結(jié)合RANSAC算法與傳統(tǒng)相似變換模型的穩(wěn)定性分析

劉忠賀，李宗春，郭迎鋼，何 華，趙文斌

(1.信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001；2.中國科學(xué)院上海高等研究院，上海 201210)

加速器裝置運(yùn)營期間，磁鐵等關(guān)鍵元件會受到外界諸多因素影響發(fā)生位移，如不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)并做出調(diào)整，則裝置運(yùn)轉(zhuǎn)性能會受到影響，嚴(yán)重時(shí)會導(dǎo)致粒子運(yùn)行軌道發(fā)生偏轉(zhuǎn)[1-2]。元件是否發(fā)生變形只能依靠控制網(wǎng)對其進(jìn)行監(jiān)測和調(diào)整，所以定期對控制網(wǎng)進(jìn)行復(fù)測并對網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析是一項(xiàng)非常重要的工作[3]。

德國測量學(xué)者Pelzer提出的平均間隙法[4]利用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法對控制網(wǎng)幾何圖形作整體檢驗(yàn)，判斷控制網(wǎng)在兩期觀測間是否發(fā)生顯著性變化，依次尋找變形點(diǎn)并將其剔除，直到檢驗(yàn)通過[5-6]。基于平差后的兩期坐標(biāo)之間存在一定的平移、旋轉(zhuǎn)、尺度信息，可采用傳統(tǒng)相似變換(Traditional Similarity Transformation, TST)法計(jì)算兩期控制網(wǎng)之間的變換參數(shù)，進(jìn)而求出變形點(diǎn)的位移信息，但易受到位移較大點(diǎn)的影響，計(jì)算的模型參數(shù)不準(zhǔn)確，穩(wěn)定性分析結(jié)果不可靠?；诖?，陳永奇[7]提出了迭代加權(quán)相似變換法(Iterative Weighted Similarity Transformation, IWST)，以所有點(diǎn)位移的一次范數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)[8]，采用變權(quán)迭代的方式來計(jì)算點(diǎn)的位移量，在TST法基礎(chǔ)上，增加對變形點(diǎn)的抗差性，提高穩(wěn)定點(diǎn)判別的正確率。Duchnowski Robert[9]將基于中值的穩(wěn)健估計(jì)理論應(yīng)用到控制網(wǎng)的穩(wěn)定性分析中，在一定程度上抵抗了粗差的影響。Krzysztof Nowel[10]提出觀測值差異分析變形的穩(wěn)健估計(jì)方法，是通過消除觀測數(shù)據(jù)中存在的粗差來提高穩(wěn)定性分析的可靠性。A.R.Amiri-Simkooei等人[11]同時(shí)將兩期觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行平差解算，將每一個(gè)點(diǎn)當(dāng)作變形點(diǎn)，其變形量設(shè)為待求參數(shù)進(jìn)行求解，依次剔除位移最大的點(diǎn)，然后進(jìn)行整體檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)通過。該方法計(jì)算繁瑣，類似于單點(diǎn)檢驗(yàn)方法，并且有時(shí)會出現(xiàn)最大變形點(diǎn)判斷錯誤的情況。郭迎鋼[12]在加速器隧道控制網(wǎng)穩(wěn)定性分析過程中加入了網(wǎng)點(diǎn)的空間靈敏度橢球，并分析了控制網(wǎng)的可監(jiān)測性，結(jié)合整體穩(wěn)定性檢驗(yàn)和平均間隙法對隧道控制網(wǎng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，但在求解網(wǎng)點(diǎn)變形量時(shí)未顧及較大變形點(diǎn)對變換參數(shù)的影響。

