分?jǐn)?shù)加減法新論

羅枝琴

摘要：分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)是通分，即是說把它們化成同分母分?jǐn)?shù)，按照同分母分?jǐn)?shù)相加減的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。在一般的分?jǐn)?shù)加減法中，如果我們要做分?jǐn)?shù)加減法，第一步就是要找到兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把它們化成同分母分?jǐn)?shù)，再相加或者相減。新計(jì)算方法避開了通分帶來的繁瑣過程，能更加簡便、快速地得到正確的計(jì)算結(jié)果。

關(guān)鍵詞：整數(shù);分母相乘;分子分母交叉相乘相加減;分母不變。

一、分?jǐn)?shù)減法。

分?jǐn)?shù)減法有兩種情況，一種是分母是互質(zhì)數(shù)，另一種分母不是互質(zhì)數(shù)。

（一）分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)減法。分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)減法是指在兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的減法中，它們的分母互為質(zhì)數(shù)。

1、①3/4-1/5

在①式中，前一個(gè)分?jǐn)?shù)3/4的分母“4”和后一個(gè)分?jǐn)?shù)1/5的分母“5”是互質(zhì)數(shù)。

新的計(jì)算方法是：3/4-1/5=（3×5-1×4）/（4×5）=（15-4）/20=11/20

②1/3-2/7

在②式中，前一個(gè)分?jǐn)?shù)1/3的分母“3”和后一個(gè)分?jǐn)?shù)2/7的分母“7”是互質(zhì)數(shù)。

新的計(jì)算方法是：1/3-2/7=（1×7-2×3）/（3×7）=（7-6）/21=1/21

例1的①式的算法：“分子分母交叉相乘”指的是前一個(gè)分?jǐn)?shù)“3/4”的分子“3”乘以后一個(gè)分?jