深度體驗：開啟兒童數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”的密碼

陸立海

[摘? 要] 小學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的“深度體驗”，正是基于學(xué)生的原有背景、認(rèn)知水平、思維能力等因素，拉長“發(fā)現(xiàn)”前的時間軸，讓兒童有更強烈的刺激、更全面的理解、更深刻的體驗，真正成為數(shù)學(xué)的“發(fā)現(xiàn)”者、“創(chuàng)造”者。制造問題陷阱，強化體驗，激發(fā)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”的悱點;增強素材刺激，豐盈體驗，伸長學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”的觸角;優(yōu)化活動組合，深刻體驗，通達(dá)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”的路徑。

[關(guān)鍵詞] 深度體驗;兒童數(shù)學(xué);發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法就是讓學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”。布魯納所倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)法”，也旨在激發(fā)學(xué)生形成內(nèi)在動機，讓其通過自己主動地探索，獲得解決問題的能力與探索的技巧。小學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的“深度體驗”，正是基于學(xué)生的原有背景、認(rèn)知水平、思維能力等因素，拉長“發(fā)現(xiàn)”前的時間軸，讓學(xué)生有更強烈的刺激、更全面的理解、更深刻的體驗，催生其進(jìn)一步明確探究方向，激活其探究潛能，篩選適宜探究路徑，讓學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)的“發(fā)現(xiàn)”者、“創(chuàng)造”者。

一、制造問題陷阱，強化體驗，激發(fā)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”的悱點

數(shù)學(xué)是以問題為中心的學(xué)科，它隨著問題而發(fā)生，并伴隨著問題的解決而發(fā)展。問題是思維的導(dǎo)火索，更是學(xué)生數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”的源動力。教學(xué)中，我們可以設(shè)計“特殊”的情境，制造問題陷阱，讓學(xué)生在不知不覺中對某個現(xiàn)象產(chǎn)生心理趨向、行為趨向。

1. 不公平體驗。每個人都希望競爭（游戲）是公平的，評價是客觀的。教學(xué)中，我們可以反其道而行，圍繞某個數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)造“不公平”的競爭（游戲），讓學(xué)生處于“抱不平”狀態(tài)，從內(nèi)部刺激學(xué)生產(chǎn)生好奇心、好勝心，激其深度思考、準(zhǔn)確表達(dá)，從而將學(xué)生引向新問題探究的征程中。設(shè)計不公平的游戲時，教師應(yīng)該厘清游戲和探究之間的關(guān)系，明晰不公平的“點”在哪里，清楚將學(xué)生引至何方。不公平競爭（游戲）可以是師生之間，也可以是生生之間，要“放大”不公平，讓部分參與者明顯意識到被“欺負(fù)”，引發(fā)質(zhì)疑，促其尋找根由。

如，教學(xué)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”時，筆者在黑板上出示四組求一些數(shù)的因數(shù)的練習(xí)題：

第一組分別求出1、7、11、23的因數(shù);第二組分別求出2、3、5、17的因數(shù);第三組分別求出9、18、24、42的因數(shù);第四組分別求出48、16、36、12的因數(shù)。

讓四個小組分別選派一個“數(shù)學(xué)能手”在黑板上板演比賽，其他同學(xué)分別完成本小組對應(yīng)的題目。因第一、二組題中數(shù)的因數(shù)只有1和它本身，很容易完成，而第三、四組題中數(shù)的因數(shù)個數(shù)比較多，寫出答案要相對慢一些，由此形成沖突，促使學(xué)生產(chǎn)生按照因數(shù)的個數(shù)“少與多”進(jìn)行分類的需求，從而易于將自然數(shù)分為：1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。

2. 奇異式體驗。學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷新穎的、不一致的、令人驚奇的、變化的學(xué)習(xí)情境時，往往會引發(fā)認(rèn)知沖突，產(chǎn)生“為什么”“怎么辦”的疑問，同時產(chǎn)生想消除或減少這種矛盾點的探究性心理和行為。奇異式體驗，就是教師通過創(chuàng)設(shè)一個比較蹊蹺的場景或呈現(xiàn)一件不好理解的事情，讓學(xué)生進(jìn)入想說又不能完全說出來的狀態(tài)，誘發(fā)學(xué)生進(jìn)入問題探究之中，實現(xiàn)認(rèn)知的再平衡。場景設(shè)計，一要貼近學(xué)生的實際，符合學(xué)生的年齡特征;二要凸顯“蹊蹺”，讓學(xué)生產(chǎn)生濃厚的興趣。

