觀念統(tǒng)領(lǐng)建構(gòu)聯(lián)系感悟思想

張曄

大觀念統(tǒng)整的單元整體教學(xué)突破常見的教學(xué)內(nèi)容邏輯，按照知識體系的建構(gòu)順序展開，學(xué)生在學(xué)習(xí)所有知識點(diǎn)后再解決綜合性問題。這樣的教學(xué)以驅(qū)動(dòng)性大問題的解決過程為線索組織教學(xué)結(jié)構(gòu)，為基礎(chǔ)性、結(jié)構(gòu)性的教學(xué)內(nèi)容與生發(fā)性教學(xué)內(nèi)容的緊密結(jié)合提供可能。

一、統(tǒng)整教學(xué)內(nèi)容，讓知識結(jié)構(gòu)化

大觀念統(tǒng)整的單元整體教學(xué)要發(fā)揮“結(jié)構(gòu)”與“聯(lián)系”的作用，將知識有機(jī)地結(jié)合起來，幫助學(xué)生領(lǐng)悟知識背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并將其遷移應(yīng)用于新情境中，以促進(jìn)他們的意義理解和自主遷移。

三角形面積公式的推導(dǎo)和梯形面積公式的推導(dǎo)都可以用“倍拼”和“割補(bǔ)”的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將這兩個(gè)內(nèi)容整合在一起學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生感悟兩種圖形面積轉(zhuǎn)化過程的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯轉(zhuǎn)化思想，并使探索材料的利用更加充分。教學(xué)中，筆者將“三角形和梯形的面積”第1課時(shí)目標(biāo)定為：經(jīng)歷三角形和梯形面積的探究活動(dòng)，體驗(yàn)“倍拼”轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用，感受三角形和梯形面積轉(zhuǎn)化中的通理通法;掌握三角形和梯形面積計(jì)算公式，并能正確計(jì)算。第2課時(shí)（“還有別的推導(dǎo)方法嗎？”）目標(biāo)定為：用多種“割補(bǔ)”方法推導(dǎo)三角形和梯形面積公式，積累面積公式推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)文化。

“倍拼法”屬于非等積轉(zhuǎn)化，要求學(xué)生面對一個(gè)圖形的問題，想到虛構(gòu)另一個(gè)與之全等的圖形，不僅要達(dá)到二者合拼成規(guī)則圖形的目的，還要方便計(jì)算時(shí)“消去”這個(gè)增加的圖形面積，這是對學(xué)生空間觀念的新挑戰(zhàn)。由此，筆者團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了本單元的開啟課——《數(shù)面積》，讓學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用“割補(bǔ)法”“倍拼法”將未知圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形，進(jìn)一步體驗(yàn)“數(shù)方格”在探究圖形面積中的應(yīng)用?！氨镀捶ā钡碾y點(diǎn)不在于操作，而在于“怎么想到的”，這是面積公式推導(dǎo)的落腳點(diǎn)。基于此，筆者沒有讓學(xué)生動(dòng)手去拼，而是要求學(xué)生思考后把想法畫在方格紙上，利用數(shù)形結(jié)合思想推導(dǎo)面積計(jì)算公式。在圖形轉(zhuǎn)化后，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生理解轉(zhuǎn)化后形成的平行四邊形面積是三角形的兩倍;其次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行公式的演繹推理，將平行四邊形面積公式中的元素替換成與之對應(yīng)的三角形中的元素，從而得到三角形的面積計(jì)算公式。整個(gè)過程就是一種“等量代換”。

以上推導(dǎo)圖形面積公式的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”中積淀，它是一個(gè)逐步積累的過程，是被逐步啟發(fā)、優(yōu)化的。在推導(dǎo)平行四邊形面積公式時(shí)，筆者給學(xué)生提供了“轉(zhuǎn)化—找聯(lián)系—推導(dǎo)公式”的基本思路，幫助學(xué)生理解和遷移知識。在探究三角形面積公式時(shí)，筆者提供方格背景，在其上刻畫出三角形的量性特征，使學(xué)生在研究中有具體的數(shù)量可以把握，降低抽象性。學(xué)生經(jīng)歷“倍拼法”轉(zhuǎn)化及推導(dǎo)三角形面積公式的過程，有利于后續(xù)自主探究得出梯形面積公式。再次探究三角形和梯形面積時(shí)，筆者提供方格背景，讓隱藏的高線與中位線顯性化，從而降低操作與驗(yàn)證的難度。學(xué)生有上一節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，不僅能用“倍拼法”，還能用“以盈補(bǔ)虛”的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而推導(dǎo)出三角形和梯形面積公式，學(xué)生又一次經(jīng)歷了轉(zhuǎn)化及推導(dǎo)公式的過程，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、統(tǒng)整數(shù)學(xué)方法，讓思維有深度

