隨機(jī)橋梁地震可靠度分析的改進(jìn)最大熵方法

陳志強(qiáng)， 鄭史雄, 2

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031； 2.陸地交通地質(zhì)災(zāi)害防治技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室(西南交通大學(xué))，成都 610031)

在基于性能的地震工程理論框架下，橋梁的地震可靠度分析對(duì)于橋梁的地震損傷評(píng)估和地震風(fēng)險(xiǎn)分析都具有重要意義[1]。一旦橋梁的地震可靠度確定，其地震風(fēng)險(xiǎn)可以通過失效概率對(duì)不同地震災(zāi)害水平進(jìn)行積分計(jì)算[2]。因此，從結(jié)構(gòu)工程的觀點(diǎn)來看，橋梁地震風(fēng)險(xiǎn)分析中最為重要的部分就是橋梁的地震可靠度分析。

在實(shí)際工程中，地震動(dòng)和橋梁結(jié)構(gòu)本身通常都存在顯著的不確定性。原則上來說，在橋梁結(jié)構(gòu)地震可靠度分析中最為合理的應(yīng)該同時(shí)考慮這兩類不確定性，然而由于動(dòng)力可靠度理論的不完善，現(xiàn)有的橋梁地震可靠度分析中通常采用隨機(jī)振動(dòng)理論和隨機(jī)有限元理論兩類方法分別對(duì)地震動(dòng)的不確定性和橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性單獨(dú)進(jìn)行考慮[3]。當(dāng)考慮地震動(dòng)的不確定性時(shí)，橋梁的地震可靠度分析主要采用隨機(jī)振動(dòng)理論進(jìn)行[3-5]，然而現(xiàn)有的隨機(jī)振動(dòng)理論主要是針對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)。雖然也有學(xué)者建立了針對(duì)非線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)分析方法，如路徑積分法[6]、矩近似法[7]、等效線性化方法[8]以及概率密度演化理論[9-10]等，但是這些方法通常都只適用于簡單結(jié)構(gòu)，大規(guī)模、強(qiáng)非線性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)分析仍然是一個(gè)巨大挑戰(zhàn)。當(dāng)考慮橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性時(shí)，橋梁的地震可靠度分析通常采用隨機(jī)有限元方法[11-14]。然而，現(xiàn)有的方法不僅無法考慮地震動(dòng)的不確定性，而且在復(fù)雜結(jié)構(gòu)二階統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算上都還存在較大難度[3]。另外，對(duì)于非線性橋梁結(jié)構(gòu)而言，其地震響應(yīng)具有顯著的非高斯性，僅采用一階和二階統(tǒng)計(jì)矩對(duì)其進(jìn)行地震可靠度分析精度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。當(dāng)同時(shí)考慮橋梁結(jié)構(gòu)和地震動(dòng)的不確定性時(shí)，橋梁地震可靠度分析方法的唯一可行方法只有基于抽樣的數(shù)值模擬方法，如蒙特卡洛模擬(Monte Carlo simulation,MCS)[15]、子集模擬[16]以及重要性抽樣[17]等。這些方法雖然理論上可以獲得結(jié)構(gòu)地震可靠度的精確結(jié)果，但是其所需要的樣本數(shù)量通常都與失效概率成反比。在小失效概率水平下，采用這些抽樣數(shù)值方法對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震可靠度分析時(shí)所需要的動(dòng)力分析計(jì)算量非常大，同樣很難適用于大跨度斜拉橋、懸索橋以及高墩連續(xù)剛構(gòu)橋等復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析。

最近幾年，隨著分?jǐn)?shù)階矩的出現(xiàn)，基于最大熵原理的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析獲得了研究者極大的關(guān)注[14,18-20]。文獻(xiàn)[18]分別采用單變量降維模型、雙變量降維模型以及稀疏網(wǎng)格積分對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)矩進(jìn)行估計(jì)，然后將其與最大熵模型相結(jié)合，建立了結(jié)構(gòu)非線性地震可靠度分析的最大熵方法。文獻(xiàn)[14]采用乘法形式的降維模型對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的矩進(jìn)行估計(jì)，對(duì)一座典型高墩橋梁進(jìn)行了地震可靠度分析。文獻(xiàn)[19]以最大熵原理為基礎(chǔ)，提出了結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析中的非等權(quán)重?cái)M蒙特卡洛方法。文獻(xiàn)[20]采用拉丁超立方抽樣對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分?jǐn)?shù)矩進(jìn)行估計(jì)，并將其與最大熵原理相結(jié)合，建立了近斷層脈沖地震作用下高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋的地震可靠度分析方法。

