基于李雅普諾夫方法的電力系統(tǒng)靜態(tài)頻率穩(wěn)定分析

成連生

(國網(wǎng)湖南省電力有限公司，湖南 長沙410007)

0 引言

電力系統(tǒng)必須保持同步穩(wěn)定、頻率穩(wěn)定和電壓穩(wěn)定才能正常運(yùn)行。同步穩(wěn)定研究同步發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)；頻率穩(wěn)定研究同步發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。同步發(fā)電機(jī)組只有同時(shí)保持同步穩(wěn)定和頻率穩(wěn)定，才可穩(wěn)定運(yùn)行[1－2]。

電力系統(tǒng)靜態(tài)頻率穩(wěn)定是在小干擾下系統(tǒng)頻率在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定能力。在小擾動(dòng)中，系統(tǒng)存在微小的有功功率不平衡量，導(dǎo)致頻率出現(xiàn)小的偏差；小擾動(dòng)消失后，如果系統(tǒng)頻率能夠恢復(fù)到干擾前運(yùn)行狀態(tài)，或恢復(fù)到一個(gè)新的允許穩(wěn)定狀態(tài)，則系統(tǒng)頻率保持靜態(tài)穩(wěn)定，否則，靜態(tài)失穩(wěn)[3－5]。靜態(tài)頻率穩(wěn)定主要取決于系統(tǒng)發(fā)電機(jī)組原動(dòng)機(jī)的機(jī)械功率與負(fù)荷的電磁功率保持靜態(tài)平衡的能力。在研究電力系統(tǒng)的靜態(tài)頻率穩(wěn)定時(shí)，可不考慮靜態(tài)同步穩(wěn)定問題，即在系統(tǒng)小干擾下，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，“同頻”運(yùn)行。可用一臺(tái)等值發(fā)電機(jī)組來分析靜態(tài)(或暫態(tài))頻率穩(wěn)定問題。造成電力系統(tǒng)靜態(tài)頻率失穩(wěn)的根本原因是系統(tǒng)阻尼不足。發(fā)電機(jī)組的原動(dòng)機(jī)沒有調(diào)速系統(tǒng)或調(diào)速系統(tǒng)響應(yīng)較慢時(shí)，如果系統(tǒng)阻尼小于臨界阻尼，系統(tǒng)靜態(tài)頻率失穩(wěn)；發(fā)電機(jī)組有快速響應(yīng)調(diào)速系統(tǒng)時(shí)，在出現(xiàn)阻尼比為負(fù)的狀態(tài)下，系統(tǒng)頻率靜態(tài)失穩(wěn)。

發(fā)電機(jī)組有足夠的熱備用容量和快速響應(yīng)調(diào)速系統(tǒng)，可較好地跟蹤負(fù)荷變化，有利于系統(tǒng)頻率穩(wěn)定和恢復(fù)。目前，研究電力系統(tǒng)頻率靜態(tài)穩(wěn)定的方法較多。文獻(xiàn)[6]提出了風(fēng)電機(jī)組參與電力系統(tǒng)頻率控制的方法；文獻(xiàn)[7]提出了一種基于電壓靈敏度分析的孤立型電力系統(tǒng)頻率控制方法；文獻(xiàn)[8]總結(jié)了深度學(xué)習(xí)等人工智能方法在高比例新能源電力系統(tǒng)頻率控制的應(yīng)用前景；文獻(xiàn)[9]提出了基于狀態(tài)反饋線性化的電力系統(tǒng)頻率控制方法。本文采用現(xiàn)代控制理論中較完備的李雅普諾夫(Lyapunov)第一方法和第二方法，即間接法和直接法分析系統(tǒng)的靜態(tài)頻率穩(wěn)定性。在建立等值單機(jī)電力系統(tǒng)的有功功率－頻率靜態(tài)模型基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了發(fā)電機(jī)組無調(diào)速系統(tǒng)下基于李亞普諾夫間接法和直接法的靜態(tài)頻率穩(wěn)定依據(jù)，并考慮發(fā)電機(jī)有快速調(diào)速系統(tǒng)時(shí)，利用李亞普諾夫方法分析電力系統(tǒng)保持靜態(tài)頻率穩(wěn)定的條件。