《多邊形的面積》這個(gè)單元有一個(gè)建構(gòu)知識內(nèi)在聯(lián)系的點(diǎn)——梯形面積公式。在拓展課上，教師將梯形面積公式與其他圖形面積公式的推導(dǎo)有機(jī)整合，可以強(qiáng)化學(xué)生對公式之間關(guān)聯(lián)的理解，使學(xué)生明晰“通用公式”的通性，感受數(shù)學(xué)的魅力。

筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一是重構(gòu)梯形面積公式與其他圖形面積公式之間的聯(lián)系，二是在拓展練習(xí)中促進(jìn)學(xué)生思維走向深刻。課上，筆者首先出示等底等高、形狀不同的三個(gè)梯形（如下圖），引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)這些梯形的面積相等。

接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考像這樣面積相等的梯形能畫出多少個(gè)，學(xué)生合作探究發(fā)現(xiàn)這樣的梯形有無數(shù)個(gè)。然后，筆者展示學(xué)生補(bǔ)畫的梯形，遮蓋該梯形的上底并提問：如果下底是4.5厘米，上底是多少？從而得出：求梯形的一條底，必須得把上底和下底看成一個(gè)整體。以此為引，筆者提出“上底最小可以是多少？這是一個(gè)怎樣的圖形”的問題。在學(xué)生想象出是無限接近三角形的圖形時(shí)，筆者用幾何畫板演示上底長度變?yōu)?，梯形變成了三角形的過程。此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形（即上底為0的梯形）面積公式S=（a+b）h÷2=（a+0）h÷2=ah÷2。最后，筆者又通過幾何畫板演示上底等于下底時(shí)，梯形變成了平行四邊形，并引導(dǎo)學(xué)生探究得出：當(dāng)a=b時(shí)，平行四邊形的面積S=2ah÷2=ah。同理，如果是直角梯形，還可以推算出長方形的面積公式。

以上教學(xué)，教師用幾何畫板分別演示將梯形變成三角形、平行四邊形、長方形、正方形的過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了梯形面積公式與其他4種圖形面積公式的轉(zhuǎn)化過程，理解了梯形面積公式是其他4種圖形面積的“通用公式”。這樣的重構(gòu)與整合，使學(xué)生的頭腦中構(gòu)建出一幅知識網(wǎng)絡(luò)圖，促進(jìn)了學(xué)生幾何直觀的發(fā)展。

在拓展環(huán)節(jié)，筆者出示S=（10+5）×5÷2，提問學(xué)生：看到這個(gè)算式，你想到了哪些圖形？下面4個(gè)組合圖形（如下圖）的面積，哪些可以用這個(gè)算式表示。

學(xué)生獨(dú)立思考后討論、交流得出：A、B都可以利用公式計(jì)算得出;C是一個(gè)鈍角三角形，面積是5×（10+5）÷2;D是一個(gè)長方形，面積是（10+5）×（5÷2），4個(gè)都符合題目要求。這樣設(shè)計(jì)的目的是引導(dǎo)學(xué)生“以式想形”，多向溝通圖形之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生空間觀念和發(fā)散思維的發(fā)展。

三、統(tǒng)整數(shù)學(xué)文化，讓認(rèn)知更豐富

筆者通過深入挖掘《多邊形的面積》這一單元蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化資源，建構(gòu)學(xué)習(xí)線索，找到合適的切入點(diǎn)，將數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí)與探求新知融合，組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。以魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)展并系統(tǒng)化了的重要方法——“出入相補(bǔ)”作為文化主線一以貫之，讓大單元整體教學(xué)承載更多的教育價(jià)值。

筆者借助“出入相補(bǔ)”這一核心問題的探究，以不同的方式將數(shù)學(xué)文化嵌入各個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)中。在《平行四邊形的面積》總結(jié)環(huán)節(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧“轉(zhuǎn)化—找出關(guān)系—推導(dǎo)公式”的學(xué)習(xí)過程，將“青朱出入圖”以微課形式呈現(xiàn)，向?qū)W生介紹“出入相補(bǔ)”原理，重在使學(xué)生初步體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的方法。在學(xué)習(xí)“三角形和梯形的面積”時(shí)，學(xué)生先后經(jīng)歷“倍拼法”和“割補(bǔ)法”的探究過程，筆者適時(shí)引入“出入相補(bǔ)”，并向?qū)W生介紹《九章算術(shù)注》中有關(guān)邪田和箕田的面積公式推導(dǎo)方法，重在對轉(zhuǎn)化方法的拓展。這樣做既深化了學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的理解，又傳承了數(shù)學(xué)文化。

（作者單位：黃石市廣場路英才學(xué)校）

責(zé)任編輯? 劉佳