基于科普拉函數(shù)的電、熱負(fù)荷及風(fēng)電出力間的相關(guān)性分析與建模

楊 柳，李 明

(國網(wǎng)通化供電公司，吉林 通化 134001)

隨著我國大規(guī)模的風(fēng)電并網(wǎng)，給電網(wǎng)的運行也帶來了一定的沖擊，風(fēng)電與熱、電負(fù)荷在時間和空間上均可能存在較強的相關(guān)性，如果不考慮這種關(guān)系將會影響風(fēng)電的合理消納及風(fēng)能的利用效率[1-2]。因此，在電網(wǎng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度中有必要對風(fēng)電與熱、電負(fù)荷間的相關(guān)性進(jìn)行精確建模，以量化變量的隨機性給電力系統(tǒng)帶來的影響，實現(xiàn)電網(wǎng)安全經(jīng)濟(jì)運行。

研究變量間的相關(guān)性問題的關(guān)鍵在于正確處理非正態(tài)隨機變量之間的相關(guān)性[3]。 科普拉(Copula)理論作為多元分析方法中的一種方法，能較準(zhǔn)確描述多元變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于兩個(或多個)隨機變量的依賴結(jié)構(gòu)建模。該方法被用于許多領(lǐng)域的研究，包括金融[4]、風(fēng)電場相關(guān)性分析[5]、洪水風(fēng)險分析[6]、頻率分析等[7]。文獻(xiàn)[8]提出構(gòu)造混合Copula函數(shù)來模擬兩個風(fēng)場之間的風(fēng)速相關(guān)性，但沒有關(guān)于模型結(jié)構(gòu)和驗證的細(xì)節(jié)。文獻(xiàn)[9]基于動態(tài)Copula理論構(gòu)建風(fēng)光聯(lián)合出力模型，用動態(tài)相關(guān)系數(shù)來描述相關(guān)性，并將其運用于數(shù)據(jù)驅(qū)動的風(fēng)光聯(lián)合系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[10]采用的是線性相關(guān)性建模，這對于非線性的變量無法準(zhǔn)確地描述。鑒于此，本文提出采用Copula函數(shù)來推斷Copula參數(shù)及構(gòu)建風(fēng)-電-熱相關(guān)性模型。以某地區(qū)的熱負(fù)荷、電負(fù)荷和風(fēng)電出力作為數(shù)據(jù)樣本，驗證Copula建模的有效性，結(jié)果表明所提方法的準(zhǔn)確性和合理性。

1 Copula理論及相關(guān)性評價指標(biāo)

1.1 Copula理論

Copula是一個無論其單變量分布如何，“連接”或“耦合”兩個或多個與時間無關(guān)的變量的數(shù)學(xué)函數(shù)。設(shè)H是具有邊際單變量分布F和G的聯(lián)合累積分布函數(shù)，X和Y是連續(xù)的二維隨機變量。斯科拉(Sklar)定理指出當(dāng)F和G連續(xù)時，存在唯一一個確定的Copula函數(shù)C(·)滿足：

H(x,y)=C[F(x),G(y)]

(1)

Sklar定理也可以推廣到多元分布的聯(lián)合分布函數(shù)。

1.2 相關(guān)性指標(biāo)

在非正態(tài)分布情況下，需要引入能夠很好測量隨機變量相關(guān)性的指標(biāo)，通常通過參數(shù)和經(jīng)驗依賴性度量之間的理論關(guān)系來估計，如肯德爾(Kendall)秩相關(guān)系數(shù)τ和斯皮爾曼(Spearman)相關(guān)系數(shù)ρ，若τ>0，表示變量間呈正相關(guān)；τ<0，表示變量間呈負(fù)相關(guān)[11]。ρ相關(guān)系數(shù)也呈同樣的變化關(guān)系。設(shè)兩隨機變量X，Y的分布函數(shù)分別為F(x)，G(y)，若u=F(x)，v=G(y)，則兩變量之間的相關(guān)性可由τ和ρ相關(guān)系數(shù)得到，即：

(2)

(3)

