深刻理解 深入挖掘 實(shí)施運(yùn)算*
——以2021年新高考全國I卷第21題為例

周 炎 (江蘇省平潮高級中學(xué) 226361)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識，它緊扣曲線方程、數(shù)量關(guān)系、幾何圖形、數(shù)形結(jié)合等主線，讓學(xué)生深刻體會到從方程出發(fā)用代數(shù)方法研究幾何問題這一解幾本質(zhì)．在歷年的全國高考數(shù)學(xué)試卷中，解析幾何試題一直占據(jù)著舉足輕重的地位，考生在該題上的成敗是決定其最終數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)高低的重要因素之一．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出了平面解析幾何解決問題的基本過程，即根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析，探索解決問題的思路；運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論．筆者以課標(biāo)精神為引領(lǐng)，對2021年新高考全國I卷第21題第(2)小題進(jìn)行剖析，逐步發(fā)現(xiàn)、優(yōu)化、解決問題．

1 試題呈現(xiàn)

該題考查雙曲線的定義和方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．第(1)小題既可以由定義法確定曲線為雙曲線的右支，從而確定方程，還可以用直接法進(jìn)行代數(shù)推理求得曲線方程．第(2)小題是過動點(diǎn)的兩直線與雙曲線相交，當(dāng)截得的線段長乘積相等時，研究兩直線斜率和為定值問題，對學(xué)生的思維能力及運(yùn)算素養(yǎng)提出較高的要求，具有較好的區(qū)分度．

2 解法剖析

2.1 立足雙基，在熟悉的情境中轉(zhuǎn)化幾何問題

思路1題干中的TA·TB=TP·TQ是學(xué)生熟悉的直線被曲線所截的弦長問題，如何表示TA·TB是解題的關(guān)鍵，聯(lián)想到弦長公式，結(jié)合設(shè)而不求思想，借助韋達(dá)定理可解決問題．

反思 已知直線過一點(diǎn)，常規(guī)想法是設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，與曲線方程聯(lián)立，消元整理．但此時不難發(fā)現(xiàn)直線方程表達(dá)式不夠簡潔，整理時運(yùn)算量大，容易導(dǎo)致計(jì)算錯誤，故聯(lián)想到直線方程的斜截式．

余下過程同解法1.

點(diǎn)評以上三種解法，基于同一數(shù)學(xué)情境，運(yùn)用相同數(shù)學(xué)知識與技能，但在實(shí)際解決問題時存在一定差異:解法1根據(jù)問題特征形成合適的運(yùn)算思路，解決問題，屬于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的初級水平；解法2針對運(yùn)算問題，合理選擇，屬于中級水平；解法3能夠體會運(yùn)算法則的意義，構(gòu)造運(yùn)算程序，解決問題，是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高級水平．

2.2 理解數(shù)與式，在關(guān)聯(lián)的情境中轉(zhuǎn)化幾何問題，實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算

思路2本題情境為過一點(diǎn)的直線與曲線相交，研究該點(diǎn)與交點(diǎn)連線的線段長問題．對于這樣的問題，有時我們還采用“將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題”的方法．聯(lián)想到“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”中直線參數(shù)方程里參數(shù)的幾何意義——有向線段的數(shù)量，因此設(shè)直線的參數(shù)方程，與曲線聯(lián)立，直接得到兩條線段的長度乘積．

(16cos2α-sin2α)l2+(16cosα-2tsinα)l-(t2+12)=0.

因?yàn)閏osα≠cosβ，α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以cosα=-cosβ，sinα=sinβ，則有tanα=-tanβ，所以k1+k2=0．

點(diǎn)評參數(shù)方程是研究曲線方程的基本工具，是表示曲線的另一種形式，它彌補(bǔ)了普通方程在表示曲線方程中的不足．思路2是在明晰題目背景的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行代數(shù)及幾何角度的思考，進(jìn)而選擇設(shè)直線的參數(shù)方程，直接表示出TA·TB，在一定程度上簡化了運(yùn)算，體現(xiàn)了參數(shù)方程的靈活性，是一次“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合．

2.3 挖掘代數(shù)式的幾何特征，在知識遷移中轉(zhuǎn)化幾何問題

思路3對條件進(jìn)行類比遷移，研究代數(shù)式TA·TB=TP·TQ，發(fā)現(xiàn)與平面幾何中圓冪定理形式相同，確定A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．進(jìn)而重新構(gòu)建運(yùn)算程序，借助圓的一般方程的代數(shù)特征進(jìn)行運(yùn)算推理．

點(diǎn)評對運(yùn)算情境內(nèi)涵的深刻挖掘促使我們綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想方法，將問題遷移到不同情境中去．此種做法巧用平面幾何知識，將弦長問題巧妙轉(zhuǎn)化，回歸解析幾何的本質(zhì)．

3 反思與啟示

3.1 夯實(shí)基本知識與技能，做到心中有“型”

縱觀歷年全國高考數(shù)學(xué)卷解析幾何主觀題，重視對基本概念、基本方法、基本技能的考查．高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)突出“四基”可能要比突出“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”更容易操作一些，更有利于指導(dǎo)高中教學(xué)．因此，高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)不能僅是簡單的刷題，應(yīng)加強(qiáng)對基本概念的理解，如本題第(1)問，抓住雙曲線的定義則能迅速求解；同時，通過有針對性的技能訓(xùn)練幫助學(xué)生熟練掌握基本方法、常見數(shù)學(xué)模型，如第(2)題，利用弦長公式、結(jié)合韋達(dá)定理解決線段長問題就是解析幾何中的基本方法與模型．

3.2 提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維力，做到手中有“術(shù)”

解析幾何試題命制注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)與通性通法，入口較寬，容易找到解題思路．如本題的思路1，是絕大多數(shù)學(xué)生能想到的基本做法，若能對常規(guī)運(yùn)算程序做多次之想，如思路1的三種不同處理，則可大幅提升運(yùn)算速度及正確率．這就要求教學(xué)時，不能局限于找到解題思路，還應(yīng)花大力氣幫助學(xué)生對算法程序進(jìn)行比較、分析，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展．在有了一種基本解題思路后，我們還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對幾何問題(圖形)進(jìn)行深度挖掘、多角度審視，以探究出其他不同解法，如這里的思路2和思路3．這樣既能讓每位學(xué)生找到最適合的、最擅長的解題方法，又能幫助學(xué)生看清問題本質(zhì)，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，真正做到手中有“術(shù)”．