1 電力系統(tǒng)有功功率-頻率靜態(tài)模型

1.1 基礎(chǔ)條件

本文研究等值單機(jī)系統(tǒng)的靜態(tài)頻率穩(wěn)定性。結(jié)合電力系統(tǒng)靜態(tài)頻率特性，在研究單機(jī)系統(tǒng)靜態(tài)頻率穩(wěn)定性中，可作以下簡化:

1)考慮發(fā)電機(jī)組原動(dòng)機(jī)靜態(tài)頻率特性。

2)考慮負(fù)荷功率靜態(tài)頻率特性。

3)線損并入負(fù)荷。

4)考慮電力系統(tǒng)線性化微分方程數(shù)學(xué)模型。

1.2 同步發(fā)電機(jī)靜態(tài)頻率模型

電力系統(tǒng)發(fā)生小擾動(dòng)時(shí)，發(fā)電機(jī)組的功率－頻率靜態(tài)特性可表示為發(fā)電機(jī)組原動(dòng)機(jī)有功出力的微小變化ΔPM和頻率微小偏差Δf的關(guān)系，即:

式中，PM、PG分別為原動(dòng)機(jī)、發(fā)電機(jī)的有功功率，KG為原動(dòng)機(jī)有功功率－頻率靜態(tài)調(diào)節(jié)系數(shù)。

1.3 負(fù)荷靜態(tài)頻率模型

電力系統(tǒng)在小擾動(dòng)下，負(fù)荷的功率－頻率靜態(tài)特性可表示為負(fù)荷PL有功功率的微小變化ΔPL和頻率微小偏差Δf的關(guān)系，即:

式中，kL為負(fù)荷有功功率的靜態(tài)頻率調(diào)節(jié)系數(shù)，一般kL＝1～3。

1.4 電力系統(tǒng)靜態(tài)頻率模型

綜合考慮發(fā)電機(jī)組和負(fù)荷的靜態(tài)頻率模型，等值單機(jī)系統(tǒng)的線性化微分方程為:

式中，M為發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，汽輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般為8～16 s，水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般為4～8 s。ΔPD為發(fā)電機(jī)阻尼功率變化量，D為發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)，Ks表示為:

發(fā)電機(jī)的阻尼功率包括電磁阻尼和機(jī)械阻尼兩部分。機(jī)械阻尼包括風(fēng)阻、摩擦等。電磁阻尼由發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁繞組和阻尼繞組提供，反映在電磁功率中，故式(3)中阻尼系數(shù)D只反映發(fā)電機(jī)的機(jī)械阻尼特性，一般D為1～3。

2 李雅普諾夫方法在系統(tǒng)頻率靜態(tài)穩(wěn)定分析的應(yīng)用

2.1 李雅普諾夫間接法

李雅普諾夫間接法通過分析線性系統(tǒng)特征值判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性[10－11]。利用李雅普諾夫間接法分析系統(tǒng)靜態(tài)頻率穩(wěn)定性時(shí)，首先求取等值單機(jī)系統(tǒng)式(3)的特征值，然后根據(jù)特征值實(shí)部判斷系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性。

等值發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程式(3)可改寫為:

式中:

狀態(tài)方程式(4)的特征值為:

利用李雅普諾夫間接分析法，系統(tǒng)靜態(tài)頻率臨界穩(wěn)定時(shí)，狀態(tài)矩陣的特征值為0，即:

臨界阻尼系數(shù)為:

當(dāng)D＜Dcr(即λ＞0)時(shí)，頻率在平衡點(diǎn)按指數(shù)非周期失穩(wěn)；當(dāng)D＞Dcr(即λ＜0)時(shí)，頻率在平衡點(diǎn)按指數(shù)非周期趨于穩(wěn)定。