2 基于Copula函數(shù)變量相關(guān)性分析與建模

Copula模型的一個顯著優(yōu)點就是變量的邊緣分布不受限制，它可以將邊緣分布和變量間相關(guān)性分開研究，所以由Sklar定理將Copula函數(shù)模型的建立分步來完成：第一步，確定變量的邊緣分布，由變量的歷史數(shù)據(jù)可確定邊緣分布；第二步，選取適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)，只有選取合適的Copula函數(shù)才能準(zhǔn)確的反應(yīng)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)；第三步，參數(shù)估計，得出Copula函數(shù)模型中的未知參數(shù)估計值。

2.1 邊緣分布估計

一般情況下，邊緣分布的確定有兩種方式，一種是參數(shù)方式，另一種是非參數(shù)方式。參數(shù)方式是指假設(shè)隨機變量服從某一確定的分布，比如一些常用的分布，然后根據(jù)極大似然估計法估計分布中的參數(shù)，最后進(jìn)行檢驗；非參數(shù)方式是指不需要事先假設(shè)隨機變量服從哪種具體形式，而是以經(jīng)驗分布與核密度估計為基礎(chǔ)，將經(jīng)驗分布代替整體隨機變量分布，最后采用極大似然估計方法對模型的參數(shù)進(jìn)行估計。在實際中，邊緣分布的確定對變量間的相關(guān)性分析是十分重要的，如果選取不當(dāng)，將會影響最終數(shù)據(jù)的擬合效果。所以本文采用非參數(shù)方式，基于核密度的估計方法來確立隨機變量的邊緣分布，對于已知的數(shù)據(jù)樣本，核密度估計的結(jié)果主要取決于窗寬h的選擇。設(shè)隨機變量X的樣品點為(x1，x2，…，xn)，n為樣本個數(shù)，在任意點x處的概率密度函數(shù)f(x)的核密度估計為：

(4)

其中h為窗寬或帶寬，K(·)為核函數(shù)，起到一種加權(quán)作用，任一點x處的密度函數(shù)估計值的大小與該點附近所包含的樣本點的個數(shù)有關(guān)，若樣本點較稀疏，則估計值較小，反之則較大。對f(x)積分可以得到變量的邊緣分布函數(shù)F(x)，再將邊緣分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為均勻分布U，對于r∈(0，1)存在：

P[F(x)≤r]=P[X≤F-1(r)]=

F[F-1(r)]=r?F(x)=U

(5)

2.2 Copula函數(shù)模型的確定

最優(yōu)Copula函數(shù)的選取包括兩個方面，一是Copula函數(shù)參數(shù)的確定，二是Copula函數(shù)類型的確定。選取合適的備選Copula函數(shù)的方法有很多種，根據(jù)分析數(shù)據(jù)的特點來選擇合適的備選Copula函數(shù)。本文采用圖形法，通過二元頻率直方圖來選擇合適的備選Copula函數(shù)。如果兩變量的二元頻率直方圖是非對稱的，則可以選擇岡貝爾(Gumbel) Copula函數(shù)和克萊頓(Clyton) Copula函數(shù)，如果是對稱的，則選擇法蘭克(Frank) Copula函數(shù)、Norm Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)；如果二元頻率直方圖反應(yīng)尾部的相關(guān)性，則可以選擇Gumbel Copula函數(shù)、Clyton Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)，如果不反應(yīng)尾部相關(guān)性，則選擇Frank Copula函數(shù)和Norm Copula函數(shù)。在得到的各Copula函數(shù)所對應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)的基礎(chǔ)上，通過平方歐式距離檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合度，將平方歐式距離最小的備選Copula函數(shù)作為最優(yōu)Copula函數(shù)。

2.3 參數(shù)估計

在確定了邊緣分布和最優(yōu)Copula函數(shù)后，通過原始數(shù)據(jù)和選取的Copula函數(shù)進(jìn)行模型的參數(shù)估計，采用分步極大似然估計法對變量間的Copula未知參數(shù)進(jìn)行估計。根據(jù)式(6)可知，采用分步極大似然估計法進(jìn)行估計，步驟為：

