受干擾的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間雙邊一致性

謝文丹,劉宏亮,歐陽(yáng)自根

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

前期一些文章所涉及到的多智能體一致性算法大多是漸近收斂，即控制算法只能保證被控制的多個(gè)智能體在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)才能實(shí)現(xiàn)狀態(tài)共同一致，這顯然不利于刻畫(huà)實(shí)現(xiàn)生活中的一致性現(xiàn)象，于是有限時(shí)間一致性問(wèn)題逐漸成為新的熱點(diǎn)問(wèn)題。如在參考文獻(xiàn)[1]中，作者發(fā)展了有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，并應(yīng)用于研究自治的多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題。在參考文獻(xiàn)[2]中，基于符號(hào)函數(shù)，作者提出了一階多智能體系統(tǒng)的不連續(xù)控制協(xié)議。在參考文獻(xiàn)[3]中，有限時(shí)間控制被推廣到單積分動(dòng)力學(xué)的多智能體系統(tǒng)。關(guān)于有限時(shí)間一致性結(jié)果可參閱文獻(xiàn)[4-7]及它們的參考文獻(xiàn)。然而有限時(shí)間收斂的上界會(huì)受到系統(tǒng)初始值的影響，另外，能否提前獲得初始值也是一大挑戰(zhàn)，這更不利于實(shí)現(xiàn)工程的應(yīng)用。為克服這一問(wèn)題，不依賴于初始值的固定時(shí)間收斂定理應(yīng)運(yùn)而生(收斂時(shí)間不再依賴于初始條件)，在參考文獻(xiàn)[8]中，作者給出控制協(xié)議的表達(dá)式

并在此基礎(chǔ)上選取合適的Lyapunov函數(shù)V(x)，但在后續(xù)的計(jì)算過(guò)程中，作者對(duì)V(x)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行放縮時(shí)，直接舍棄了干擾項(xiàng)，所以最終結(jié)果看不到系統(tǒng)所受的干擾對(duì)它的影響。然而在實(shí)際應(yīng)用中，多智能體的控制輸入不可避免地會(huì)受到外部環(huán)境的干擾，干擾的存在會(huì)影響到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以研究干擾對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響是非常必要的。

本文提出新的非連續(xù)控制協(xié)議ui(t)，與參考文獻(xiàn)[8]相比，保留了干擾項(xiàng)，討論了τ>bw的情形，最終得到的固定時(shí)間，也具有實(shí)際意義，即當(dāng)干擾程度增大時(shí)，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定所需要的時(shí)間變長(zhǎng)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 標(biāo)記

在本文中，Rn表示n維歐式空間，集合In={1,2,…,n}，1=[1,1,…,1]T為單位向量，記D={D=diag{d1,d2,…,dn},di={±1}}為對(duì)角元素是d1,d2,…,dn的矩陣。sign(·)表示符號(hào)函數(shù)，其表達(dá)式為

1.2 圖論

用G來(lái)表示通信拓?fù)鋱D,即G=(V,E,A),其中V={ν1,ν2,…νn}為所有節(jié)點(diǎn)的集合,E?V×V為圖中所有邊的集合,鄰接矩陣A=[aij]∈Rn×n。因此,(νi,νj)∈E,意味著aij≠0。若對(duì)于所有的i,j都存在aij=aji,則稱圖G為無(wú)向圖。本文只考慮無(wú)向圖,即：如果節(jié)點(diǎn)νi和節(jié)點(diǎn)νj之間存在著信息交流,那么從節(jié)點(diǎn)νi到節(jié)點(diǎn)νj就有一條無(wú)向邊。本文默認(rèn)系統(tǒng)中不存在自環(huán),即aii=0。

用集合Ni={j:(j,i)∈E}來(lái)表示節(jié)點(diǎn)的所有鄰接點(diǎn)的結(jié)合,則節(jié)點(diǎn)νi的入度為集合Ni中所有節(jié)點(diǎn)νj的個(gè)數(shù),節(jié)點(diǎn)νi的出度為節(jié)點(diǎn)νj的指向其它節(jié)點(diǎn)的邊的個(gè)數(shù)。如果對(duì)于任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)νi,其入度和出度相等成立,則稱圖G為平衡圖。

在本文,當(dāng)V1∪V2=V，V1∩V2=?，滿足對(duì)于任意的νi,νj∈Vk(k∈{1,2})時(shí)，有aij≥0，對(duì)于任意的νi∈Vk,νj∈Vl,k≠l,(k,l∈{1,2})時(shí)，有aij≤0。除此之外，對(duì)于平衡圖G,存在對(duì)角矩陣D，使得DLD的所有對(duì)角元素非負(fù)。

1.3 一些引理

引理1[9]：圖G的Laplacian矩陣為L(zhǎng)=[lij]∈Rn×n，元素定義為

引理2[10]：(i)若ai>0,i=1,2,…,N,且p>r>0,

則

(ii)若a1,a2,…,aN≥0，且0

(iii)若a1,a2,…,aN≥0,且p>1,則

引理3[10]：考慮一個(gè)標(biāo)量系統(tǒng)

其中m,n,p,q均為正奇數(shù)，且滿足m>n,q>p,以及α，β，γ>0。那么上述等式全局有限時(shí)間穩(wěn)定，且固定時(shí)間的上界為

2 主要結(jié)果

考慮由n個(gè)多智能體組成的系統(tǒng),且第i個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)由下列方程表示

其中xi(t)∈Rn表示第i個(gè)智能體在時(shí)刻t的狀態(tài),ui(t)為第i個(gè)智能體的控制輸入,wi(t)為外部干擾,且滿足|wi(t)|≤bw,其中0

xi(t)≡kijxj(t),t≥T,?i∈In。

(2)

