彭羅斯：當(dāng)代的達·芬奇

李新洲 奚萍

凡夫俗子常常發(fā)問，數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家誰更偉大？答案是眾說紛紜，不一而足。人們通常用是否獲得諾貝爾獎來衡量一位科學(xué)家的成就，遺憾的是，諾貝爾獎并沒有設(shè)立數(shù)學(xué)獎。不過，倘若你的數(shù)學(xué)與彭羅斯一樣好的話，就可以拿兩次諾貝爾獎，一次幫別人拿，另一次自己拿。

貼 磚 玩 家

非周期貼磚是指沒有平移對稱性的貼磚。彭羅斯很早就發(fā)現(xiàn)，用五邊形、五角星形、菱形和船形4種形狀的地磚組合，就可以實現(xiàn)非周期性平鋪。1974年，彭羅斯發(fā)現(xiàn)用兩種菱形地磚就可以等價地實現(xiàn)這種非周期性的平鋪，現(xiàn)在這種地磚被命名為彭羅斯地磚。2013年，牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系大樓門口，已用彭羅斯地磚鋪設(shè)，作為一種對彭羅斯數(shù)學(xué)造詣的崇高敬意。

1982年，謝赫特曼（Daniel Schechtman）發(fā)現(xiàn)鈥鎂鋅合金中存在五邊形結(jié)構(gòu)，它和彭羅斯地磚一樣，沒有平移不變性，卻有旋轉(zhuǎn)2π/5不變性。當(dāng)時在學(xué)術(shù)界發(fā)生了重大爭議，這是一種特殊的晶體結(jié)構(gòu)，還是發(fā)生了實驗錯誤呢？后來發(fā)現(xiàn)，如果原子按照彭羅斯地磚那樣排列，理論計算出來的X射線衍射圖樣就與實驗完全一致。于是，準(zhǔn)晶體被發(fā)現(xiàn)了，謝赫特曼獲得了2011年度的諾貝爾化學(xué)獎。

彭羅斯還有很多諸如貼磚這樣看似游戲的工作。譬如想象物理上不可能實現(xiàn)的事物的能力，是人類意識的一個奇妙特性。利用這種想象，人們可以產(chǎn)生意識上的共鳴、觀念上的激發(fā)。1961年，彭羅斯和他的父親（Lionel Penrose）一起構(gòu)思了一種永無止境的樓梯，這就是著名的彭羅斯三角形。多才多藝的彭羅斯是我們時代的達·芬奇，彭羅斯的貢獻實在太多了。以彭羅斯命名的創(chuàng)新實在太多了，彭羅斯定理、彭羅斯猜想、彭羅斯廣義逆矩陣、彭羅斯圖、彭羅斯方程、彭羅斯旗、彭羅斯扭量……不勝枚舉。下面先從奇點定理說起吧！

奇 點 定 理

彭羅斯是一位數(shù)學(xué)家，原先的專長是代數(shù)幾何學(xué)。在1950年代，他受到了劍橋大學(xué)的邦迪（Hermann Bondi）和夏馬（Dennis Sciama）的影響，激起了他對廣義相對論的興趣。正是他的純數(shù)學(xué)背景，他研究的方法與他人迥然不同。

直到1960年代，廣義相對論的研究方法只是局域技術(shù)：愛因斯坦場方程描繪了某個事件處，物質(zhì)的能動張量如何確定幾何，而幾何又告知物質(zhì)如何運動。換句話說，這是一種局域的物理學(xué)，通過時間上的局域積分得到愛因斯坦場方程的解。非引力的物理定律，可以在時空的各個事件處的局域洛倫茲參考系中，利用等效原理得出。然而，從1963年以來，彭羅斯及其合作者對黑洞和奇性的研究，揭示出的整體性質(zhì)和整體定律，簡潔而優(yōu)美，能與愛因斯坦的等效原理媲美。霍金指出，“彭羅斯首先發(fā)現(xiàn)不必去解方程，就能發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律”。

