具體算法與抽象算理的內(nèi)涵及教學(xué)建議

劉加霞

掌握算法與理解算理是計(jì)算教學(xué)的基本目標(biāo)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)算法思想的重要載體。但教學(xué)實(shí)踐中存在一些問題：混淆“法”與“理”，把無目的的學(xué)具操作當(dāng)作借助直觀操作理解算理;學(xué)生能夠熟練計(jì)算的情況下，教師卻非要讓學(xué)生回答“為什么這樣算”，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣喪失;為了算法“多樣”而多樣，不能處理好多樣化與最優(yōu)化之間的關(guān)系等。

那么，什么是算法、算理？算法、算理具有哪些特點(diǎn)？小學(xué)四則運(yùn)算的通理通法是什么？掌握算法與理解算理的教學(xué)邏輯是什么？如何讓學(xué)生在計(jì)算學(xué)習(xí)中燃起探究與發(fā)現(xiàn)的興趣并獲得相應(yīng)的能力？這些問題都需要深入分析與解決。

一、具體算法與抽象算理是計(jì)算的“一體兩面”

小學(xué)階段四則運(yùn)算算法主要指按照一定的程序或步驟算出結(jié)果，具體表現(xiàn)為口算、豎式筆算以及估算等不同方式，每一種方式也存在不同的步驟，即不同算法。運(yùn)算法則是通過對比、分析不同算法進(jìn)一步抽象所得到的一般化運(yùn)算程序，是一種以規(guī)范語言表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)算法。任何一種算法都具有確定性、有效性和有限性等特征。通過實(shí)驗(yàn)或?qū)嵺`探究以及歸納概括得出運(yùn)算法則的過程對學(xué)生發(fā)展極為重要，不能機(jī)械地背誦、記憶并運(yùn)用法則簡單計(jì)算。

初次計(jì)算某個(gè)算式時(shí)，不同的學(xué)生會(huì)有不同的算法，由于每個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果具有唯一性，當(dāng)學(xué)生用不同算法算得的結(jié)果相同時(shí)，就說明每一種算法都正確，都符合數(shù)學(xué)原理。如果算得的結(jié)果不同，則說明某種算法不正確，即違背某條數(shù)學(xué)原理，此時(shí)教師通過追問引導(dǎo)學(xué)生理解算理更有價(jià)值。對學(xué)生個(gè)體來說，不應(yīng)該要求算法多樣化，不同的學(xué)生可根據(jù)個(gè)人喜好選擇適合自己的算法。教師可以引導(dǎo)學(xué)生對比個(gè)性化算法與最優(yōu)算法，使學(xué)生逐步接受最優(yōu)算法，即標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)算法則。

算理是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)，具體包括數(shù)的意義和運(yùn)算的意義、性質(zhì)及規(guī)律。算理“附著”在數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表以及執(zhí)行算法的過程中，需要學(xué)生有意識(shí)地回顧反思，這樣才能表現(xiàn)出以問題為驅(qū)動(dòng)的對算理的解釋與理解。

算法與算理是運(yùn)算的“一體兩面”，算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的計(jì)算程序，具有外顯性、直觀性、可操作性等特征。當(dāng)然，通過歸納概括個(gè)性化算法所得出的一般性運(yùn)算法則，也具有概括性;算理則具有隱蔽性、抽象性與理論性等特征。算法是學(xué)生在解決問題過程中探究、總結(jié)出來的，算理則是在出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤或困難時(shí)，對算法進(jìn)行反思、質(zhì)疑與解釋中獲得的。學(xué)生理解算理比執(zhí)行算法要難得多，但理解了算理具有重要意義：不僅有助于算法的總結(jié)、遷移和運(yùn)用，而且能使學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活計(jì)算，尤其是進(jìn)行簡便計(jì)算。