發(fā)電機(jī)具有快速高放大倍數(shù)勵(lì)磁系統(tǒng)，弱聯(lián)系統(tǒng)，遠(yuǎn)距離、重負(fù)荷輸電，系統(tǒng)具有并聯(lián)電容補(bǔ)償?shù)?，可能出現(xiàn)負(fù)阻尼狀態(tài)，甚至發(fā)生負(fù)阻尼系數(shù)越過臨界值造成靜態(tài)頻率失穩(wěn)。

2.2 李雅普諾夫直接法

李雅普諾夫直接法通過直接構(gòu)造系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用克拉索夫斯基方法構(gòu)建等值單機(jī)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，分析系統(tǒng)頻率在平衡點(diǎn)f(0)運(yùn)行的靜態(tài)頻率穩(wěn)定性[12]。

由式(4)求得雅可比函數(shù)為:

等值單機(jī)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為:

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理，V(Δf)是正定的，那么靜態(tài)頻率穩(wěn)定的條件為李雅普諾夫函數(shù)V(Δf)的一階導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的則有:

3 考慮快速響應(yīng)調(diào)速系統(tǒng)的靜態(tài)頻率穩(wěn)定分析

3.1 快速調(diào)速系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)組靜態(tài)頻率模型

發(fā)電機(jī)調(diào)速器大致分為機(jī)械液壓式和電氣液壓式兩類。一般地，機(jī)械式調(diào)速系統(tǒng)的響應(yīng)速度較慢，且存在動(dòng)作死區(qū)，電氣液壓調(diào)速系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快。系統(tǒng)靜態(tài)頻率穩(wěn)定分析應(yīng)考慮響應(yīng)速度快的機(jī)械液壓式或電氣液壓式調(diào)速系統(tǒng)的影響?？焖僬{(diào)速系統(tǒng)主要由調(diào)速器、開度限制器、水(汽)慣性等環(huán)節(jié)組成，其可用一階慣性環(huán)近似等效為:

式中，TG為調(diào)速系統(tǒng)和發(fā)電機(jī)組原動(dòng)機(jī)的組合時(shí)間常數(shù)，KG為調(diào)速系統(tǒng)頻率偏差系數(shù)。

考慮快速調(diào)速系統(tǒng)動(dòng)作特性后，等值發(fā)電機(jī)組的狀態(tài)方程為:

將式(8)改寫為:

式中:

3.2 基于間接法的靜態(tài)頻率穩(wěn)定性分析

式(12)中，矩陣A的特征值為:

式中，α為頻率響應(yīng)衰減時(shí)間常數(shù)，ω為振蕩角頻率，ξ為阻尼比，ωn為自然振蕩角頻率，即:

對(duì)比式(13)和式(5)可知，不考慮發(fā)電機(jī)組調(diào)速系統(tǒng)的特征值為實(shí)數(shù)，有快速調(diào)速系統(tǒng)的特征值為共軛復(fù)數(shù)?；谔卣髦郸撕妥枘岜圈蔚年P(guān)系，系統(tǒng)頻率在平衡點(diǎn)f(0)的靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù):

1)當(dāng)ξ＜0時(shí)，系統(tǒng)為負(fù)阻尼系統(tǒng)，頻率響應(yīng)呈指數(shù)正弦周期振蕩失穩(wěn)。

2)當(dāng)ξ＝0，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，頻率響應(yīng)呈等幅正弦周期振蕩，達(dá)到頻率靜態(tài)穩(wěn)定極限。