TST模型在求解相似變換參數(shù)時(shí)易受到較大變形點(diǎn)的影響，不具有抗差性，若能通過一定的方法將變形較大的點(diǎn)剔除，利用剩余較為穩(wěn)定的點(diǎn)求解變換參數(shù)，則可以得到更加準(zhǔn)確的網(wǎng)點(diǎn)變形信息。隨機(jī)抽樣一致性(Random Sample Consensus，RANSAC)算法[13]可用于數(shù)據(jù)的提純，減少或避免異常點(diǎn)對模型的干擾[14-17]。文中結(jié)合RANSAC算法與TST模型，使該模型在應(yīng)用時(shí)具備抗差性，并通過試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 函數(shù)模型

1.1 TST模型

兩期控制網(wǎng)之間可通過公共點(diǎn)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型可表示為：

(1)

式中:(X，Y，Z)與(x，y，z)為同一點(diǎn)在兩期觀測下的坐標(biāo)；兩期觀測之間繞X，Y，Z軸的旋轉(zhuǎn)角分別為ω，φ，κ；(Δx，Δy，Δz)為平移量；m為尺度。兩期觀測間旋轉(zhuǎn)矩陣R為：

(2)

將式(1)線性化，得：

(3)

式中：(vX,vY,vZ)為殘差；(X0，Y0，Z0)為第二期坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(x，y，z)根據(jù)兩期之間轉(zhuǎn)換參數(shù)初值轉(zhuǎn)換至第一期坐標(biāo)系下坐標(biāo)。

TST模型可表示為：

(4)

式中：H表示系數(shù)矩陣；t=[dmdωdφdκdΔxdΔydΔz]T；d為位移向量。

1.2 IWST模型

由于TST模型在求解變換參數(shù)時(shí)容易受到變形點(diǎn)的影響，所以在其基礎(chǔ)上，陳永奇提出了IWST模型[7]。在求解變換參數(shù)時(shí)，以網(wǎng)點(diǎn)位移向量d的一次范數(shù)最小為準(zhǔn)則，根據(jù)位移的大小不斷調(diào)整權(quán)值，通過迭代求解最終的位移。目標(biāo)函數(shù)可表示為：

∑|di|=min(i=1,2,…,3n).

(5)

初始計(jì)算時(shí)，取權(quán)陣P(k=1)=I為單位陣，通過TST模型計(jì)算出位移向量d(k=1)。

對于第k+1次迭代，第i點(diǎn)權(quán)陣為：

(6)

為了避免權(quán)值無限大，分母上加了一個(gè)微小量ε。迭代過程如以下形式：

(7)

其中

S(k)=I-H(HTP(k)H)HTP(k).

(8)

式中：ΔX為兩期坐標(biāo)差；Q11，Q22分別為第一期和第二期平差后的協(xié)因數(shù)陣。

當(dāng)前后兩次迭代后的位移量之差小于某一閾值μ時(shí)，停止迭代，即:

|d(k+1)-d(k)|<μ.

(9)

最后，根據(jù)最終位移量，利用T檢驗(yàn)法對網(wǎng)點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。

1.3 文中方法

1.3.1RANSAC算法思想

RANSAC算法是一種通過迭代計(jì)算過程來尋求樣本中滿足某一正確模型對應(yīng)的最大內(nèi)點(diǎn)集，并利用該集合中樣本重新估算模型的過程[18]。基本過程：

1)給定一個(gè)數(shù)據(jù)集，從中隨機(jī)抽取t個(gè)樣本并計(jì)算待求參數(shù)模型初值；

2)設(shè)置閾值ε，利用求出的參數(shù)模型初值驗(yàn)證集合中剩余樣本的模型誤差是否超限。閾值范圍內(nèi)的樣本歸為內(nèi)點(diǎn)；否則，歸為外點(diǎn)；

3)統(tǒng)計(jì)內(nèi)點(diǎn)集中樣本數(shù)量，再次隨機(jī)抽取t個(gè)樣本，重復(fù)上述步驟；

4)經(jīng)過r次迭代次數(shù)后，選取迭代過程中的最大內(nèi)點(diǎn)集，判斷該集合樣本數(shù)量是否達(dá)到k值，若滿足條件，利用該集合計(jì)算參數(shù)模型并篩選內(nèi)點(diǎn)集，計(jì)算最終的模型；否則，算法失敗。

