關(guān)節(jié)鉸柔性機械系統(tǒng)動力學研究

朱慧琴

摘要：討論了柔性關(guān)節(jié)鉸機械系統(tǒng)動力學遞推組集建模問題。利用Wittenberg的關(guān)聯(lián)矩陣對開環(huán)拓撲樹結(jié)構(gòu)進行了柔性關(guān)節(jié)鉸運動學遞推組集建模，采用連體浮動坐標系對柔性關(guān)節(jié)鉸運動進行分解，用部件模態(tài)法對柔性關(guān)節(jié)鉸變形進行離散，建立了柔性關(guān)節(jié)鉸系統(tǒng)運動學遞推組集建模的數(shù)學描述方法;推導(dǎo)了柔性轉(zhuǎn)動鉸系統(tǒng)運動學方程。

關(guān)鍵詞：柔性關(guān)節(jié)鉸 柔性機械系統(tǒng)動力學 動力分析

1.前言

復(fù)雜空間機械臂的物理模型是受控多體系統(tǒng)?？紤]到現(xiàn)代機構(gòu)的構(gòu)型愈來愈大及其高速運轉(zhuǎn)，其組成部件及關(guān)節(jié)必須視為柔性體。建立柔性體系統(tǒng)的程式化、便于計算機自動實現(xiàn)的數(shù)學模型是機械系統(tǒng)動力學數(shù)字仿真的基礎(chǔ)。從理論上講，根據(jù)力學基本原理推導(dǎo)系統(tǒng)離散的仿真數(shù)學模型并無太大困難，只是比較繁瑣。近幾十年來，國內(nèi)外許多學者已給出多種形式基本類同的數(shù)學模型。然而，數(shù)學模型相當復(fù)雜，數(shù)值計算呈病態(tài)，仿真計算慢是長期困惑著力學工作者的難題。

近幾十年來，多體系統(tǒng)動力學迅速發(fā)展，成為應(yīng)用力學中發(fā)展最快的領(lǐng)域之一。一方面，多體系統(tǒng)正越來越多地用來作為諸如機器人、機構(gòu)、鏈系、纜系、空間結(jié)構(gòu)和生物動力學系統(tǒng)等實際系統(tǒng)的模型，另一方面，對多體系統(tǒng)動力學的研究活動已經(jīng)促進了許多子領(lǐng)域的研究，當前最感興趣的多體動力學研究領(lǐng)域是把柔性效應(yīng)并人動力學控制方程中去【1-3】。對于柔性多體系統(tǒng)，特別是由小變形物體組成的系統(tǒng)運動，大多采用相對描述的方法，引進浮動坐標系來分解系統(tǒng)部件的運動，如節(jié)點切向坐標系、割線 坐標系、或Trsserand坐標系和Bucken坐標等等。彈性體相對浮動坐標系的離散，通常有有限元法、部件模態(tài)法等。后者是建立在現(xiàn)代結(jié)構(gòu)振動分析領(lǐng)域內(nèi)動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法，它大大降低了動力學方程的廣義坐標數(shù)，且可利用靜力修正模態(tài)收回模態(tài)截斷誤差，提高計算精度。在部件有大變形時，則需考慮采用有限變形的理論進行系統(tǒng)建模。對多體系統(tǒng)的動力學分析，目前已形成了Kane方程、 Roberson/Wittenburg體系、變分方法，最大數(shù)量坐標法，旋量矩陣法及動力學方程單向遞推法等多種方法，推導(dǎo)方程則可以從 Largrange 方程、虛功原理、虛功率原理、Gibbs-Appells方程和牛頓-Euler方程等出發(fā)，但哪些方法最好仍存在爭論。在描述多體結(jié)構(gòu)的方式上，有Wittenburg的關(guān)聯(lián)矩陣，通路矩陣，Huston的內(nèi)接剛體數(shù)組和Kim， Haug的遞推方程，Shabana等人的遞推投影算法 等。對于非樹或約束多體系統(tǒng)、處理約束方程的方法也有偽逆解法、正交補法、奇異值分解法和零/切空間法等等。多體系統(tǒng)動力學 分析中的這些方法的優(yōu)劣很難評價，各有長短，需要不斷研究與探索。由于多體系統(tǒng)動力學方程相當繁雜，呈強非線性，多體系統(tǒng)，特別是柔性系統(tǒng)，其數(shù)值計算特性一般都不能令人滿意。