在漸近平坦時空中進行計算時，需要考慮在無窮遠處物理場的漸近形式。倘若要知道超新星爆發(fā)時，引力波和電磁波會帶走多少能量的問題，僅僅考慮空間無窮遠的漸近形式是不夠的，還必須考慮“未來無窮遠”處度規(guī)的漸近形式。1964年，彭羅斯利用“共形變換”技術(shù)，將“無窮遠”變到了有限半徑處，漸近計算變成了有限處的計算。彭羅斯將漸近平坦時空中的“無窮遠”分成了5類：

引力坍縮的終點是什么？球?qū)ΨQ坍縮的終點是奇點，那么不對稱坍縮是否可以避免奇點呢？愛因斯坦認(rèn)為不對稱性可以避免奇點，從而他不相信存在黑洞。但是，彭羅斯、霍金和杰羅奇（R. P. Geroch）證明了奇點定理。不論對稱與否，奇點是一種非常普遍的現(xiàn)象，宇宙中必定存在著黑洞。1965年，彭羅斯給出了捕獲面的概念，捕獲面不再限定于2維球面，而是具有捕獲光線的任意閉曲面。1968年，杰羅奇將奇點定義精確化，時空流形不能擴展到奇點之外。1969年，霍金和彭羅斯發(fā)表了他們的奇點定理：在廣義相對論的框架內(nèi)，如果時空還滿足4個自然的物理條件，那么時空必定含有奇點。

戰(zhàn) 旗 獵 獵

霍金說，彭羅斯在廣義相對論中引入了旋量和整體技術(shù)的現(xiàn)代概念。旋量在相對論中的應(yīng)用，首先產(chǎn)生于對空間轉(zhuǎn)動的分析，接著是對時空轉(zhuǎn)動的分析?？紤]一個立方體，將它繞一個軸轉(zhuǎn)動π/2，再繞另一個軸轉(zhuǎn)動π/2。于是，立方體就從“初”指向轉(zhuǎn)到了“終”指向。轉(zhuǎn)動組合的規(guī)律是什么呢？倘若用矢量描述旋量，顯然是錯誤的。因為使用矢量合成法則，得到的結(jié)果是：合成的矢量在兩個矢量組成的平面上；合成矢量的大小為π/。然而，將立方體從初指向轉(zhuǎn)到終指向的單一轉(zhuǎn)動是：轉(zhuǎn)軸從立方體中心指向一個頂角；轉(zhuǎn)動的角度為2π/3。

這就是今天稱為自旋矩陣的數(shù)學(xué)客體，用來描述旋量的變化。

作為一種幾何客體，矢量可以形象地畫成一個箭頭。旋量也是一種幾何客體，如何才能形象化地表示旋量呢？ 這似乎太難了，超越了常人的想象力，但是彭羅斯做到了這一點。如果在地球上某處O，向月球的阿里斯塔克斯環(huán)形山的中心P發(fā)射光脈沖，并設(shè)計激光產(chǎn)生的不是一個光斑，而是一個箭頭。彭羅斯將零矢量O P稱為旗桿，亮箭頭稱為旗。于是，旋量就由下述幾何量的三位一體構(gòu)成：零旗桿、旗、旗與周圍事物之間的指向—纏繞關(guān)系。通過重復(fù)發(fā)射激光脈沖，并在兩次發(fā)射之間“旋轉(zhuǎn)”旗，當(dāng)旗旋轉(zhuǎn)2π回到原來方向時，旋量反號。旗繞旗桿4nπ時，旋量恢復(fù)到原來的值。

當(dāng)人們研究引力對費米子的影響時，彎曲時空中的旋量分析是須臾不可離開的數(shù)學(xué)工具。引力場中費米子束縛態(tài)的分析，需要求解史瓦西時空的狄拉克方程，也就必須用到處理彎曲時空旋量的紐曼—彭羅斯方程。三位一體的旋量旗在形象地描繪更復(fù)雜的幾何客體扭量時，起到了重要的作用。

扭 量 之 父

量子論的基本方程是復(fù)形式的微分方程，彭羅斯認(rèn)為時空結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)也應(yīng)當(dāng)是復(fù)的。學(xué)過復(fù)分析的人，一定知道包括無窮遠點的整個復(fù)平面，可以用黎曼球面表述。為了建立復(fù)的時空結(jié)構(gòu)，彭羅斯將旋量發(fā)展成扭量概念，他創(chuàng)建了扭量理論。