二、四則運(yùn)算的通法通理：對相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的操作

小學(xué)階段自然數(shù)四則運(yùn)算的計(jì)算方式主要有五種：一是根據(jù)運(yùn)算的意義數(shù)出結(jié)果，這是最原始、最本質(zhì)的算法。例如，加法是“繼續(xù)數(shù)”、減法是“往回?cái)?shù)”，二者都是“二重計(jì)數(shù)”，學(xué)生容易出現(xiàn)“6+3=8”這類錯(cuò)誤，即學(xué)生數(shù)的過程是：6、7、8，錯(cuò)在從“6”開始數(shù)，而沒有從“7”開始數(shù)。乘法是“幾個(gè)幾個(gè)”地“繼續(xù)數(shù)”，除法是“幾個(gè)幾個(gè)”地“往回?cái)?shù)”。二是口算，其中基本口算包括：20以內(nèi)的加減法，乘法口訣，整十、整百、整千等乘一位數(shù)，等等。三是基本口算基礎(chǔ)上的豎式筆算。四是根據(jù)運(yùn)算對象特點(diǎn)，利用運(yùn)算性質(zhì)和定律的簡便計(jì)算。這四種方法得到的是精確結(jié)果。五是根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)與需求，采用估算得到不精準(zhǔn)結(jié)果，但足以解決問題。這五種計(jì)算方式都有不同的計(jì)算過程，也可稱之為不同算法。所以，這里的“算法”具有兩種含義：計(jì)算方式和計(jì)算方法。

不管運(yùn)算對象是自然數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，加減計(jì)算算法的本質(zhì)（即算理）都是“對相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)分別進(jìn)行加、減計(jì)算”。因?yàn)樾?shù)也是十進(jìn)位值制的，其加減法與自然數(shù)相同。分?jǐn)?shù)加減法的算理算法與自然數(shù)、小數(shù)相通，本質(zhì)也是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法需要“先通分”的本質(zhì)就是尋找兩個(gè)分?jǐn)?shù)的相同計(jì)數(shù)單位。所以，自然數(shù)的加減法是基礎(chǔ)，20以內(nèi)的加減法（一位數(shù)加一位數(shù)）是所有數(shù)進(jìn)行加減計(jì)算的根。

學(xué)生應(yīng)該從以下三個(gè)方面理解、解釋加減法算理：一是數(shù)概念背后蘊(yùn)含的十進(jìn)制、位值制思想。例如，根據(jù)同一個(gè)數(shù)字在不同數(shù)位上所表示的大小不同，計(jì)算時(shí)可以從高位“退1”到低位“當(dāng)10”。二是數(shù)的多種重組與守恒，即數(shù)可以用多種方法表示而不改變其大小。例如53可以分解為50+3、40+13、40+10+3等形式，計(jì)算不同的加減法算式時(shí)可以靈活選擇某一種分解方式。三是加減法運(yùn)算的意義及其性質(zhì)和定律。例如加法具有交換律、結(jié)合律，減法有減法的性質(zhì)。如16-2-4=16-（2+4）。

自然數(shù)乘法是特殊的加法，所以它的通理通法是“相同計(jì)數(shù)單位的累加”，在內(nèi)容上分為三個(gè)層次：乘法口訣（一位數(shù)乘一位數(shù)）、整十整百整千等乘一位數(shù)以及其他多位數(shù)相乘。后兩者根據(jù)乘法意義、性質(zhì)與分配律等可以轉(zhuǎn)化為乘法口訣。小數(shù)乘法根據(jù)小數(shù)性質(zhì)以及積的變化規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為自然數(shù)乘法，另一條路徑則是探究小數(shù)計(jì)數(shù)單位與小數(shù)計(jì)數(shù)單位相乘的法理，然后根據(jù)乘法交換律、結(jié)合律等探究小數(shù)乘小數(shù)的法則。分?jǐn)?shù)乘法則根據(jù)乘法意義、分?jǐn)?shù)意義與性質(zhì)以及一個(gè)數(shù)乘真分?jǐn)?shù)的定義（一個(gè)數(shù)乘幾分之幾表示的是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少）得到運(yùn)算法則——分子乘分子、分母乘分母，能約分的先約分再相乘。