上述過程涉及到的參數(shù)根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定，代表含義如下：

t：計(jì)算模型參數(shù)所需最少樣本數(shù)量；

ε：決定一致集樣本數(shù)量多少；

k：表征正確模型對應(yīng)一致集的最少樣本數(shù)；

r：與外點(diǎn)所占樣本集比例有關(guān)，決定模型的可靠程度。

1.3.2 穩(wěn)定性分析流程

最小二乘估計(jì)是一種無偏估計(jì)，在無系統(tǒng)誤差、粗差的情況下，可得到最優(yōu)化參數(shù)估計(jì)結(jié)果，且計(jì)算過程簡便。然而，該估計(jì)方法對粗差非常敏感，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中存在較大變形點(diǎn)時(shí)，變形量極易發(fā)生偏移、轉(zhuǎn)移或分配到其他點(diǎn)的坐標(biāo)信息中，對結(jié)果造成影響。為了得到準(zhǔn)確的相似變換參數(shù)，必須將控制網(wǎng)中的變形點(diǎn)予以剔除，使其不參與變換參數(shù)的計(jì)算，通過穩(wěn)定的點(diǎn)來估計(jì)正確的轉(zhuǎn)換模型，在此基礎(chǔ)上分析網(wǎng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，求解其絕對位移量。前面已經(jīng)介紹了利用RANSAC算法提高坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換參數(shù)精度的方法，將其應(yīng)用到控制網(wǎng)的穩(wěn)定性分析中來，對TST方法進(jìn)行改進(jìn)?；具^程如下：

1)設(shè)隧道控制網(wǎng)兩期觀測誤差方程為：

(10)

采用重心基準(zhǔn)，分別求解兩期觀測坐標(biāo)X1,X2；單位權(quán)中誤差σ1,σ2；協(xié)因數(shù)陣Q11,Q22。

2)經(jīng)過平差后的兩期坐標(biāo)之間存在一定的平移、旋轉(zhuǎn)及尺度縮放關(guān)系，通過公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換的方法對各參數(shù)進(jìn)行求解，計(jì)算過程中采用RANSAC算法篩選相對穩(wěn)定點(diǎn)，具體流程見圖1。

篩選流程主要分為兩步，首先通過迭代篩選出最大內(nèi)點(diǎn)集，然后利用該內(nèi)點(diǎn)集重新估算參數(shù)模型，迭代篩選最終的穩(wěn)定點(diǎn)集。

3)利用篩選出的公共點(diǎn)求解變換參數(shù)，將所有點(diǎn)代入該參數(shù)模型，計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)的位移量。

4)通過T檢驗(yàn)法對每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。

(11)

(12)

式中：f1,f2為兩期觀測自由度。

選擇一定顯著性水平α，對網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。

Ti≤Fα(wi,f1+f2).

(13)

滿足式(3)的點(diǎn)即為穩(wěn)定點(diǎn)，反之，則為不穩(wěn)定點(diǎn)。

TST的改進(jìn)之處在于第2步求解轉(zhuǎn)換參數(shù)過程中引入了RANSAC算法，使得TST模型在應(yīng)用時(shí)具有穩(wěn)健性，通過篩選并剔除某些變形點(diǎn)，進(jìn)而提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度，使得兩期坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系更加準(zhǔn)確可靠。

2 試驗(yàn)與分析

2.1 模擬試驗(yàn)

為了驗(yàn)證文中方法的可行性，以粒子加速器隧道控制網(wǎng)為例，設(shè)計(jì)了模擬試驗(yàn)。

2.1.1 數(shù)據(jù)

在4 m×2.5 m×4 m范圍內(nèi)模擬了一組數(shù)據(jù)，

圖1 相對穩(wěn)定點(diǎn)篩選流程

包含S1～S6共6個(gè)測站以及A1～A16共16個(gè)控制點(diǎn)，為了使測量條件更加貼近實(shí)際，點(diǎn)位分布均勻且測站完全在控制點(diǎn)所包含的空間內(nèi)部，網(wǎng)型及試驗(yàn)場景如圖2所示。