位于時空某處的一位觀測者，觀測一顆恒星，他在天球上畫出了恒星的方位角。倘若第二位觀測者在相同時刻穿過同一點，如果兩人之間有一個相對速度，那么由于光行差，第二位觀測者會將這顆星畫在不同的方位上。黎曼球面上的不同點，可以用麥比烏斯變換聯(lián)系起來。通過時空點的光線空間，自然構(gòu)成了一個黎曼球面。聯(lián)系不同速度觀測者物理的正洛倫茲群，可以用黎曼球面的自同構(gòu)群實現(xiàn)。

彭羅斯將光線看成比時空點更為基本的客體，并將這種概念推廣到整個時空。于是，扭量空間（光線空間）是比時空更為基本的空間，時空成了一個從屬的概念。時空中的光線是扭量空間的一個點，而時空點則用光線的集合來表示?；蛘哒f，時空點在扭量空間中變成了一個黎曼球面。

這樣的扭量空間是實5維的，而復(fù)空間必須是實偶數(shù)維的。彭羅斯認(rèn)為還必須考慮到光子的能量和螺旋度，于是采用了3維復(fù)投影空間CP3，這就是投影扭量空間（PT）。它的5維子空間是PN，而PN將PT分成了左手螺旋度和右手螺旋度的兩個部分PT-和PT+。

時空點用4個實數(shù)描述，而投影扭量空間的點，是用4個復(fù)數(shù)比Zα給出的。利用兩個復(fù)旋量ω和π，彭羅斯表述了扭量。利用彭羅斯旗，可以形象地畫出扭量的幾何圖形。如果將定義在PN上的扭量函數(shù)延拓到PT+，它就具有正頻；延拓到PT-，便具有負頻。這正是推廣量子化場所需要的概念，正頻部分沿時間前進方向傳播，負頻部分沿時間后退方向傳播。正頻部分也就是正能量部分構(gòu)成的傳播子，這樣就允許人們在扭量空間中開展量子物理研究。沿著這條道路，物理學(xué)家們進一步發(fā)展出扭量圖，這是類似于時空費曼圖的描寫相互作用的方案。

扭量理論是共形不變的，所以對于共形平坦的彎曲時空，同樣可以建立扭量空間。彭羅斯不僅研究了彎曲時空的扭量理論，還進一步研究了扭量宇宙學(xué)。扭量空間是復(fù)4維的，彭羅斯對存在額外維數(shù)的10維超弦理論極不滿意，彭羅斯是一位超弦理論的主要批評者。2003年，在一次與威滕（Edward Witten）的邂逅中，彭羅斯曾擔(dān)心兩人會發(fā)生激烈爭論，想不到的是，這位弦論大師告訴他，正在研究扭量與弦論如何相結(jié)合的理論。

量 子 測 量

玻爾、海森伯和泡利在哥本哈根1927年的會議上，提出了量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)詮釋。它包括不確定原理、波粒二象性、概率解釋、本征值認(rèn)同測量值。1932年，馮·諾依曼為哥本哈根詮釋添加了最后要素：波函數(shù)坍縮。但是，愛因斯坦、薛定諤和德布羅意等物理學(xué)家并未接受這種詮釋，波函數(shù)從疊加態(tài)坍縮到本征態(tài)是瞬時完成的，并沒有任何物理機制。

維格納（Eugene Wigner）是哥本哈根詮釋的支持者。他設(shè)計了一個被人稱作維格納之友的理想實驗。他請一位朋友去核實一個粒子物理實驗結(jié)果，它在前一天已被記錄。這位朋友及時將結(jié)果報告給了維格納。于是產(chǎn)生了這樣的問題，這個粒子事件是用波函數(shù)描述的，那么波函數(shù)是在何時坍縮的呢？倘若維格納認(rèn)為坍縮發(fā)生在向他報告時刻，那么他成了一個十足的唯我論者。他當(dāng)然不會這樣可笑。難道是他朋友的意識使得波函數(shù)坍縮？人類有什么異稟之處，讓我們有別于物理世界的其余部分，服從不同的定律？在人類出現(xiàn)之前，世界一直處在不確定的疊加態(tài)中嗎？坍縮是一種離散過程，意識是一種連續(xù)過程，波函數(shù)坍縮真能與連續(xù)的意識相關(guān)？

