Bang- Coast- Bang 控制在橋式起重機(jī)控制系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)

高全勝

（常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164）

橋式起重機(jī)在工業(yè)中扮演著至關(guān)重要的角色。它們?cè)诖瑝]、建筑工地、鋼廠、倉(cāng)庫(kù)、核電和廢物儲(chǔ)存設(shè)施中廣泛使用。橋式起重機(jī)在移動(dòng)貨物時(shí)候，貨物會(huì)來回的擺動(dòng)[2]，影響裝載效率，有時(shí)候還會(huì)帶來一定的危險(xiǎn)[1-3]。因此，如何控制有效載荷擺動(dòng)，是橋式起重機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行的重要問題。橋式起重機(jī)系統(tǒng)有效載荷可以建模為一個(gè)點(diǎn)質(zhì)量，懸索建模為一個(gè)剛性鏈接，并且連接到小車上。對(duì)小車施加激勵(lì)命令信號(hào)，有效載荷的運(yùn)動(dòng)使用二維模型來描述。事實(shí)證明，對(duì)小車加速度命令控制是減少有效載荷擺動(dòng)的有效方法[4-5]。本文使用優(yōu)化方法找到最佳的bang-coast-bang 加速度基函數(shù)[6]。優(yōu)化加速函數(shù)以最小化有效載荷的擺動(dòng)。將動(dòng)態(tài)方程應(yīng)用于簡(jiǎn)化的橋式起重機(jī)模型，并使用Matlab 中的符號(hào)計(jì)算工具包導(dǎo)出各個(gè)關(guān)系式，再利用優(yōu)化工具包，對(duì)其求解。

1 橋式起重機(jī)數(shù)學(xué)模型

簡(jiǎn)化后的橋式起重機(jī)由可移動(dòng)小車、載荷和懸索構(gòu)成如圖1 所示。

這里，r 是懸索的長(zhǎng)度，m 是載荷的質(zhì)量，M是小車的質(zhì)量，θ 是懸索相對(duì)于垂線的角度，逆時(shí)針為正。x 是小車位置的橫坐標(biāo)。

下面根據(jù)系統(tǒng)模型求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。歐拉- 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程為

其中n 是系統(tǒng)的自由度，q={q1，…，qn}是一組廣義坐標(biāo)。其中，L 為拉格朗日函數(shù)：L=T-V，是n 自由度的系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能之間的差。當(dāng)前橋式起重機(jī)系統(tǒng)模型只有兩個(gè)自由度，我們選擇q={x，θ}作為廣義坐標(biāo)。使用Matlab 中的符號(hào)計(jì)算工具包可以導(dǎo)出以下各個(gè)變量的表達(dá)式。其中，小車的速度為:

小車的運(yùn)動(dòng)為水平運(yùn)動(dòng)，因此，勢(shì)能的計(jì)算只需考慮載荷即可，系統(tǒng)的勢(shì)能為:

2 數(shù)值仿真

Bang-Coast-Bang 加速度控制能夠減小載荷的擺動(dòng)，又能高效地將貨物送至目的地。有兩個(gè)主要因素影響有效載荷擺動(dòng)角的值：小車行進(jìn)的距離，以及加速度命令中兩個(gè)脈沖的寬度（見圖2）。系統(tǒng)優(yōu)化可以歸結(jié)為：加速段、滑行段以及減速段的時(shí)間分配優(yōu)化問題。設(shè)小車移動(dòng)路徑長(zhǎng)度為x=40m，加速段時(shí)長(zhǎng)為t1=4.5s，滑行段時(shí)長(zhǎng)為t2=10s，減速段時(shí)長(zhǎng)為t3=4.5s，小車在經(jīng)過加速、滑行、減速后，經(jīng)過x 長(zhǎng)的位移后靜止下來，距離、加速度與時(shí)間存在如下關(guān)系:

圖2 Bang-Coast-Bang 加速指令

3 系統(tǒng)優(yōu)化

小車的加速指令如圖2 所示，可以看出小車經(jīng)過加速、滑行、減速三個(gè)階段。圖3 顯示載荷在整個(gè)過程中不斷擺動(dòng)。當(dāng)小車停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，載荷還在繼續(xù)擺動(dòng)（陰影區(qū)域）。優(yōu)化的目標(biāo)就是：當(dāng)小車停下來的時(shí)候，載荷也應(yīng)該停止擺動(dòng)，保存靜止。因此應(yīng)該設(shè)置優(yōu)化目標(biāo)為載荷擺角函數(shù)積分的絕對(duì)值為最小:

圖3 載荷的擺動(dòng)

由于小車運(yùn)動(dòng)距離是固定的，從系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(6)以及距離、加速度與時(shí)間關(guān)系式(7)，可以看出擺角θ 是加速段時(shí)長(zhǎng)t1、滑行段時(shí)長(zhǎng)t2、減速段時(shí)長(zhǎng)t3 的函數(shù)。為方便優(yōu)化，引入新的變量tf=t1+t2+t3，表示整個(gè)加速段、滑行段、減速段總的時(shí)間長(zhǎng)度。將優(yōu)化約束條件設(shè)置為:

優(yōu)化初始值設(shè)置為t1=4.5s，t3=4.5s，tf=19s，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為(10)式，使用Matlab 的優(yōu)化工具箱，經(jīng)過幾輪迭代可以找到目標(biāo)函數(shù)的局部最小值。

根據(jù)公式(7)和(8)可以計(jì)算出優(yōu)化后的加速度如圖4，這就是優(yōu)化后的Bang-coast-bang 加速指令。從圖5 可以看出優(yōu)化后，小車停下后，載荷也同時(shí)靜止下來，實(shí)現(xiàn)了我們的優(yōu)化目標(biāo)。

圖4 優(yōu)化后的Bang-Coast-Bang 加速指令

與時(shí)間最優(yōu)控制相關(guān)的一個(gè)缺點(diǎn)是它無法實(shí)時(shí)實(shí)施，因?yàn)樾枰A(yù)先計(jì)算系統(tǒng)軌跡，因此沒有用于起重機(jī)的時(shí)間最優(yōu)控制方法[2]。也就是說，此類橋式起重機(jī)優(yōu)化問題沒有一個(gè)全局最優(yōu)解，只包含多個(gè)可行的解。所以我們要確保沒有錯(cuò)過其他更好的解。一種方法是求解具有不同初始條件的優(yōu)化問題。借助matlab的全局優(yōu)化工具箱，可以設(shè)定多個(gè)初始值求解。由于求解器的每次運(yùn)行都是獨(dú)立的，可以并行運(yùn)行以加快進(jìn)程。

表1 不同的初始值

圖6 顯示的是前3 個(gè)最好的優(yōu)化結(jié)果，這是由不同的初始值生成的。

從圖6 可以看到，雖然有效載荷在完成后保持穩(wěn)定，但不同的優(yōu)化結(jié)果會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)較大的擺角振蕩。下面將最大振幅限制為小于±5 度。我們通過向添加額外的非線性約束來做到這一點(diǎn)。圖7 顯示了前3 個(gè)可行的新的優(yōu)化結(jié)果。從這些新的優(yōu)化結(jié)果可以看出載荷擺動(dòng)被限制在5 度以下。

圖6 多個(gè)初始值的優(yōu)化結(jié)果

圖7 增加擺幅限制的優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)論

本研究將Bang-Coast-Bang 控制應(yīng)用于橋式起重機(jī)優(yōu)化控制中，建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在matlab 中進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明：該控制器實(shí)現(xiàn)了良好的定位精度和顯著減少擺動(dòng)效果。