3)當(dāng)ξ＞0時(shí)，系統(tǒng)為正阻尼系統(tǒng)，靜態(tài)頻率穩(wěn)定。其中，當(dāng)0＜ξ＜1時(shí)，系統(tǒng)為欠正阻尼系統(tǒng)，特征值系實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)，頻率響應(yīng)呈指數(shù)正弦周期振蕩趨于穩(wěn)定；ξ＝1時(shí)，系統(tǒng)頻率從按指數(shù)正弦周期振蕩趨穩(wěn)到按指數(shù)非周期趨穩(wěn)的分界點(diǎn)；ξ＞1時(shí)，系統(tǒng)為過正阻尼系統(tǒng)，特征值為負(fù)實(shí)數(shù)，頻率響應(yīng)按指數(shù)非周期趨于穩(wěn)定。

綜上可得，考慮快速調(diào)速系統(tǒng)影響后，阻尼比ξ反映了系統(tǒng)靜態(tài)頻率穩(wěn)定的狀況。

3.3 基于直接法的靜態(tài)頻率穩(wěn)定性分析

李雅普諾夫直接法是判定系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，而不是充要條件，即該方法可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定，但不能判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定。考慮快速調(diào)速系統(tǒng)動(dòng)作特性后，構(gòu)建等值單機(jī)系統(tǒng)，即式(12)的李雅普諾夫函數(shù)。采用梯度法分析系統(tǒng)頻率在平衡點(diǎn)f(0)運(yùn)行的靜態(tài)頻率穩(wěn)定性，其主要步驟如下:

1)假設(shè)李雅普諾夫函數(shù)V(Δf，ΔPG)的梯度向量為:

2)計(jì)算V(Δf，ΔPG)的導(dǎo)數(shù)即:

在小干擾下，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理，如果系統(tǒng)頻率靜態(tài)穩(wěn)定，滿足負(fù)定的要求。因此，式(15)中參數(shù)a11、a22可均取值1，a12、a21均取值0，即式(15)簡化為:

V·為負(fù)定時(shí)，即的充分條件為:

3)驗(yàn)證李雅普諾夫函數(shù)V(Δf，ΔPG)的正定性。

基于 所 選 參 數(shù)a11、a22、a12、a21，式(14)的旋度方程為:

即李雅普諾夫函數(shù)V(Δf，ΔPG)的梯度向量在狀態(tài)空間(Δf，ΔPG)的線積分與積分路徑無關(guān)，李雅普諾夫函數(shù)為:

由此可見，李雅普諾夫函數(shù)V(Δf，ΔPG)是正定的?？紤]快速調(diào)速系統(tǒng)后系統(tǒng)在滿足式(17)時(shí)，頻率在平衡點(diǎn)f(0)保持靜態(tài)穩(wěn)定。

4 結(jié)論

本文利用李雅普諾夫方法研究了等值單機(jī)系統(tǒng)的靜態(tài)頻率穩(wěn)定性，通過理論推導(dǎo)和分析得到主要結(jié)論如下:

1)發(fā)電機(jī)組無快速響應(yīng)調(diào)速系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)阻尼D大于臨界值Dcr時(shí)，頻率以指數(shù)非周期趨于穩(wěn)定；當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)負(fù)阻尼，且D小于臨界值Dcr時(shí)，頻率以指數(shù)非周期失穩(wěn)。臨界值Dcr取決于發(fā)電機(jī)和負(fù)荷的頻率靜態(tài)調(diào)節(jié)系數(shù)。

2)發(fā)電機(jī)組有快速調(diào)速系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)阻尼比ξ＞0時(shí)，頻率保持靜態(tài)穩(wěn)定；當(dāng)ξ＜0時(shí)，頻率靜態(tài)失穩(wěn)。調(diào)速系統(tǒng)和原動(dòng)機(jī)的響應(yīng)時(shí)間常數(shù)影響阻尼比ξ及系統(tǒng)頻率靜態(tài)穩(wěn)定性。

3)系統(tǒng)處于弱阻尼甚至負(fù)阻尼狀態(tài)時(shí)，通過縮短調(diào)速系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間、增加發(fā)電機(jī)熱備用容量等措施，可提升系統(tǒng)的阻尼和靜態(tài)頻率穩(wěn)定性。