如，教學(xué)“負(fù)數(shù)的認(rèn)識”時，筆者先出示了如下場景：

教師問：上面哪個小動物的觀點正確？你覺得應(yīng)該怎樣來定這座山的高度？顯然，這兩個小動物說出山的高度都和自身所在的位置有關(guān)，不同的位置表述不一樣，這樣的情境，類似于“兩小兒辯日”，沒有最終答案，進(jìn)而引出要以“海平面”為標(biāo)準(zhǔn)（參照物），測量山的高度。這時，假定熊貓的位置正好就和“海平面”在同一條線上，說出山的高度后，再分析小鴨子的位置該怎樣表示，從而引出負(fù)數(shù)。

3. 挖坑式體驗。在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生往往去尋找與以往的學(xué)習(xí)高度相似的方法與經(jīng)驗，以實現(xiàn)新知的遷移、問題的解決。有些知識之間，從表面上看存在某種形似，但實際上存在較大差異，甚至是迥然不同的。所謂挖坑式體驗，就是通過一組形式相近但本質(zhì)屬性、思維方式完全不同的問題（或場景、題目等），讓學(xué)生入“陷阱”而后思不足，從而重新尋求破解問題的路徑。進(jìn)行“組塊化”設(shè)計，可利用先前學(xué)習(xí)的知識或經(jīng)驗對后繼學(xué)習(xí)的干擾，也可利用后繼學(xué)習(xí)對先前學(xué)習(xí)的消極影響，把“負(fù)遷移”作為重要的資源來使用。

如，教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時，筆者先出示一組數(shù)，讓學(xué)生判斷能不能通過2、5的倍數(shù)特征，類推引出3的倍數(shù)特征。因2的倍數(shù)特征只看個位，5的倍數(shù)特征也只看個位，所以讓學(xué)生猜測3的倍數(shù)特征可能是什么。學(xué)生受負(fù)遷移的影響，往往會說“一個數(shù)的個位上是3、6、9，這個數(shù)就是3的倍數(shù)”。通過舉例驗證發(fā)現(xiàn)，13、16、19等數(shù)的個位上滿足了3、6、9的要求，但卻不是3的倍數(shù)。學(xué)生“中招”后，體會到此路不通，生發(fā)另尋蹊徑的欲望。

二、增強素材刺激，豐盈體驗，伸長學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”的觸角

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是以數(shù)學(xué)思維活動為核心，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動本質(zhì)上就是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動成果的同時積累數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。為此，教學(xué)中通過豐富的素材，讓學(xué)生在比較活動中獲得感知，在概括活動中建構(gòu)新知，在批判活動中完善認(rèn)知，反復(fù)體驗，多維思考。

1. 趨同體驗。即教師提供給學(xué)生有相同數(shù)學(xué)模型，但內(nèi)容不完全一致的素材，讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷、體驗，感悟出其中的奧秘?！傲孔円鹳|(zhì)變”，趨同體驗有利于學(xué)生通過比較、分析、概括等思維方式建構(gòu)數(shù)學(xué)新知，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。趨同，分為完全趨同、局部趨同。完全趨同與局部趨同具有相對性，從某個視角看有些素材可能是完全趨同，換一個視角看可能又會是局部趨同，甚至是趨異的。為實現(xiàn)有效“刺激”，進(jìn)行趨同體驗時，應(yīng)充分考慮到學(xué)生的年齡特點、心理因素、思維能力等因素，少使用“高度一致”的提問方式，以免造成學(xué)生探究欲望的降低、思考問題興趣的喪失;要強化比較，感悟數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或模型的本質(zhì)。

如，教學(xué)“認(rèn)識11-20各數(shù)”時，筆者呈現(xiàn)了三個素材，讓學(xué)生體驗。首先讓學(xué)生從很多鉛筆中（有10支捆在一起的，也有很多單獨一支的）拿出12支鉛筆，學(xué)生出現(xiàn)了兩種拿法：一種是一支一支地取;另一種是先取1捆，再取2支。比較得出：第二種拿法省時且讓人一眼看出是12支。接著從提供的木夾中取出12個，要求能讓人一眼看出。接著讓學(xué)生說出下面的桌子上有多少本書。