由于分?jǐn)?shù)階矩中含有高階中心矩信息，通過少數(shù)幾階分?jǐn)?shù)矩就可以對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布進(jìn)行準(zhǔn)確模擬，因此基于分?jǐn)?shù)矩的最大熵原理在橋梁地震可靠度分析中具有明顯的優(yōu)勢(shì)。然而，由于現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)矩最大熵原理需要對(duì)多個(gè)變量進(jìn)行迭代求解，在采用最大熵原理求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布時(shí)求解過程受初值影響非常大，而且經(jīng)常面臨著優(yōu)化過程不穩(wěn)定的問題[18]。為了克服這一問題，本文提出了一種基于似然函數(shù)的最大熵分布模型，并將該模型應(yīng)用于隨機(jī)地震作用下，考慮非線性的隨機(jī)橋梁結(jié)構(gòu)地震可靠度分析，建立了基于最大熵原理的橋梁非線性地震可靠度分析方法。最后，以一座典型的高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)槔?，通過蒙特卡洛模擬對(duì)所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 橋梁地震可靠度問題闡述

對(duì)于一個(gè)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)和地震動(dòng)雙重不確定性的N自由度非線性動(dòng)力系統(tǒng)，地震作用下，其動(dòng)力方程可表示為

(1)

鑒于譜表示法具有簡單、高效、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因此本文采用譜表示法對(duì)地震動(dòng)進(jìn)行模擬。根據(jù)非平穩(wěn)隨機(jī)過程譜表示理論，一維地震動(dòng)的表達(dá)式[21]通常為

(2)

式中：ωl=lΔω，Δω為頻率區(qū)間；{Xl,Yl}為2m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量；SU(ωl,t)為隨機(jī)地震動(dòng)的時(shí)-頻演化功率譜，可以表示為

SU(ω,t)=|A(ω,t)|2S(ω)

(3)

其中A(ω,t)為地震動(dòng)的時(shí)-頻調(diào)制函數(shù)。

根據(jù)譜表示理論，隨機(jī)變量{Xl,Yl}(l=1,2,…,m)應(yīng)滿足[21]:

(4)

其中:E[·]表示期望算子，δrl為Kronecker-Delta函數(shù)。

將模擬的地震動(dòng)代入式(1)中的動(dòng)力學(xué)方程，并采用數(shù)值方法對(duì)式(1)進(jìn)行求解，由此可以得到橋梁結(jié)構(gòu)地震可靠度分析所關(guān)心的物理量(如墩頂位移、支座相對(duì)位移等)，其通?？梢员硎緸?/p>

Z(t)=H(υ,χ,d,t)

(5)

式中:d為確定性參數(shù)向量，H(·)為確定性算子。

對(duì)于通常所關(guān)心的首次超越地震可靠度，其可以定義為

R=Pr{Z(t)

(6)

式中：Pr表示概率；T為地震動(dòng)持時(shí)，ZT為橋梁結(jié)構(gòu)抗震能力，其通?？梢杂梢?guī)范規(guī)定或者根據(jù)Pushover分析進(jìn)行確定。

由于式(6)中結(jié)構(gòu)可靠度的求解非常困難，為了對(duì)其進(jìn)行求解，這里通過等價(jià)極值原理[19]，將橋梁結(jié)構(gòu)的地震可靠度轉(zhuǎn)化為

R=Pr{Zext

(7)

式中Zext為橋梁結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)的極值，可以定義為

(8)

(9)

橋梁結(jié)構(gòu)的地震可靠度則定義為

(10)

式中pZext(z)為橋梁非線性地震響應(yīng)極值Zext的概率密度，即橋梁結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)極值分布。同時(shí)，橋梁結(jié)構(gòu)的失效概率則為

