān)系的變化;教學(xué)長方體、正方體等立體圖形時，可以讓學(xué)生通過實物操作感受發(fā)現(xiàn)一些性質(zhì)結(jié)論（正方體相接的面對角線所成的角的大?。?，然后嘗試證明。

這里特別值得一提的是折紙操作活動。剪紙和折紙可能是工具最簡單的實物操作活動（在紙上畫圖不算實物操作活動，因為此時紙只是承載信息的媒介）。其中，折紙與數(shù)學(xué)的關(guān)系更為密切，因為折紙直接體現(xiàn)軸對稱，直接產(chǎn)生垂直與平分，可以與很多的初中平面幾何知識發(fā)生聯(lián)系。因此，教學(xué)有關(guān)知識時，可以設(shè)計折紙活動，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗。例如，可以讓學(xué)生用A4紙折出線段的垂直平分線、角平分線 、三角形內(nèi)的高、等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等，并說明道理，從而促進(jìn)學(xué)生對圖形垂直、平分、軸對稱等性質(zhì)的體驗，同時訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力。

三、歸納探究類

初中數(shù)學(xué)有些內(nèi)容，如“分式的加減運算”“探尋勾股數(shù)”等，不太容易或需要找到現(xiàn)實背景與應(yīng)用或幾何意義與表征。對此，設(shè)計數(shù)學(xué)體驗教學(xué)的內(nèi)容，可從具體化（特殊化）入手，讓學(xué)生經(jīng)歷具體問題的解決，獲得具體案例的體驗，進(jìn)而歸納得出抽象性（一般性）結(jié)論。

這里特別值得一提的是，歸納其實就是找規(guī)律。教學(xué)中，教師要多設(shè)計一些找規(guī)律的問題，增加學(xué)生的探究體驗，尤其是基于直觀圖形的找規(guī)律問題，可以進(jìn)一步增強學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗。

例如，教學(xué)“字母表示數(shù)”“代數(shù)式”和“代數(shù)式的值”后，筆者設(shè)計了如下“畫或拼三角形，找數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律”的活動任務(wù)，讓學(xué)生經(jīng)歷用代數(shù)式表示一般規(guī)律的過程，感受字母表示數(shù)的優(yōu)越性。

（1）用小棒按圖5所示的方式拼三角形。你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？所拼圖形中三角形的個數(shù)與小棒的根數(shù)有怎樣的關(guān)系？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？還有不同的方法嗎？

（2）用小棒按圖6所示的方式拼三角形。你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？第n個圖形有幾個小三角形，需要幾根小棒？第n個圖形比第n-1個圖形多用幾根小棒？

（3）圖7、圖8所示的兩組圖形是將等邊三角形按一定規(guī)律排列的。請你研究，談?wù)劙l(fā)現(xiàn)。

顯然，這里圖5中三角形的個數(shù)和小棒的根數(shù)都構(gòu)成一階等差數(shù)列，圖6中的都構(gòu)成二階等差數(shù)列;圖7中的都構(gòu)成（一階）等差數(shù)列，圖8中的都構(gòu)成等比數(shù)列。這是一種結(jié)構(gòu)化的設(shè)計。

此外，與歸納并列的思維（推理）方式是類比和演繹，但因為這兩類活動的體驗性弱一些，而且演繹通常會跟在歸納后面（初中數(shù)學(xué)不同于小學(xué)數(shù)學(xué)，已經(jīng)比較強調(diào)證明了），本文不再贅述和強調(diào)。

最后想要說明的是，當(dāng)下是信息技術(shù)的時代，運用信息技術(shù)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，能更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗。比如，對于現(xiàn)實情境問題，可以應(yīng)用多媒體技術(shù)播放視頻、展示圖片，超越語言文字表征，讓學(xué)生更加有身臨其境的感覺;對于圖形和實物操作活動，可以應(yīng)用幾何作圖軟件模擬，雖然可能有一些“不真實感”，但是顯然更為簡單快捷、動態(tài)精準(zhǔn)，尤其適合動態(tài)幾何問題（比如含參數(shù)的函數(shù)圖像問題、圖形變化有關(guān)的定點和最值問題等）的教學(xué);甚至很多具體運算也可以交給數(shù)學(xué)軟件，尤其是教學(xué)的重心在于經(jīng)歷歸納的過程、獲得具體的體驗時。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 張愛平，趙齊猛.初中數(shù)學(xué)體驗手冊[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點資助課題“初中數(shù)學(xué)體驗校本課程的開發(fā)研究”（編號：Ra/2018/07）的階段性研究成果。