在學(xué)生充分體驗后，比較這三幅圖有什么共同的特征，得出：都由1個十和2個一組成了12。

案例中的三種素材都是12，但呈現(xiàn)的方式和問題的指向各不相同，有開放式取鉛筆，有定向式取夾子，還有已知12本書讓學(xué)生說本數(shù)。學(xué)生們在活動中構(gòu)建“10個一是1個十”“1個十和2個一組成12”，從具體到抽象，從現(xiàn)象到本質(zhì)。

2. 遞進(jìn)體驗。數(shù)學(xué)知識存在著一定邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一般經(jīng)歷“由簡到繁、由淺入深”的過程。在學(xué)習(xí)有承接關(guān)系、遞進(jìn)關(guān)系的知識時，可以提前鋪墊、滲透需要掌握的知識和思考問題的方式，為學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”掃清障礙。遞進(jìn)性體驗，有利于訓(xùn)練學(xué)生思考較復(fù)雜問題的思維方式，但不適宜連續(xù)“承接”或“遞進(jìn)”，過于挖深，違背小學(xué)兒童的思維特征和思維習(xí)慣。值得注意的是遞進(jìn)體驗，并非是要進(jìn)一步得到“承接”或“遞進(jìn)”素材的結(jié)構(gòu)模型，重點是體驗，目的是為后繼學(xué)習(xí)做鋪墊。

如，蘇教版三年級下冊第三單元“解決問題的策略”有這樣一道例題：

這是一道已知兩個條件，需要兩步計算的實際問題。在學(xué)習(xí)本課前，筆者設(shè)計了類似于下面的實際問題讓學(xué)生練習(xí)。

果園里有梨樹50棵，蘋果樹的棵數(shù)是梨樹的4倍。蘋果樹有多少棵？梨樹和蘋果樹一共有多少棵？

練習(xí)題的條件與課本例題同質(zhì)，不同的是練習(xí)題的第一問是直接利用條件一步解決問題。完成第一問后，把所求的問題再充當(dāng)?shù)诙柕臈l件，也是一步解決問題。這樣的練習(xí)，是基于原理的一步計算問題，又為后面的兩步計算問題埋下伏筆。

3. 反向體驗。有些數(shù)學(xué)知識之間是互逆的，如減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算等。在組織學(xué)生學(xué)習(xí)某個知識模塊后，可適當(dāng)增加一些反向素材，讓學(xué)生體驗思考問題的不同方法，為進(jìn)一步探究未知做準(zhǔn)備，有效促進(jìn)學(xué)生逆向思維能力的提升。反向體驗時，教師一方面要多讓學(xué)生去比較，感悟題干、素材的差異，另一方面要引導(dǎo)學(xué)生探尋分析問題的思路。

如，學(xué)習(xí)“9加幾”一課后，除了正常練習(xí)9加幾的算式外，還可練習(xí)“已知9與一個數(shù)相加的和，求這個數(shù)”算式，譬如“9+（? ?）=16”。這樣的訓(xùn)練，一方面強化學(xué)生對9加幾的熟悉度，另一方面還為學(xué)習(xí)十幾減9做鋪墊。

三、優(yōu)化活動組合，深刻體驗，通達(dá)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”的路徑

所謂活動組合，就是根據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知，將學(xué)習(xí)內(nèi)容、資源素材、教法學(xué)法有機組塊而形成的一種學(xué)習(xí)方式。開展模塊學(xué)習(xí)體驗，有利于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主發(fā)現(xiàn)的能力，實現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。探究發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法有多種活動組合方法，下面僅列舉幾例。

1. “猜想—驗證”的體驗

“猜想—驗證”是學(xué)生解決問題的一種思想方法。猜想，是根據(jù)一定的學(xué)習(xí)材料和已有事實做出的推斷性判斷。對于猜想得到的命題，可能為真命題，也可能是假命題，這就需要通過演繹論證或舉出反例來證明。因小學(xué)生的思維受限，在小學(xué)階段主要采用舉例的方法進(jìn)行驗證。只要出現(xiàn)一個反例，就說明猜想是錯的;如果沒有出現(xiàn)反例，則說明結(jié)論是正確的。在小學(xué)中高年級，引入“猜想—驗證”，強化其過程體驗，有利于培養(yǎng)學(xué)生直覺思維，提升學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”能力。