(11)

綜上所述，在橋梁地震可靠度分析中，最為重要的就是對(duì)其地震響應(yīng)極值分布的估計(jì)。一旦橋梁地震響應(yīng)的極值分布確定，其地震可靠度和失效概率就可以通過簡單的數(shù)值積分進(jìn)行求解。此外，對(duì)于工程中的大跨度復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)，都是高可靠性結(jié)構(gòu)，在設(shè)計(jì)地震作用下，失效的概率通常都非常小。為了對(duì)其地震可靠度進(jìn)行估計(jì)，需要對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布的尾部進(jìn)行精確計(jì)算。鑒于此，本文提出一種針對(duì)復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)極值分布估計(jì)的高效數(shù)值方法。

2 結(jié)構(gòu)地震可靠度分析的最大熵方法

2.1 結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布的最大熵模型

橋梁非線性地震響應(yīng)的極值Zext在橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)和地震動(dòng)不確定性的影響下，通常是一個(gè)正的隨機(jī)變量，為簡單起見，這里將其表示為Z。根據(jù)最大熵原理，隨機(jī)變量Z的無偏概率分布可以在分?jǐn)?shù)矩約束下，通過熵的最大化進(jìn)行求解。因此，根據(jù)最大熵原理橋梁非線性地震響應(yīng)極值分布pZext(z)可以通過以下約束非線性優(yōu)化問題求解得到[18-19]：

(12)

式中μZαi為隨機(jī)變量Z的第αi階分?jǐn)?shù)矩，J(z)為隨機(jī)變量Z的信息熵，定義為

(13)

通過采用拉格朗日乘數(shù)法對(duì)式(12)進(jìn)行求解，可以得到橋梁地震響應(yīng)極值分布的一般形式[18]為

(14)

式中λi(i=0,1,…,M)為M+1個(gè)拉格朗日乘子。

根據(jù)概率密度函數(shù)積分等于1的正則化條件可以得到

(15)

(16)

因此，pZext(z)的估計(jì)只需要對(duì)式(16)進(jìn)行求解，得到分?jǐn)?shù)指數(shù)向量α和拉格朗日乘子λ，并將其代入式(14)，即可得到橋梁非線性地震響應(yīng)極值分布的無偏估計(jì)。

目前式(16)的求解普遍都是直接采用單純形算法進(jìn)行迭代求解，所得到的都是局部解，求解過程對(duì)α和λ的初值具有很強(qiáng)的依賴性，而且求解過程中經(jīng)常存在數(shù)值不穩(wěn)定的問題。為了克服這一問題，對(duì)式(16)中的優(yōu)化問題進(jìn)行快速求解，并保證求解過程的穩(wěn)定性，本文提出一種新的基于似然函數(shù)的求解方法。

2.2 基于似然函數(shù)的最大熵求解方法

根據(jù)分?jǐn)?shù)矩的定義，對(duì)于隨機(jī)變量Z，其第αi階分?jǐn)?shù)矩為

(17)

式中g(shù)i(z)=zαi。將式(14)代入式(17)，并采用分部積分法可以得到

(18)

(19)

根據(jù)式(18)、(19)，拉格朗日乘子向量可以通過以下線性方程組進(jìn)行確定[18]：

λ=ω-1μZ

(20)

(21)

(22)

可以看到，通過步驟1～7，式(16)中分?jǐn)?shù)矩最大熵模型轉(zhuǎn)化為了NQ,M個(gè)線性方程組的求解，因此其計(jì)算效率大大提高。另外，由于分?jǐn)?shù)指數(shù)是在其整個(gè)潛在區(qū)間[αmin,αmax]離散，因此該方法得到的是全局最優(yōu)解。

2.3 橋梁地震響應(yīng)極值分?jǐn)?shù)矩估計(jì)

Xl=Γ(cas(lχ1)),Yl=Γ(cas(lχ2))

(23)

