如何破解一元二次方程“整數(shù)根”問題

吉思春

對于一般的一元二次方程 ax2+ bx + c =0（a ≠0）的實根情況，只需要驗證根的判別式“?= b2-4ac ”的值即可，但是對于含有參數(shù)的一元二次方程，要判斷它是否有整數(shù)根，或者通過根的情況確定參數(shù)的值，就沒有統(tǒng)一的辦法了，需要根據(jù)具體情況具體分析.一元二次方程“整數(shù)根”問題涉及一元二次方程根的性質(zhì)、整數(shù)的性質(zhì)等多個知識點，其解法靈活多樣，技巧性較強.對此，筆者總結(jié)了一元二次方程“整數(shù)根”問題的幾種求解策略，以幫助同學們破解此類問題.

一、巧用因式分解法

因式分解是解一元二次方程的常用方法.在解含參一元二次方程的整數(shù)根問題時，當方程式能夠直接分解因式或者適當變形后可以分解因式時，可以將原方程轉(zhuǎn)化為（m1 x +n1）（m2 x + n2）=0的形式，求出兩根，消去兩根中表示已知量的字母參數(shù)，得到關于兩根的不定方程，通過解不定方程就能確定方程的整數(shù)解.

評注：利用因式分解法破解整數(shù)根問題的關鍵點就是準確變形和分解因式.當不能確定參數(shù)是否為整數(shù)時可先將根求出，然后消去參數(shù)，得到一個關于整數(shù)根的不定方程，求出方程的整數(shù)根后再求參數(shù)的值.

二、妙用根與系數(shù)的關系

在一元二次方程的根的判別式△≥0 的情況下，可利用根與系數(shù)的關系，即：若關于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c（a ≠ 0） 的兩根為x1 ，x2 ，則有 x1 + x2 =- ba ， x1 x2 = ca ，得到一個關于 x1，x2 的不定方程，然后進行消參，解得方程的根，再代入到原方程進行驗證，求出符合題目要求的參數(shù)即可.

評注：解答本題的重難點在于構建出不定方程組之后的消參環(huán)節(jié).如不能直接利用方程組的加減消參，就要聯(lián)想到運用配方法進行消參，巧妙地將問題化繁為簡，變難為易.

三、善用根的判別式

運用根的判別式是解答一元二次方程整數(shù)根問題的重要策略.在確定方程有整數(shù)根時，方程的根的判別式必然是一個完全平方數(shù)，此時當判別式是一次式時可利用判別式大于或等于 0 的性質(zhì)確定參數(shù)的范圍，再結(jié)合題目要求和條件求得參數(shù);當判別式是二次式時，可根據(jù)判別式為一個完全平方式，建立一個關于參數(shù)的不定方程，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)和解不定方程等手段求出參數(shù)的值.需注意的是，最后要加以驗證.

評注：本解法的最后一步——檢驗是一個必不可少的步驟.因為一元二次方程的判別式是完全平方數(shù)只是該方程有整數(shù)根的必要條件，但不是充分條件，所以必須檢驗方程一定有整數(shù)根.

總之，一元二次方程的“整數(shù)根”問題是中考的熱門考點，具有較強的知識性和技巧性.同學們應高度重視這類問題的不同解法，認真審題，深入分析，找到解題的切入口，并靈活運用恰當?shù)那蠼夥椒ㄊ箚栴}準確、快速獲解.