如，學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和等于180°”時，筆者讓學(xué)生說一說每塊三角尺的各個角的度數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生將各個角的度數(shù)加起來。因兩塊三角尺的3個內(nèi)角的和都是180°，得到猜想：三角形的內(nèi)角和等于180°。接著讓學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的三角形，小組合作，用量角器量出每個三角形3個內(nèi)角的度數(shù)，并進(jìn)行相加，判斷猜想是否正確。因舉例測量驗證，可能會出現(xiàn)誤差，再學(xué)習(xí)剪拼的方法進(jìn)行驗證。因為三角形的3個內(nèi)角拼在一起，可以形成一個平角，即180°，證明猜想正確。

當(dāng)然，有時“猜想—驗證”會演變成“嘗試—檢驗”。如在學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”時，可先讓學(xué)生自主嘗試計算，再通過估算、轉(zhuǎn)換成連乘算式、用積除以其中一個乘數(shù)等方法進(jìn)行驗證，判斷方法是否可行，最后總結(jié)出算法。

2. “分類”過程的體驗

分類，就是在人們學(xué)習(xí)活動中，當(dāng)所給的對象有多種情形，需要將研究對象按照某個特定的標(biāo)準(zhǔn)，將相同屬性的對象歸為一個類別，不同屬性的對象歸為不同的類別，再對每個類別進(jìn)行研究，得到每個類別的特征屬性。體驗分類學(xué)習(xí)，就是體驗“確定分類標(biāo)準(zhǔn)—逐個歸類對象—按類別研究”系列活動，讓學(xué)生切實體會到分類的作用、方法。

如，在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時，筆者出示情境：有一塊蔬菜地，其中1/8種黃瓜，1/2種茄子，3/8種番茄。讓學(xué)生根據(jù)信息提出一步計算的問題，并列出算式，再讓學(xué)生將算式分類。不同的學(xué)生分類方法不同，有按照運算的不同來分，有按照分子是否相同來分，還有按照分母是否相同來分。接著教師聚焦到按分母的不同來分，讓學(xué)生歸類，并說一說哪種類別會算，怎么算，順勢復(fù)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)加減法的計算方法。之后，教師問：異分母分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)該怎樣算？引出將異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法來計算。

這樣的過程，是學(xué)生經(jīng)歷了確定標(biāo)準(zhǔn)分類、比較兩種類別的差異、學(xué)會將未知轉(zhuǎn)化為已知的過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中，發(fā)現(xiàn)算法，明白算理，知曉了不同算式之間的相互聯(lián)系，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識更加深入。

3. “類比”過程的體驗

在學(xué)習(xí)活動中，我們常常把兩類不同的對象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似的屬性，那么就會根據(jù)一類對象的某些已知特性推斷另一類對象也具有這些屬性，這樣的方法就是類比。讓學(xué)生經(jīng)歷類比的過程，通過比較、推理、判別等活動，體驗其方法，有利于發(fā)展學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力。

如，學(xué)習(xí)了“加法交換律”后，教師可以提問：減法有沒有交換律？乘法、除法呢？再舉例證明，得出減法、除法沒有交換律，乘法有交換律。之后，學(xué)生再學(xué)習(xí)“加法結(jié)合律”，自然想探尋減法、乘法、除法是否有結(jié)合律，并進(jìn)行驗證。這樣的過程，學(xué)生經(jīng)歷了兩次“類比”，初步感受到“類比”的價值。

總之，激活學(xué)生數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”思維，是一個漸進(jìn)、沉淀、積累的過程，需要在較長時間的體驗、感受、訓(xùn)練中逐步建立起來。作為教師，我們要創(chuàng)造性地使用教學(xué)資源，精心設(shè)計可以培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”思維的點，多讓學(xué)生體驗，經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動的過程，適時點撥、引導(dǎo)，讓學(xué)生在過程中學(xué)會提出問題、分析問題、解決問題，促其數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”能力的提升。