旋轉(zhuǎn)析問題本質(zhì) 相似顯以靜制動
——以“旋轉(zhuǎn)構造相似三角形”專題復習為例

曹火強 (江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學 226321)

通過旋轉(zhuǎn)變換，求點的運動軌跡或線段的最值問題，一直是全國各地中考的熱點和難點，這類問題中常常涉及線段的旋轉(zhuǎn)變換，甚至是動態(tài)圖形的旋轉(zhuǎn)．仔細分析問題本質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)這些題型具有一定的共性：所給圖形大多線條簡單，在問題的解決上，需理順點、線、形的“主從”關系，充分挖掘隱藏的條件或圖形，進而通過旋轉(zhuǎn)變換構造相應的輔助線來解決．基于此，筆者擬以“旋轉(zhuǎn)構造相似三角形”專題為例，通過對“題源”的拓展與延伸，不斷提升中考復習專題的空間與品質(zhì)．

1 “題源”——旋轉(zhuǎn)全等形

在旋轉(zhuǎn)構造相似的專題復習中，首先從一道經(jīng)典的題目入手，因其可塑性強，我們將它作為“題源”可以改編出很多題目，其中隱含著一個常見的幾何模型——旋轉(zhuǎn)全等形．

圖1

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC邊上一動點(不與點B，C重合)，連結AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點D的對應點為E，連結CE．則線段BD和線段CE的數(shù)量關系為，位置關系為．

簡析 易證得△ABD≌△ACE，那么就有BD=CE，∠ACE=∠ABD=45°，所以EC⊥BC．

說明 引導學生理解將線段AD繞定點A旋轉(zhuǎn)，其實就是將線段AD所在的△ABD繞定點A旋轉(zhuǎn)90°至△ACE，并進一步得到結論：點D在邊BC上運動時，點D旋轉(zhuǎn)后的對應點E就在過點C且垂直于BC的垂線上運動，由此確定動點E的軌跡為一條定線段，從“動”中發(fā)現(xiàn)“定”的本質(zhì)．

為了讓學生靈活運用旋轉(zhuǎn)構造全等三角形，筆者帶領學生進行變式訓練．

變式1如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為△ABC形內(nèi)一點，若∠ADC=135°，BD=3，CD=1，請直接寫出線段AD的長．

圖2 圖3

由條件的等價性，也可如圖3，將△ACD繞定點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABE，同樣能求得AD的長為2．

若將△ABC形內(nèi)一點D移到三角形外，還能不能快速求出線段AD的長呢？

變式2如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3，CD=1，請直接寫出線段AD的長．

圖4 圖5

簡析 將△ABD繞定點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACE，可求得AD的長仍為2．或如圖5，將△ACD繞定點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABE，同樣可得AD的長為2，不過這種方法需先證明點C，D，E在同一直線上．

說明 雖然將點D從形內(nèi)移至形外，但解題方法仍然與變式1相同，這就是“形”變而“理”不變．通過以上變式的訓練，使學生在舉一反三中洞查各題的本質(zhì)，通過繞定點旋轉(zhuǎn)，構造出全等橋梁，在動態(tài)過程中找出不變的量，掌握以靜制動的解題策略，提升學生的思變能力．

2 拓展至“旋轉(zhuǎn)相似形”

全等與相似是一對“好兄弟”，常常形影不離，那么我們不禁會想，在繞定點旋轉(zhuǎn)時是不是需要拓展至構造“相似”這一橋梁呢？我們還是從特殊直角三角形的旋轉(zhuǎn)入手進行探究．

圖6

例2如圖6，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，點D在BC邊上(不與點B，C重合)，且∠ABC=∠ADE=60°，連結CE．則線段BD和線段CE的數(shù)量關系為，位置關系為．

圖7

拓展1如圖7，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D為BC邊上一動點，連結AD，以點A為直角頂點作Rt△ADE，并且使∠ADE=60°，連結CE．求線段CE長的最小值．

圖8 圖9

說明 由于已知的兩條線段與待求的線段BD是共端點D的三條線段，類比上面的變式2，通過旋轉(zhuǎn)構造三角形相似后，這三條線段的對應線段在同一個直角三角形上，再通過勾股定理進行計算，進而解決問題．通過以上題目的不斷演變、層層遞進，讓學生體會解決此類問題的核心方法沒有變：繞定點旋轉(zhuǎn)構造相似形．

3 延伸于“對圓的旋轉(zhuǎn)”

對于點的運動軌跡的問題，直線形運動和弧形運動時常是需要加以區(qū)分與辨別的.弧形運動這類題型較新穎，難度相對大一點，但其解題思路與之前兩類問題相較還是“萬變不離其宗”．為些，筆者以“弧形運動”為載體設置問題，不斷延伸，通過圖形的變化讓學生感悟問題本質(zhì)未變，進一步優(yōu)化動態(tài)問題如何靜態(tài)地解題的策略．

圖10

例3如圖10，AB=4，O為AB的中點，☉O的半徑為1，點D是☉O上一動點，連結BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應點為C，連結AC．則線段AC的長的取值范圍為．

圖11 圖12

延伸1如圖11，已知點P是正方形ABCD外一點，點O為正方形ABCD的中心，且PA=3，PB=4，則PC的最大值為，PD的最小值為，PO長的取值范圍為．

將正方形變?yōu)檎呅?，還能不能通過旋轉(zhuǎn)相似找到解決問題的方法呢？

圖13

延伸2如圖13，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心，點P是正六邊形外一點，且PA=3，PB=4，則PC的最大值為，PD的最小值為，PO長的取值范圍為．

說明 延伸2雖然改變了載體，但其核心思路沒有改變，可簡潔歸納為：理清圖中有哪些定點、動點所在的圓以及待求線段間的位置關系，通過觀察、聯(lián)系，確定是繞哪個定點進行旋轉(zhuǎn)構造相似三角形，挖掘出新圖形與特定條件之間隱藏的位置與數(shù)量關系(這里的旋轉(zhuǎn)角、縮放比例很關鍵),進而找出新動點所在的定圓．設置這樣的延伸題能讓學生在進一步理清解題思路的同時，感悟出在動態(tài)的過程中始終抓“定”的數(shù)學思維．

觀察上述幾類題目的演變進程，我們發(fā)現(xiàn)解決幾何問題的過程其實就是一系列的轉(zhuǎn)化過程，在拓展與延伸中，通過展示數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展過程，有意識、有目的地引導學生從“動”中發(fā)現(xiàn)“定”的本質(zhì)，利用其規(guī)律，進一步從“定”的本質(zhì)中探究出“變”的規(guī)律，引領學生從過程中提煉方法，從方法中感悟思想，真正提高數(shù)學思維的靈活性和創(chuàng)造性．這樣的初三專題復習正是我們?nèi)粘＝虒W中數(shù)學核心素養(yǎng)的落實與物化．