哥本哈根的波函數(shù)坍縮是一種瞬時效應(yīng)，不存在任何動力學(xué)機制，引起了愛因斯坦為代表的眾多物理學(xué)家的不滿。彭羅斯的解決方案是力學(xué)的，他將坍縮與一個適當(dāng)程度的復(fù)雜性聯(lián)系起來，復(fù)雜度可用粒子數(shù)或者總質(zhì)量描述。他的方案要求在薛定諤方程中，增加一個新的項，僅當(dāng)達到一定條件時，附加項才起作用。彭羅斯建議，一旦卷入波函數(shù)的粒子總質(zhì)量接近普朗克質(zhì)量時，波函數(shù)就會自發(fā)坍縮。普朗克質(zhì)量大約是10-5克，對于原子尺度，這很大；對于人的尺度，卻又很小。

共 形 循 環(huán)

彭羅斯是一位共形大師，彭羅斯圖、扭量都是基于共形變換的。更重要的是，他提出了共形循環(huán)宇宙學(xué)（CCC），從大爆炸開始的宇宙終于一個加速膨脹的時空，形成一個世代；每個世代的終結(jié)又是下一個世代的大爆炸開始。CCC描繪了一個無限的宇宙循環(huán)。我們宇宙的大爆炸是前一個世紀(jì)的遙遠未來的延續(xù)。CCC認(rèn)為我們的宇宙不會永遠膨脹，更不會發(fā)生大撕裂，它會在未來某一天停止膨脹，重新回到坍縮。

作為初始奇點的大爆炸，與終端奇點的黑洞，兩者都可以用共形不變的外爾曲率張量來描述，從而外爾張量成為描述引力熵的幾何量。大爆炸的共形擴張將無限大的密度和溫度降到有限值，而共形收縮又會將無限低的密度和溫度提高到有限值。于是，兩者在光滑邊界上過渡，宇宙就從前一個世代進入到現(xiàn)今的世代。

宇宙在循環(huán)，彭羅斯的證據(jù)是宇宙微波背景輻射中存在霍金點。彭羅斯和他的合作者利用普朗克衛(wèi)星的觀測結(jié)果，找到了大約30個霍金點。彭羅斯等人指出，根據(jù)CCC，這些點攜帶了上一個世代宇宙坍縮時，黑洞蒸發(fā)后留下的遺跡。由此證明我們所在的世代之前，已經(jīng)存在過另一個世代。

戰(zhàn) 斗 友 情

彭羅斯比霍金年長11歲，曾擔(dān)任霍金博士答辯的評委。霍金從彭羅斯那里學(xué)到了整體技術(shù)，用它證明了黑洞力學(xué)的第二定律，在黑洞過程中，涉及的所有黑洞表面積不會減小。他們倆還一起證明了奇點定理?；艚鹪f過：“正是彭羅斯的第一條奇性定理，引導(dǎo)我去研究因果性結(jié)構(gòu)，激發(fā)出我對奇點和黑洞經(jīng)典研究的靈感。”