式中：cas=sin(·)+cos(·)為Hartley正交基，Γ(·)為隨機(jī)映射算子。

根據(jù)式(23)，地震動(dòng)模擬中的高維隨機(jī)變量就被減少到只有兩個(gè)基本隨機(jī)變量，因此地震動(dòng)的不確定性將完全由隨機(jī)變量χ1和χ1所表征。此時(shí)，概率空間維度為d=d1+2 在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布分?jǐn)?shù)矩的估計(jì)時(shí)，只需要在低維概率空間中進(jìn)行即可。

對(duì)于結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)極值分布的第α階分?jǐn)?shù)矩，其通?？梢怨烙?jì)如下：

(24)

為了確定估計(jì)中的積分點(diǎn)，文獻(xiàn)[24]通過中心化的L2偏差對(duì)樣本點(diǎn)集進(jìn)行篩選，提出了一種改進(jìn)的偽相關(guān)性折減拉丁超立方抽樣方法(improved spurious correlation reduced LHS, ICLHS)。該方法在非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的分?jǐn)?shù)矩估計(jì)中取得了較好的效果，本文采用該方法對(duì)結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)極值分布的分?jǐn)?shù)矩進(jìn)行估計(jì)。

2.4 橋梁地震可靠度分析

采用2.3節(jié)中的ICLHS方法生成橋梁結(jié)構(gòu)和地震隨機(jī)參數(shù)樣本點(diǎn)，并通過式(2)對(duì)地震動(dòng)進(jìn)行模擬，從而形成結(jié)構(gòu)-地震動(dòng)樣本對(duì)。然后采用非線性時(shí)程分析對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)進(jìn)行求解，從而得到結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值的分?jǐn)?shù)矩。最后采用2.2節(jié)中所提出的最大熵方法對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布進(jìn)行求解，即可得到橋梁結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)極值分布。再根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)不同損傷極限狀態(tài)的定義，通過對(duì)極值分布進(jìn)行數(shù)值積分即可得到橋梁結(jié)構(gòu)的地震可靠度。橋梁結(jié)構(gòu)地震可靠度分析流程如圖1所示。

圖1 橋梁地震可靠度分析流程圖

3 算例分析

3.1 橋梁概況及非線性有限元模型

以一座已經(jīng)建成的高墩連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)槔?，說明本文方法在復(fù)雜非線橋梁結(jié)構(gòu)地震可靠度分析中的應(yīng)用。該橋梁跨徑布置為90 m+170 m+90 m，橋梁總長350 m，左右兩個(gè)橋墩墩高分別為110.5 m和126.49 m，為典型的山區(qū)不規(guī)則高墩橋梁。橋梁上部主梁采用單箱單室預(yù)應(yīng)力混凝土箱型梁，材料為C50預(yù)應(yīng)力混凝土，主跨的跨中和橋墩的墩頂處截面梁高分別為3.7 m和10 m。為了適應(yīng)主梁的變形，橋墩采用空心薄壁墩，墩身材料采用C40混凝土，橋梁結(jié)構(gòu)詳細(xì)布置如圖2所示。

采用OpenSees作為分析平臺(tái)，建立橋梁非線性有限元分析模型。主梁本文采用基于位移的梁柱單元并結(jié)合彈性截面進(jìn)行模擬，不考慮主梁的非線性行為。橋墩作為地震中的易損構(gòu)件，強(qiáng)震作用下，墩頂和墩底有可能進(jìn)入屈服，產(chǎn)生塑性鉸，本文采用基于力的非線性梁柱單元進(jìn)行模擬，并通過纖維截面模擬橋墩的非線性行為。對(duì)于主梁和橋臺(tái)伸縮縫位置處，強(qiáng)震作用下其可能發(fā)生嚴(yán)重碰撞，本文采用接觸單元對(duì)梁-臺(tái)之間的碰撞行為進(jìn)行模擬，碰撞單元材料采用Hertz-damp模型[25]，從而充分考慮碰撞過程中的剛度變化和能量耗散。在橋臺(tái)位置處，分別放置了兩個(gè)盆式橡膠支座對(duì)結(jié)構(gòu)變形進(jìn)行約束，支座是地震中的易損構(gòu)件，其通常都會(huì)產(chǎn)生很強(qiáng)的非線性，這里采用零長度單元結(jié)合硬化材料對(duì)其非線性行為進(jìn)行模擬。橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型如圖2所示。