自然數(shù)除法的算法與算理也包括三個(gè)方面：一是運(yùn)用乘法口訣求商（作為事實(shí)性知識(shí)，算理是除法的意義）;二是除數(shù)是一位數(shù)時(shí)，對被除數(shù)的不同計(jì)數(shù)單位（從高位到低位）的個(gè)數(shù)進(jìn)行平均分（除數(shù)是幾，平均分的份數(shù)就是幾），所得個(gè)數(shù)累加之和就是商;三是除數(shù)是兩位及以上的數(shù)，被除數(shù)的不同計(jì)數(shù)單位（從高位到低位）個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)除數(shù)，商就是幾個(gè)不同計(jì)數(shù)單位。小數(shù)除法根據(jù)小數(shù)性質(zhì)以及商不變規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為自然數(shù)的除法。分?jǐn)?shù)除法根據(jù)分?jǐn)?shù)意義、除法意義以及乘除法的互逆關(guān)系等得出運(yùn)算法則——除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。小學(xué)生理解、解釋分?jǐn)?shù)除法尤其是分?jǐn)?shù)除以假分?jǐn)?shù)的算理非常困難，這在小學(xué)階段不做要求。

三、小學(xué)四則運(yùn)算的教學(xué)建議

自然數(shù)四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)加減法與乘法主要借助直觀操作在理解算理的基礎(chǔ)上歸納概括算法，而小數(shù)四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)除法以及比例運(yùn)算的法則應(yīng)通過推理獲得。四則運(yùn)算的對象不同，理解并掌握其算理算法的途徑就不同，教學(xué)的方法與策略也不同。

1.重視計(jì)算方式多樣化，而不是具體算法多樣化

如前所述，四則運(yùn)算算得結(jié)果的方式（算法）主要有五類，“算法多樣化”強(qiáng)調(diào)的是根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題的需要選擇這五類中某種合適的計(jì)算方式。

“算法多樣化”不是過于強(qiáng)調(diào)某一個(gè)算式的算法多樣化。例如，12×14，有教師上課時(shí)借助“點(diǎn)子圖”將其轉(zhuǎn)化為2×14×6、3×14×4、2×12×7、10×14+2×14等算式，整整一節(jié)課都在玩無聊的轉(zhuǎn)化游戲，教學(xué)目標(biāo)不明確，導(dǎo)致課堂教學(xué)效率低下。因此，四則運(yùn)算必須把握通理通法，減少不必要的算法多樣化。

2.可以“先法后理”，以“理”馭“法”

從認(rèn)知角度看，算法作為程序性知識(shí)可以與算理剝離，并且算法一旦被發(fā)現(xiàn)就可以直接運(yùn)用于問題解決而不需要再經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”過程，即算法具有獨(dú)立性。教學(xué)中確實(shí)可以直接“教”算法，但這樣容易導(dǎo)致機(jī)械記憶、機(jī)械學(xué)習(xí)。學(xué)生依據(jù)運(yùn)算對象及運(yùn)算的意義，在理解算理的基礎(chǔ)上主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)以及歸納概括算法，才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)具體問題情境、激發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自主探究、交流分享不同算法。對比不同算法的相同之處是歸納法則的重要途徑，概括“同”比區(qū)分“異”更有助于探究發(fā)現(xiàn)，畢竟同樣的算式其計(jì)算的依據(jù)或原理是相同的，“求同”的過程有助于解釋、評(píng)價(jià)隱蔽而抽象的算理。

