因式分解的四個(gè)技巧

李欣雅

因式分解即把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式.它與整式乘法互逆，是代數(shù)中不可或缺的恒等變形方法，也是解答代數(shù)問題的有力工具.因式分解的方法有很多，同學(xué)們除了要掌握提公因式法、公式法、十字相乘法等基本方法外，還應(yīng)根據(jù)多項(xiàng)式的具體結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一些特殊的技巧.這樣不僅可使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，還有助于提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力.下面就介紹幾種因式分解的巧妙方法.

一、拆項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)會(huì)將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.因此，在進(jìn)行因式分解時(shí)，有些多項(xiàng)式就會(huì)“缺項(xiàng)”，如最高次數(shù)是三次，無二次項(xiàng)或者無一次項(xiàng)等，這時(shí)就需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，再用基本方法分解，問題便會(huì)迎刃而解.

點(diǎn)評(píng)：由此題可以看出，用拆項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)并無固定要求，主要是需依據(jù)對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變化.因此，拆項(xiàng)法是因式分解的諸多方法中技巧性最強(qiáng)的一種.

二、添項(xiàng)法

添項(xiàng)法是指在某些多項(xiàng)式的因式分解過程中，給多項(xiàng)式中先加后減相同的項(xiàng)，然后再考慮使用公式法或提取公因式法分解因式.

1.為運(yùn)用“公式法”添項(xiàng)

為運(yùn)用“公式法”添項(xiàng)，一般先將多項(xiàng)式中某兩項(xiàng)的平方和湊成完全平方式 （據(jù)此可知應(yīng)添加的項(xiàng)），然后運(yùn)用平方差公式分解因式.

2.為運(yùn)用“提公因式法”添項(xiàng)

為“提公因式法”添項(xiàng)，一般添加缺少的項(xiàng)，或?qū)⒛硞€(gè)因式添項(xiàng)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有相同的因式，這樣就可以運(yùn)用提公因式法分解因式.

點(diǎn)評(píng)：一般來說，添項(xiàng)后要能運(yùn)用提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法分解.如果添項(xiàng)后不能運(yùn)用這四種基本方法分解，添項(xiàng)也是無用的.

三、換元法

有些復(fù)雜的多項(xiàng)式，如果把其中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替，將含“新字母”的多項(xiàng)式分解因式，最后將“新字母”用原來的式子代換，得到原多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果，這種方法就是換元法.因式分解中的換元有多種具體方法，如整體代換、對(duì)稱代換、平均代換等.

1.整體代換

整體代換把即將要分解的多項(xiàng)式中的某一部分視為一個(gè)整體，并用新的變?cè)嫠?，從而將多?xiàng)式簡(jiǎn)化，使之能用基本方法分解因式.

分析：若展開后再用分組分解法分解因式，則變形相當(dāng)困難;若把 x2-3x 看作一個(gè)整體， 并用新變?cè)?y 來代替它，即設(shè) y =x2-3x ，則原式變形為 y2-2y -8，可用十字相乘法或配方法分解因式.

2.對(duì)稱代換

對(duì)稱代換法指的是在原多項(xiàng)式中，如果其中出現(xiàn)對(duì)稱形式的代數(shù)式，可用兩個(gè)字母（元）分別代換原多項(xiàng)式中的代數(shù)式，采用對(duì)稱代換法進(jìn)行換元再分解因式.

分析：直接去括號(hào)分解因式顯然不可取，但以 x ，y 的和積對(duì)稱式為輔助元求解，就方便簡(jiǎn)潔許多.

3.平均代換

平均代換法指的是對(duì)原代數(shù)式中存在實(shí)質(zhì)聯(lián)系的兩部分，取它們的算術(shù)平均值，將這個(gè)算術(shù)平均值換元，以實(shí)現(xiàn)因式分解的目的.

例6分解因式：（x +1）4+（x +3）4-272.

分析：直接去括號(hào)太復(fù)雜，取兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的常數(shù)的平均數(shù)進(jìn)行均值換元，便于合并，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

點(diǎn)評(píng)：使用換元法的關(guān)鍵是選擇輔助元.在選擇輔助元時(shí)，要反復(fù)比較式子中重復(fù)出現(xiàn)的整體結(jié)構(gòu)，尋找最恰當(dāng)?shù)妮o助元.恰當(dāng)?shù)負(fù)Q元能起到減少項(xiàng)數(shù)，降低次數(shù)和凸顯隱含因式等作用.

四、主元法

在分解含多個(gè)字母的代數(shù)式時(shí)，選取其中一個(gè)字母為主元，將其他字母看成是常數(shù)，把代數(shù)式整理成關(guān)于主元的降冪排列（或升冪排列）的多項(xiàng)式，然后再進(jìn)行因式分解，這種分解因式的方法就是主元法.變換主元可以將多項(xiàng)式原來的結(jié)構(gòu)重新組合，其中隱蔽的關(guān)系在新組合中就會(huì)充分暴露出來，這樣有利于分解因式.

1.選取低次元作主元

在運(yùn)用主元法分解因式時(shí)，如果題目中的多項(xiàng)式多元次數(shù)不同，可選次數(shù)較低的為主元，其余元可作為已知的常數(shù)，通過降冪達(dá)到分解因式的目的.

分析：此多項(xiàng)式是關(guān)于 x 的三次多項(xiàng)式，直接分解有一定困難，若改變視角，視次數(shù)最低的字母 a 為主元，把 x 的三次式變成關(guān)于 a的二次式，問題就簡(jiǎn)單多了.

2.次數(shù)相同時(shí)任選一元為主元

在運(yùn)用主元法分解因式時(shí)，如果遇到多項(xiàng)式中多元（字母）次數(shù)相同的情況，可任意挑選一個(gè)元為主元，其余元作為已知的常數(shù)，重新排列組合，通過減少項(xiàng)數(shù)來分解因式.

分析：此多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)太多，難以下手，但只要將處于同等地位中的 a，b 任選一個(gè)視為“主元”，整理成關(guān)于 a（或 b）的二次三項(xiàng)式再分組，問題就簡(jiǎn)單多了.

點(diǎn)評(píng)：有些因式分解題，運(yùn)用常規(guī)方法難以分解時(shí)，若能打破常規(guī)，從問題的反面思考，反客為主，往往能迅速找到分解的突破口，從而可避繁就簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果.

上期《〈一元一次方程〉鞏固練習(xí)》參考答案

1.C;2.C;3.A;4.D;5.D;6.4;7. x=;8.去分母，等式的基本性質(zhì);