圖2 試驗(yàn)場景

理論數(shù)據(jù)見表1，并在各點(diǎn)的坐標(biāo)分量上加入方向、大小不同的位移量，作為第二期理論數(shù)據(jù)。

根據(jù)表1，對A1,A4,A7,A9,A11,A13,A15共7個(gè)點(diǎn)的某一坐標(biāo)分量加入了位移，考慮到5 m范圍內(nèi)，點(diǎn)位測量精度不超過0.05 mm，所以加入的位移量最小為0.05 mm，最大為3 mm，變形點(diǎn)占比43.75%。兩期數(shù)據(jù)的理論坐標(biāo)設(shè)計(jì)完成后，按照測角精度±(15+6×10-6·D)μm，測距精度為±0.5·Dμm/m的標(biāo)稱精度向數(shù)據(jù)添加隨機(jī)誤差，作為兩期對比試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2.1.2 試驗(yàn)與分析

分別采用TST模型、IWST模型及文中方法對兩期模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分析控制網(wǎng)的變形及穩(wěn)定情況。計(jì)算過程中，取顯著性水平α=0.05，在對各點(diǎn)進(jìn)行T檢驗(yàn)時(shí)，F(xiàn)0.05(3,420)=2.626 1，3種方法分析結(jié)果見表2。

表1 網(wǎng)點(diǎn)及測站設(shè)計(jì)坐標(biāo) mm

由表2可知，在16個(gè)點(diǎn)組成的控制網(wǎng)中，TST模型受到變形點(diǎn)的影響，最終穩(wěn)定性分析效果較差，準(zhǔn)確率達(dá)到50%。結(jié)合RANSAC算法與TST模型，最終結(jié)果接近實(shí)際情況，分析變形點(diǎn)結(jié)果準(zhǔn)確率接近90%，誤判了A5點(diǎn)。對于IWST模型，誤判了兩個(gè)點(diǎn)，其分析結(jié)果劣于文中方法。為了檢驗(yàn)3種方法求解變換參數(shù)的準(zhǔn)確性，對比其效果優(yōu)劣，將3種方法計(jì)算的變形點(diǎn)位移同理論值進(jìn)行對比，見表3。

表2 不同模型網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性分析結(jié)果對比

表3 變形點(diǎn)位移量與理論值對比 mm

從表3可以發(fā)現(xiàn)，從整體效果來看，文中方法所計(jì)算的變形點(diǎn)位移量最接近真實(shí)變形情況。對于所有變形點(diǎn)，文中方法計(jì)算的A1點(diǎn)位移與理論值相差最大，達(dá)到0.025 mm，分析其原因，可能是在模擬數(shù)據(jù)時(shí)，添加的隨機(jī)誤差最大不超過0.05 mm，而在該點(diǎn)上隨機(jī)誤差大小接近0.025 mm，文中方法雖然是一種穩(wěn)健估計(jì)方法，但作用對象是平差后的點(diǎn)坐標(biāo)，對于平差后坐標(biāo)本身所帶有的誤差并沒有消除作用。然而，剩余變形點(diǎn)變形量均與理論變形值相差甚小。

2.2 實(shí)例分析

2.2.1 數(shù)據(jù)來源

文中采用2017年與2019年的SSRF復(fù)測數(shù)據(jù)，對兩期控制網(wǎng)同名點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。采用重心基準(zhǔn)，分別對兩期觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行平差，結(jié)果見表4。

表4 平差結(jié)果

表4中自由度表示多余觀測個(gè)數(shù)。經(jīng)查詢，兩期測量數(shù)據(jù)中同名點(diǎn)數(shù)量共65個(gè)，平差后的同名點(diǎn)分布如圖3所示。