這里,當(dāng)i,j∈Vr,r={1,2}時(shí),kij=1,否則kij=-1。其中,V1和V2滿足等式V1∪V2=V,V1∩V2=?。

由于系統(tǒng)(1)不存在領(lǐng)導(dǎo)者，所有的智能體的狀態(tài)的改變僅僅依賴于鄰居智能體的作用。在此情形下，受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā)，針對(duì)控制目標(biāo)(2),本文提出下面一致性協(xié)議：

其中μ>0,η>0,θ>1，且θ為正的奇整數(shù)。

定理1 對(duì)于給定系統(tǒng)(1)，假設(shè)G為結(jié)構(gòu)平衡圖。那么當(dāng)τ>bw協(xié)議(3)可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)(2)，且T滿足

證明：設(shè)Lyapunov函數(shù)

由Α的對(duì)稱性，有

所以，V(x)的導(dǎo)數(shù)為

將協(xié)議(3)代入式(5)得

注意到|wi(t)|≤bw，對(duì)任意的i和t有

故

也即

(6)

另外，通過(guò)計(jì)算，可以得到

于是

此外

所以

(-Lx)T(Lx)=xTLTLx。

(8)

將式(8)代入式(7)可得

由引理1知xTLTLx≥λ2(L)V(x)，故有

由引理3可得

t≥T1時(shí),V(x)=0。

其中

因此，固定時(shí)間雙邊一致(4)得以實(shí)現(xiàn)。證畢。

3 仿 真

為了驗(yàn)證文中提出的控制協(xié)議的有效性，考慮一個(gè)包含6個(gè)智能體的系統(tǒng)，分別標(biāo)記為a1,a2,…,a6，其交互拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。鄰接矩陣和Laplacian矩陣分別為：

圖1 多智能體的交互拓?fù)鋱DFig.1 Interactive topology of multi-agent

這樣可得λ2(L)=1.769 9。首先，設(shè)計(jì)參數(shù)μ1=2,η1=2,τ1=2,bw=1,θ=3，滿足條件μ>0,η>0,τ>bw,和θ>1,θ為正的奇整數(shù)，取步長(zhǎng)△=0.000 1，干擾項(xiàng)wi(t)=1,由定理1,系統(tǒng)(1)在協(xié)議(3)下可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間雙邊一致，而且由公式(4)可以估計(jì)固定時(shí)間T=1.003 2，通過(guò)Matlab仿真得到圖2和圖3。其中多智能體的兩種初始狀態(tài)分別如下：

圖2 初始條件(1)下平衡圖Fig.2 Equilibrium graph under initial condition 1

圖3 初始條件(2)下平衡圖Fig.3 Equilibrium graph under initial condition 2

(1)x1(0)=[4.2,2.4,0.6,-1.2,-3,-4.8]T。

(2)x2(0)=[4,2,0,-2,-4,-6]T。

由圖2和圖3可見(jiàn)，系統(tǒng)在不同的初始條件下均可以在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到雙邊一致平衡，且初始條件對(duì)收斂時(shí)間的上界沒(méi)有影響。

其次，選取參數(shù)μ2=5.1,η2=6.2,τ2=5,bw=1,θ=3，滿足條件μ>0,η>0,τ>bw,θ>1,θ為正的奇整數(shù)，取步長(zhǎng)△=0.000 1，干擾項(xiàng)wi(t)=1,由定理1,系統(tǒng)(1)在協(xié)議(3)下同樣可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間雙邊一致，而且由公式(4)估計(jì)固定時(shí)間T=0.351 6，對(duì)比圖3和圖4(或圖2和圖4)，很容易發(fā)現(xiàn)固定時(shí)間與參數(shù)的選取有關(guān)，而且當(dāng)參數(shù)μ，η，τ-bw的取值越大，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間雙邊一致所需要的時(shí)間越小。

圖4 參數(shù)改變下的平衡圖Fig.4 Equilibrium graph with parameterchange

最后，考慮兩種不同類型干擾對(duì)智能體系統(tǒng)的影響，設(shè)計(jì)兩種不同類型的干擾，分別為1)wi(t)=2.6,i={1,2,…,6}；2)wi(t)=1.9arctan(it),i={1,2,…,6}，得到圖5和圖6。由圖5和圖6可知，6個(gè)智能體在受干擾的情形下，可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間雙邊一致，并且通過(guò)設(shè)計(jì)不同類型的干擾，會(huì)對(duì)智能體系統(tǒng)產(chǎn)生不同程度的影響。結(jié)果表明，干擾項(xiàng)的上界越大，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間雙邊一致所需要的時(shí)間越長(zhǎng)。

圖5 干擾類型(1)下的平衡圖Fig.5 Equilibrium graph under interference type 1

圖6 干擾類型(2)下的平衡圖Fig.6 Equilibrium graph under interference type 2

4 結(jié) 論

通過(guò)引用代數(shù)圖論,Lyapunov函數(shù),以及固定時(shí)間穩(wěn)定性理論,在提出控制協(xié)議的基礎(chǔ)上,來(lái)處理多智能體系統(tǒng)在受干擾情形下的固定時(shí)間雙邊一致性問(wèn)題，在結(jié)構(gòu)平衡圖下,智能體可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間雙邊一致，系統(tǒng)的收斂時(shí)間上界不受系統(tǒng)的初始值條件的影響，只與控制協(xié)議的系數(shù)和拓?fù)鋱D的結(jié)構(gòu)有關(guān)。另外，當(dāng)外部干擾程度不太大時(shí)(|wi(t)|≤bw),系統(tǒng)依然可以在某個(gè)固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到固定時(shí)間雙邊一致。