圖2 橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型示意(m)

3.2 橋梁結(jié)構(gòu)不確定性

橋梁結(jié)構(gòu)的不確定性通常主要包括結(jié)構(gòu)材料、幾何尺寸、邊界條件以及阻尼比等參數(shù)。既有研究表明，混凝土抗壓強(qiáng)度、鋼筋屈服強(qiáng)度以及橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比等參數(shù)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的地震需求具有顯著影響。本文在參考既有研究的基礎(chǔ)上[26-27]，選出7個(gè)影響橋梁結(jié)構(gòu)地震既有最為顯著的參數(shù)作為考慮橋梁結(jié)構(gòu)不確定性的隨機(jī)變量，其概率分布見表1。

表1 橋梁結(jié)構(gòu)的隨機(jī)參數(shù)概率分布

3.3 隨機(jī)地震動(dòng)功率譜模型

為了考慮地震動(dòng)的時(shí)-頻非平穩(wěn)性，這里采用文獻(xiàn)[28]中演化功率譜(evolutionary power spectral density, EPSD)模型生成地震記錄，從而對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震可靠度分析，其演化功率譜密度函數(shù)表示為

(25)

式中：A(t)為地震動(dòng)非平穩(wěn)調(diào)制函數(shù)，本文將其取為

(26)

其中c控制地震動(dòng)峰值到達(dá)時(shí)間，d控制地震動(dòng)的形狀，取值由橋位處所在場(chǎng)地確定。

此外，地震動(dòng)演化功率譜模型中S0(t)為地震動(dòng)譜強(qiáng)度因子，將其取為

(27)

(28)

圖3 地震演化功率譜

圖4 模擬地震動(dòng)功率譜與目標(biāo)值比較

3.4 橋梁結(jié)構(gòu)地震可靠度分析方法驗(yàn)證

根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)概率分布和地震動(dòng)隨機(jī)參數(shù)，采用2.3節(jié)中的ICLHS方法生成400個(gè)積分點(diǎn)，通過非線性時(shí)程分析對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)進(jìn)行求解即可得到400個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值。圖7以其中一個(gè)樣本為例，給出了地震作用下1號(hào)墩的墩底彎矩-曲率滯回曲線。從圖7中可以看到，在地震作用下橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了顯著的非線性變形。

為了對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證，說明其在復(fù)雜結(jié)構(gòu)非線性地震可靠度分析中的適用性。這里以1號(hào)墩的墩頂位移為例，圖8給出了1號(hào)墩的墩頂位移響應(yīng)極值分?jǐn)?shù)矩與MCS(104次)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。

圖5 典型地震記錄樣本

圖6 模擬地震記錄地震動(dòng)均值和均方值與目標(biāo)值比較

圖7 橋梁結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)典型樣本

從圖8中可以看到，采用ICLHS方法估計(jì)的分?jǐn)?shù)矩與MCS的結(jié)果十分吻合，特別是在-2到1階內(nèi)，二者相對(duì)誤差不到2%，由此說明了ICLHS方法在復(fù)雜非線性地震響應(yīng)的分?jǐn)?shù)階矩時(shí)具有較高的精度和效率。另外，從圖8中還可以看到當(dāng)分?jǐn)?shù)階數(shù)較小時(shí)，橋梁結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布分?jǐn)?shù)矩的相對(duì)誤差較小，而當(dāng)分?jǐn)?shù)階數(shù)較高時(shí)，分?jǐn)?shù)矩相對(duì)誤差較大，由此說明了采用低階分?jǐn)?shù)矩能夠更為準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布。

圖8 橋梁非線性地震響應(yīng)分?jǐn)?shù)矩

若以橋梁結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)極值分?jǐn)?shù)矩作為約束，采用2.2節(jié)中的方法對(duì)最大熵模型進(jìn)行求解即可得到結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)極值分布。圖9給出了采用本文方法獲得的1號(hào)墩墩頂位移非線性地震響應(yīng)極值分布的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)、累積密度分布(cumulative density function,CDF)以及超越概率(probability of exceedance,POE)與MCS結(jié)果的對(duì)比，同時(shí)，圖9中還給出了采用核密度估計(jì)(kernel density estimation,KDE)以及對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合得到的結(jié)果。