(6)

a.求參數(shù)θ1和θ2的極大似然值:

b.把θ1和θ2帶入下式，求出Copula函數(shù)中的參數(shù)α：

3 算例分析

本文選某地一年的風(fēng)力發(fā)電和電、熱負(fù)荷的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，它代表了在某地區(qū)一年中熱負(fù)荷和電負(fù)荷的基本趨勢和風(fēng)電場輸出功率的波動情況，算法流程見圖1。目前變量間的相關(guān)性分析僅考慮在二元變量間進(jìn)行分析，所以風(fēng)-電-熱三變量需要分成兩兩一組進(jìn)行分析。

圖1 算法流程

3.1 確定變量的邊緣分布

采取基于核密度的估計方法來確立隨機變量的邊緣分布，其不需要事先假設(shè)隨機變量服從哪種具體形式，只從數(shù)據(jù)本身出發(fā)，通過與經(jīng)驗分布對比檢驗核密度估計的準(zhǔn)確性。圖2分別為電負(fù)荷、風(fēng)力發(fā)電和熱負(fù)荷的經(jīng)驗分布函數(shù)和核分布估計圖，由圖2可知該方法可以很好地擬合樣本數(shù)據(jù)，所以核密度估計是準(zhǔn)確的。

圖2 邊緣分布函數(shù)

3.2 選取合適的Copula函數(shù)

在確定了電負(fù)荷、風(fēng)力發(fā)電和熱負(fù)荷的邊緣分布后，繪制電負(fù)荷和風(fēng)力發(fā)電、電負(fù)荷和熱負(fù)荷、風(fēng)力發(fā)電和熱負(fù)荷的二元頻率和頻數(shù)直方圖，由于篇幅有限，僅對電負(fù)荷和風(fēng)力發(fā)電進(jìn)行分析，其余兩組分析方法相似。電負(fù)荷和風(fēng)力發(fā)電的頻率直方圖見圖3，從圖3中可以看出電負(fù)荷和風(fēng)電出力的二元頻率直方圖具有基本對稱的尾部，所以初選Norm Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)來描述變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

圖3 電負(fù)荷和風(fēng)電出力的頻率直方圖

3.3 參數(shù)估計

確定了變量的邊緣分布和選取合適的Copula函數(shù)后，通過各變量的原始數(shù)據(jù)，采用分布極大似然估計法對所選取的Copula函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計，表1為電負(fù)荷和風(fēng)電出力模型估計所得到的參數(shù)，其中皮爾森(Pearson)系數(shù)用來描述變量間的線性相關(guān)程度，Kendall秩相關(guān)系數(shù)表示隨機變量間變化趨勢一致相關(guān)性，Spearman秩相關(guān)系數(shù)表示隨機變量間變化趨勢一致與不一致的概率之差倍數(shù)，自由度為t-Copula模型中的參數(shù)，平方歐氏距離反映了Copula函數(shù)模型擬合的情況，數(shù)值越小，代表模型擬合的越好，圖4和圖5為得到的模型。

圖4 電負(fù)荷和風(fēng)電出力Norm Copula密度函數(shù)和分布函數(shù)

圖5 電負(fù)荷和風(fēng)電出力t- Copula密度函數(shù)和分布函數(shù)

表1 電負(fù)荷和風(fēng)電出力的參數(shù)估計

3.4 模型評價

(7)

從圖4和圖5可以看出，電負(fù)荷和風(fēng)電出力中的二元t-Copula函數(shù)的密度函數(shù)比二元Norm Copula函數(shù)的密度函數(shù)具有更厚的尾部特征，說明t-Copula函數(shù)可以更好地擬合電負(fù)荷和風(fēng)電出力之間的相關(guān)關(guān)系。

4 結(jié)論

熱負(fù)荷、電負(fù)荷和風(fēng)電出力三者之間的相關(guān)性對于風(fēng)電合理消納、提高風(fēng)能利用效率具有重要的意義。本文以Copula理論為基礎(chǔ)，首先確定變量間的邊緣分布，然后采用分布極大似然法對模型進(jìn)行估計，最后通過平方歐式距離對所選取的Copula函數(shù)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗。實例分析表明，t-Copula函數(shù)可以更好地描述電負(fù)荷與風(fēng)電出力之間的相關(guān)性，并且可以準(zhǔn)確地描述變量間的尾部相關(guān)性，避免了只關(guān)注秩相關(guān)系數(shù)的缺點。