圖3 同名點(diǎn)分布圖

從圖3可以看出，同名點(diǎn)為儲存環(huán)部分網(wǎng)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為基礎(chǔ)，采用不同方法分析其穩(wěn)定性。

2.2.2 試驗(yàn)與分析

利用TST模型、IWST模型及文中方法對65個(gè)同名點(diǎn)進(jìn)行處理。TST模型和IWST模型直接對所有點(diǎn)進(jìn)行處理，文中方法處理的基本過程為：①篩選同名點(diǎn)中部分相對穩(wěn)定點(diǎn)，將距離閾值設(shè)為0.3 mm，最終得到35個(gè)相對穩(wěn)定點(diǎn)；②利用這些點(diǎn)計(jì)算變換參數(shù)；③計(jì)算剩余點(diǎn)在此變換參數(shù)下的位移量。計(jì)算時(shí)，取顯著性水平α=0.05，3種方法分析結(jié)果見表5。

表5 不同方法穩(wěn)定性分析結(jié)果

從表5可以發(fā)現(xiàn)，3種方法分析結(jié)果略有不同。3種方法均得出BD512點(diǎn)位變形點(diǎn)，且位移量基本相等，在3 mm左右；相比IWST模型，TST模型及文中方法分析結(jié)果中，均多出一個(gè)變形點(diǎn)，且不是同一點(diǎn)，其位移量較小。3種方案處理后的65個(gè)同名點(diǎn)變形量如圖4所示。

圖4 不同模型所得變形量

從圖4直觀地發(fā)現(xiàn)，3種方案處理結(jié)果均發(fā)現(xiàn)第42號點(diǎn)(BD512)發(fā)生了變形，且十分明顯，而其余點(diǎn)變形相對較小。除BD512點(diǎn)外，1號點(diǎn)(BD303)變形最大，在2.5 mm左右，向后依次減小，趨于平穩(wěn)，3種方法所得結(jié)果一致，說明控制網(wǎng)各網(wǎng)點(diǎn)之間相對穩(wěn)定。為了進(jìn)一步驗(yàn)證3種方法處理結(jié)果的正確性，利用SA軟件對兩期數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將兩期數(shù)據(jù)中的同名點(diǎn)進(jìn)行最佳擬合變換，得到的變形量見圖5。

圖5 最佳擬合變換

從圖5中可以看出，第42號點(diǎn)發(fā)生了較大變形，與以上3種方法處理結(jié)果一致。綜合幾種方法，該點(diǎn)可能發(fā)生變形，需要到實(shí)地勘測變形情況，確定其是否真正發(fā)生變形，對該點(diǎn)坐標(biāo)信息進(jìn)行更新并分析變形原因。

模擬試驗(yàn)雖然初步驗(yàn)證文中方法的有效性，但由于條件受限，加上TST模型及文中方法分析結(jié)果中所多出的變形點(diǎn)，對于實(shí)例分析部分，并未對相應(yīng)變形點(diǎn)進(jìn)行實(shí)地考察，不能確定點(diǎn)位是否真正發(fā)生了變形，只能從數(shù)據(jù)分析結(jié)果來判斷，是文中的不足之處。

3 結(jié)束語

以粒子加速器隧道控制網(wǎng)為例，通過模擬試驗(yàn)與實(shí)例分析，驗(yàn)證文中方法在隧道控制網(wǎng)穩(wěn)定性分析中有效性(亦可推廣至其他場景)，并得出以下3點(diǎn)結(jié)論。

1)結(jié)合RANSAC算法與TST模型，使得該模型在計(jì)算相似變換參數(shù)時(shí)具備穩(wěn)健性，能夠避免較大變形點(diǎn)對變換參數(shù)的影響；

2)同TST模型及IWST模型相比，文中方法穩(wěn)定點(diǎn)判別準(zhǔn)確率最高，且計(jì)算得到的位移量與實(shí)際情況更加相符；

3)文中方法在TST模型基礎(chǔ)上提高了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度和可靠性，在判斷控制網(wǎng)穩(wěn)定性方面更具可行性。