2.轉(zhuǎn)動鉸連接系統(tǒng)的運動學

運動學的研究先從樹系統(tǒng)開始，因為樹系統(tǒng)具有最簡單的數(shù)學表達形式，而且非樹系統(tǒng)可使用切割鉸或者物體切割方法簡化為派生樹系統(tǒng)來進行處理。首先討論轉(zhuǎn)動鉸聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)，這里鉸點相對鄰接物體的位置不變而最有利于分析研究。

2.1物體的變形描述

考慮彈性系統(tǒng)的第i個物體，在彈性小變形內(nèi)，可以借助有限元方法與模態(tài)綜合理論，它的彈性變形up可用彈性模態(tài)基Ψi 與模態(tài)坐標向量ηi表示為：

2.2彈性體的運動描述

根據(jù)彈性體Bi上任一點P的有限元節(jié)點P的矢徑的表達式（2.6），再考慮式（2.2）與（2.3），得到P點在慣性坐標系下的速度與角速度為

這里Vci與ωci分別為彈性體Bi的質(zhì)心速度與相對質(zhì)心的角速度，彈性體Bi上的節(jié)點P的加速度與角加速度可分別由公式（2.7）與（2.8）求導(dǎo)獲得：

這里aci與aci分別為彈性體Bi的質(zhì)心加速度與相對質(zhì)心的角加速度。

3.物體的相對運動遞推關(guān)系

3.1物體絕對角速度與角加速度

現(xiàn)在考慮系統(tǒng)中任意物體Bi-（a）相對慣性參考系的絕對角速度與角加速度。系統(tǒng)中任意物體Bi-（a）相對慣性參考系的絕對角速度ωi應(yīng)等于Bo的角速度ωo以及沿物體Bo與物體Bi-（a）的路上各對鄰接物體的相對角速度之和，引入圖論方法，考慮沿物體 B。與物體Bi-（a）的路上的通路矩陣Tji，則任意物體Bi-（a）相對慣性參考系的絕對角速度可寫作

3.2物體的質(zhì)心速度與加速度

考慮鉸在物體上的分布情況：在樹系統(tǒng)內(nèi)部，任意物體Bo所關(guān)聯(lián)的全部鉸中，只有一個特殊鉸與Bo連通而成為內(nèi)鉸接。但用規(guī)則標號時，內(nèi)連接的與物體的序號相同，記作Oj，除內(nèi)接鉸以外的其他鉸均通過與Bj連通的外側(cè)物體為外鉸鏈。

結(jié)束語

利用Witenberg的關(guān)聯(lián)矩陣對開環(huán)拓撲樹結(jié)構(gòu)進行了柔性關(guān)節(jié)鉸運動學遞推組集建模，采用連體浮動坐標系對柔性關(guān)節(jié)鉸 運動進行分解，用部件模態(tài)法對柔性關(guān)節(jié)校變形進行離散，取得了如下成果：1，建立了柔性關(guān)節(jié)鉸系統(tǒng)運動學遞推組集建模的數(shù)學描述方法。2推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)鉸系統(tǒng)運動學方程。3.推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)鉸系統(tǒng)動力學方程。

參考文獻：

[1JHuston R L. Multibody dynamic -modeling and analysis methods[J力學進展，1992，22（3）：426-432

[2]ShabanaA A Dynamics of multibody systems. New York： Johu Wiley & Sons， 1989

[3]陳濱.柔性多體系統(tǒng)（FMS）動力學研究的若干問題.一般力學（動力學、振動與控制）最新進展[M]北京;科學出版社，1994.91-97