怎樣利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換解題

盧文君

把一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到另一個(gè)圖形，這種變換叫旋轉(zhuǎn)變換.它不僅是探索圖形性質(zhì)的重要手段，也是解答幾何問題中一些復(fù)雜圖形問題的有力工具.在解題中巧妙利用旋轉(zhuǎn)，抓住圖形變換過程中的幾何不變性，或轉(zhuǎn)換線段和角的位置，使分散的條件相對集中起來，可以為題設(shè)和結(jié)論的溝通架起橋梁，從而為解題找到突破口.下面舉例探討旋轉(zhuǎn)變換在解幾何題中的應(yīng)用.

一、抓住圖形旋轉(zhuǎn)中的不變量

圖形旋轉(zhuǎn)的主要特征是：圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)法解題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住圖形旋轉(zhuǎn)中的不變量，例如角、線段等，利用“旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角”和“旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊、對應(yīng)角都不變”的性質(zhì)，從變化中尋求不變，從而使復(fù)雜問題簡單化.

例1已知點(diǎn) P 是正方形ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA、PB、PC.（1）將△PAB繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB 的位置（如圖1所示），若PA=2.PB=4，∠APB=135°，求 PC 的長.（2）如圖2，若 PA2+PC2=2PB2，請說明點(diǎn) P 必在對角線AC 上.

分析：（1）連接 PP′，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得BP=BP′=4，CP′=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，則可判斷△BPP′為等腰直角三角形，得∠BP′P=45°，PP′= 2 PB=4 2 ，于是∠PP′C=∠BP′C - ∠BP′P = 90°，則根據(jù)勾股定理計(jì)算出 PC=6;

二、發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造圖形旋轉(zhuǎn)中的全等圖形

旋轉(zhuǎn)變換是一種常見的全等變換，圖形的旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.故解題時(shí)可充分利用圖形旋轉(zhuǎn)變換的這一特點(diǎn)，去尋找和發(fā)現(xiàn)圖形中的全等圖形，特別是當(dāng)題目條件中出現(xiàn)等腰三角形、正三角形、正方形、中線（或中點(diǎn)）時(shí)，?？紤]通過圖形的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，以求得問題的答案

三、利用圖形旋轉(zhuǎn)將分散元素集中

當(dāng)題目條件較分散，線段、角不在同一個(gè)圖形中時(shí)，往往可以通過旋轉(zhuǎn)變換，把部分圖形“搬”到新的位置，由此帶來新的全等圖形和相等的線段、相等的角，從而使原本分散的已知條件或結(jié)論中所涉及的元素集中到某一個(gè)圖形中，使題目中隱含的關(guān)系明朗化，以達(dá)到解題的目的.

例3如圖4，在△ABC 中，AB =AC，點(diǎn) P 為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB <∠APC，求證： PB >PC .

分析：待證結(jié)論 PB >PC 與已知條件∠APB <∠APC 中四個(gè)元素是分散的，不在同一個(gè)三角形或四邊形中，故考慮通過變換將這四個(gè)元素集中.考慮到點(diǎn) A 為不動(dòng)點(diǎn)，可作為旋轉(zhuǎn)中心，又因?yàn)?AB =AC，可將點(diǎn) C 作為旋轉(zhuǎn)后點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn).

旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換形式，恰當(dāng)?shù)貙缀螆D形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，可以優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，有助于我們發(fā)現(xiàn)圖形之間的位置和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而使較為復(fù)雜的問題得以順利求解.

上期《〈二次函數(shù)〉拓展精練》參考答案

1.C;2.D;3.B;4.D;