不過，霍金和彭羅斯的物理學(xué)觀點，并非完全一致。1994年，兩人在牛頓數(shù)學(xué)研究所進行了一場大辯論。在某種意義上說，這是當(dāng)年玻爾和愛因斯坦辯論的繼續(xù)。盡管辯論內(nèi)容變得更深入復(fù)雜，但是論證無法與哲學(xué)觀點分開?；艚鹫f，彭羅斯是柏拉圖主義者，他自己是實證主義者?；艚鹚P(guān)心的僅僅是理論預(yù)言能否與測量結(jié)果一致，而彭羅斯擔(dān)憂的是既死又活的薛定諤貓的合理性。彭羅斯說，不論“實在”是什么，人們必須解釋自己是如何感知世界的，人們必須解決為何感覺到的貓非死即活，不會是既死又活的疊加態(tài)貓。彭羅斯還對霍金在廣義相對論中使用“維克轉(zhuǎn)動”不滿，認(rèn)為這與量子場論中時間軸從實軸轉(zhuǎn)動到虛軸是兩回事?？茖W(xué)史上的合作與爭論原本是司空見慣尋常事。但是，像根澤爾和蓋茨這樣的歡喜冤家并不多見，他們激烈爭論，卻以同一個課題獲得諾貝爾獎確實罕見。1952年出生的根澤爾，長期以來利用歐洲南方天文臺的望遠鏡觀測銀河系中心附近的恒星軌道運動。根澤爾團隊首先發(fā)現(xiàn)牛頓力學(xué)無法解釋這些軌道，必須要使用廣義相對論才行。也就是說，軌道發(fā)生了史瓦西進動，從而推出了黑洞的存在性。

與根澤爾相比，蓋茨是一位年青一代的女天文學(xué)家，從1995年開始，蓋茨開始投入到黑洞研究，運用新技術(shù)手段是她成功的關(guān)鍵。蓋茨團隊開發(fā)了凱克天文臺望遠鏡的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)（AO系統(tǒng)），在2005年首先拍攝到第一張激光引導(dǎo)AO銀河系中心照片，使得清晰度極大提高。兩個團隊對所觀測到的現(xiàn)象，常常會發(fā)生針鋒相對的爭論。用蓋茨的話來說，“沒有什么比競賽更能讓人進步了！” 根澤爾和蓋茨終于一起分享了2020年度物理學(xué)獎的另一半。

相對論和量子論是純科學(xué)成功的范例，將20世紀(jì)塑造成了一個象征著科學(xué)的世紀(jì)，極大地推動了相關(guān)的技術(shù)革命，至今還影響著我們的生活，21世紀(jì)的諾貝爾物理學(xué)獎大多與這兩種理論相關(guān)。多才多藝如達·芬奇的彭羅斯，他的研究為好奇心所驅(qū)動，并不講究實際應(yīng)用。彭羅斯的研究希望理解人類在宇宙中的位置，理解諸如黑洞那樣的奧秘。在眾多物理學(xué)家、天文學(xué)家的合作下，人類終于揭開了黑洞的神秘面紗。彭羅斯的獨創(chuàng)性太強了，從而有人懷疑他是個離經(jīng)叛道的人，對此他回答說：“對于基礎(chǔ)物理學(xué)，我在大多數(shù)方面是相當(dāng)保守的，與我所認(rèn)識的大多數(shù)想在科學(xué)前沿獲得進步的人相比，我更愿意接受傳統(tǒng)智慧。”正是這種接受傳統(tǒng)智慧并對宇宙充滿好奇的品質(zhì)，使得彭羅斯、根澤爾和蓋茨終于取得了成功，不是嗎？

[1]Penrose R，Rindler W. Spinor and twistor methods in spacetime geometry， Vol 2. Cambridge：Cambridge University Press， 1986.

[2]Penrose R. Cycles of time. London：The Bodley Head Ltd.， 2010.

[3]Penrose R. Gravitational collapse and spacetime singularities. Physical Review Letters， 1965， 14（3）： 57.

[4]An D， Meissner K A， Nurowski P ， et al. Apparent evidence for Hawking points in the CMB sky， Monthly Notices of the Royal Astronomical Society， 2020， 495 （3）： 3403.

[5]李新洲. 扭量理論. 自然雜志，1984（7）： 9.

[6]李新洲.超越愛因斯坦. 科學(xué)，2015，67（6）：15.

[7]Hao J G， Li X Z. Phantom cosmic dynamics： Tracking attractor and cosmic doomsday. Physical Review D， 2004， 70（4）： 043529.

[8]Li X Z，Zhang J Z. Bound states of a fermion and a Dirac dyon in Robertson-Walker metric. Journal of Physics A， 1993， 26（17）：4451.

關(guān)鍵詞：彭羅斯 彭羅斯階梯 奇點理論 ■