誰先滑至弧底?

王孝廠 王金聚

(浙江省溫州中學(xué),浙江 溫州 325000)

物體在沿著光滑的圓弧軌道下滑時,其加速度的大小和方向都是在不停地變化的,故其下滑的具體時間,除了一些特殊的情況外,在中學(xué)階段一般很難求出．但確有一些關(guān)乎圓弧軌道下滑的題目,不是要求我們求出它的下滑時間,而是去比較它沿圓弧與沿直線軌道下滑的快慢,這對大多數(shù)學(xué)生甚至老師而言,還是有不小難度的．

1 物體在小角度圓弧軌道上運(yùn)動的時間問題

小球在光滑的圓弧軌道上運(yùn)動時,分析一下它的受力情況,可發(fā)現(xiàn)與單擺小球的受力情況極為相似,是故它們的運(yùn)動規(guī)律也十分雷同．所以,小球在光滑圓弧軌道上運(yùn)動的時間,在圓弧最低點(diǎn)一側(cè)的軌跡所對的圓心角不超過5°的情況下,我們可以用單擺的周期公式來進(jìn)行計(jì)算和比較．這種考查方式在高考試卷中也不時會有所體現(xiàn)．

如圖1所示,在豎直平面內(nèi)有一段光滑的圓弧軌道MN,它所對的圓心角小于10°,P是圓弧的最低點(diǎn),也是圓弧MN的中點(diǎn)．在N、P之間搭一光滑斜面,將兩個相同的小球分別從M點(diǎn)和N點(diǎn)同時由靜止釋放,誰先到達(dá)P點(diǎn)呢?

圖2

(1)

(2)

比較(1)、(2)式可知tM

能得出這一結(jié)論的前提是左側(cè)圓弧所對的圓心角不超過5°,若圓弧所對的圓心角較大,單擺的周期公式不再適用時,小球沿圓弧軌道和直線軌道下滑的快慢如何比較?這一問題,在教學(xué)中往往會被學(xué)生問及,也確是令大多教師都覺得很難論證回答的問題．

2 物體沿任意角度的圓弧軌道與弦軌道下滑的快慢比較

如圖3所示,在豎直平面內(nèi)有一光滑的圓弧軌道,P為圓弧的最低點(diǎn),M為圓弧上的任意一點(diǎn),沿MP修一光滑的弦軌道,當(dāng)兩個小球分別沿弦軌道和圓弧軌道上的M點(diǎn)同時釋放時,誰先到達(dá)P點(diǎn)呢?

圖3

因?yàn)镸為圓弧上的任意一點(diǎn),而單擺的周期公式在這里不具有普適性,所以我們需另尋其他途徑來予以論證．

圖4

由(1)式可知,小球沿弦軌道MP下滑的時間為

(3)

(4)

比較(3)、(4)式可知t弦=t,所以我們只需比較小球沿圓弧MP軌道下滑與小球自由下落MP′段所用的時間長短即可．

圓弧MB所對的圓心角為2θ,小圓弧BC所對的圓心角為2Δθ,小圓弧的弧長lBC=2RΔθ.設(shè)直線OM與水平方向的夾角為β,則M、B兩點(diǎn)的豎直高差為

hMB=Rsin(2θ+β)-Rsinβ.

(5)

可得小球經(jīng)過小圓弧BC段的時間為

(6)

在△AME中,外角∠AMD=90°-β=α+θ,所以α=90°-(β+θ).設(shè)M、E點(diǎn)的高度差為h,在△AME中,由正弦定理得

所以E、F兩點(diǎn)的高度差為

(7)

下面我們對該式進(jìn)行化簡.

因Δθ是極小量,應(yīng)用泰勒公式

對函數(shù)cos(β+θ+Δθ)進(jìn)行泰勒展開并取一階小量,得

cos(β+θ+Δθ)≈cos(β+θ)-

sin(β+θ)·Δθ.

(8)

對函數(shù)sin(θ+Δθ)進(jìn)行泰勒展開并取一階小量,得

sin(θ+Δθ)≈sinθ+cosθ·Δθ.

(9)

將(8)、(9)式代入(7)式得

小球自由落體到E點(diǎn)的速度為

所以，小球下落經(jīng)Δh段的時間為

(10)

比較(6)、(10)兩式可得

(11)

要保證滑塊能沿圓弧無初速下滑,軌道最高點(diǎn)不應(yīng)高于圓心．即圖中角度關(guān)系滿足0°≤β<90°,β≤β+θ<90°,即β、β+θ均為銳角,所以cos(β+θ)

考慮角度θ、β取值的任意性,所以對小球走過的任一小段圓弧而言,與其對應(yīng)的自由落體運(yùn)動那段相比較,其用時關(guān)系都有t小弧

因?yàn)镸點(diǎn)取位的任意性,所以我們就可以得到一般式t弧

實(shí)際上,弦軌道的下端也不一定非得是在圓弧軌道的最低點(diǎn),如圖5所示．對弦軌道MQ和圓弧軌道MKQ而言,從以上的證明過程也顯而易見,關(guān)系式t弧

圖5

簡單地講,沿圓弧軌道下滑的物體之所以最先達(dá)到末端,原因就在于物體在剛開始下滑時,其加速度較之于對應(yīng)的弦軌道要大一些,故它在初始階段的速度增加得較快,雖然它沿圓弧運(yùn)動的路程比弦軌道是遠(yuǎn)了些,但這并不足以改變它最先到達(dá)軌道終點(diǎn)的最終結(jié)果了．