從圖9中可以看到，采用本文方法獲得的橋墩非線性地震響應(yīng)極值分布與MCS結(jié)果具有較好的一致性，即使在小失效概率水平下(Pf<10-3)，二者也十分吻合。這說明了采用該方法能夠通過較少的幾百次非線性動(dòng)力分析，對(duì)大規(guī)模復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)極值分布進(jìn)行精確估計(jì)。同時(shí)，從圖9中還可以看到，不論極值分布的主體還是尾部分布，采用核密度估計(jì)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合的結(jié)果與蒙特卡洛模擬結(jié)果相比都存在較大誤差，特別是對(duì)于尾部分布，二者間的誤差非常大，由此說明了采用核密度估計(jì)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合都無法對(duì)小失效概率水平下結(jié)構(gòu)的地震可靠度進(jìn)行有效估計(jì)。

(b)CDF

(c)POE

通常，對(duì)于非參數(shù)概率模型，其魯棒性通常較差，如核密度估計(jì)，其結(jié)果都嚴(yán)重依賴于帶寬的選擇。為了說明2.2節(jié)中基于似然函數(shù)的最大熵模型求解方法的魯棒性，圖10給出了采用不同分?jǐn)?shù)指數(shù)增量Δα獲得的橋梁非線性地震響應(yīng)極值分布的對(duì)比。從圖10中可以看到，當(dāng)分?jǐn)?shù)指數(shù)增量Δα=0.1時(shí)，該方法獲得的極值分布與蒙特卡洛模擬結(jié)果吻合得最好，二者基本完全重合。當(dāng)Δα=0.2、0.25、0.3時(shí)，該方法獲得的結(jié)果與蒙特卡洛模擬結(jié)果仍然一致，這說明了本文提出的基于似然函數(shù)的最大熵模型求解方法具有較好的魯棒性。值得注意的是當(dāng)Δα=0.2、0.25、0.3時(shí)，在尾部(10-4數(shù)量級(jí))，本文方法獲得的超越概率曲線與MCS結(jié)果出現(xiàn)了非常細(xì)微的偏差。這主要是由于本文所采用的算例為實(shí)際的高墩連續(xù)剛構(gòu)橋，模型較為復(fù)雜，動(dòng)力分析計(jì)算量較大，因此在蒙特卡洛模擬時(shí)只進(jìn)行了104次抽樣。在10-4數(shù)量級(jí)，蒙特卡洛模擬的結(jié)果自身就存在一定的誤差，因此由于Δα的不同帶來的這一點(diǎn)偏差基本是可以忽略不計(jì)的。同時(shí)，這也說明只要分?jǐn)?shù)指數(shù)增量Δα的取值小于0.3，2.2節(jié)中基于似然函數(shù)的方法就能夠?qū)ψ畲箪啬Ｐ瓦M(jìn)行精確求解。

(a) PDF

(b) CDF

4 結(jié) 論

1)建立了基于分?jǐn)?shù)階矩最大熵原理的橋梁非線性地震可靠度分析方法，通過與蒙特卡洛模擬結(jié)果的對(duì)比說明了本文方法能夠通過少量的非線性動(dòng)力分析實(shí)現(xiàn)小失效概率水平下結(jié)構(gòu)非線性的地震響應(yīng)極值分布的精確求解，該方法能夠?yàn)榇笠?guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)非線性地震可靠度分析提供一種有效途徑。

2)提出了一種基于似然函數(shù)的最大熵模型求解方法，能夠?qū)⒆畲箪啬Ｐ颓蠼膺^程中的無約束極值問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解，從而克服了采用單純形方法求解最大熵分布迭代過程不穩(wěn)定的問題。

3)核密度估計(jì)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)橋梁非線性地震響應(yīng)極值分布的主體具有一定近似能力，但是二者都無法準(zhǔn)確模擬結(jié)構(gòu)極值分布的尾部分布，而最大熵分布不僅能夠模擬結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)極值分布的主體，而且對(duì)于尾部分布也具有非常好的近似能力。