3.探究、歸納不同算式的算法，才能有效概括運(yùn)算法則

教學(xué)中，如果只是告知學(xué)生按照操作程序、步驟進(jìn)行計(jì)算，無助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念、發(fā)展數(shù)學(xué)思維。但實(shí)際教學(xué)中也會(huì)出現(xiàn)另一種現(xiàn)象：只針對一個(gè)例題（簡單算式），讓學(xué)生用各種方法算出結(jié)果、理解算理，這種方式同樣不可取。例如，口算20×3就有多種方法：用加法計(jì)算、操作直觀學(xué)具（經(jīng)典要求：用小棒擺出“20×3”。這樣教學(xué)會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生用小棒擺出這個(gè)算式的“形象圖”）、在數(shù)軸上20、20地?cái)?shù)，甚至用1對應(yīng)20、2對應(yīng)40、3對應(yīng)60的方式數(shù)。這樣的多樣化意義何在？可以說，學(xué)生對這一活動(dòng)沒有認(rèn)知需求，會(huì)導(dǎo)致假探究、假發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象出現(xiàn)，從而損害學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

如何讓學(xué)生興趣高漲地在真正理解算理的基礎(chǔ)上建構(gòu)算法？第一個(gè)活動(dòng)應(yīng)該先讓全班學(xué)生分組分別計(jì)算幾個(gè)不同的算式（能力強(qiáng)的學(xué)生可以都計(jì)算），讓學(xué)生感悟到雖然算式不同，但計(jì)算的道理和方法相同，然后再歸納概括出運(yùn)算法則。例如，整十整百的數(shù)乘一位數(shù)的口算教學(xué)，第一個(gè)活動(dòng)可以口算若干算式，這樣既可調(diào)研學(xué)生口算的基本情況，也可讓學(xué)生初步感悟口算方法;第二個(gè)活動(dòng)可以聚焦前述口算速度慢或易于出錯(cuò)的算式探究其算理，例如40×5、70×6等，讓學(xué)生帶著問題和需求探究算理;第三個(gè)活動(dòng)基于前述口算基礎(chǔ)，歸納概括整十整百的數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算法則;第四個(gè)活動(dòng)是進(jìn)一步猜想驗(yàn)證，即整千整萬等數(shù)乘一位數(shù)的口算方法也是先轉(zhuǎn)化為乘法口訣計(jì)算，然后末尾補(bǔ)0，體驗(yàn)乘法口訣的重要性。這樣教學(xué)能讓學(xué)生既構(gòu)造算法又理解算理，并對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿探究興趣，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)樂趣。

4.根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)奶骄坎牧?/p>

教學(xué)算理應(yīng)充分考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)運(yùn)算對象的特點(diǎn)選擇是否需要直觀操作，沒有必要操作的，則直接借助數(shù)學(xué)符號(hào)概括法則、解釋算理。

低年級(jí)應(yīng)側(cè)重借助實(shí)物圖、學(xué)具（小棒、計(jì)數(shù)器等），根據(jù)運(yùn)算意義、經(jīng)歷操作活動(dòng)得到運(yùn)算結(jié)果。例如，操作小棒的“合并”“分拆”“重組”理解百以內(nèi)的加減計(jì)算，此過程中，理與法并存。中年級(jí)應(yīng)側(cè)重選擇恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)情境或半直觀半抽象的點(diǎn)子圖，充分利用學(xué)生的已有知識(shí)在理解算理的基礎(chǔ)上建構(gòu)算法。高年級(jí)應(yīng)側(cè)重畫直觀幾何圖，以運(yùn)算的互逆關(guān)系為突破口解釋算理、獲得算法。例如，分?jǐn)?shù)乘除法的教學(xué)。

從外顯、可操作的個(gè)別算法到解釋與評(píng)價(jià)內(nèi)隱、抽象、理性的算理，進(jìn)而歸納概括標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)算法則，在這三個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生的思維投入度、卷入度越來越深，思維的抽象與概括度也越來越高。這三個(gè)活動(dòng)相互影響、相互促進(jìn)，在教學(xué)中應(yīng)同步落實(shí)。

責(zé)任編輯? 劉佳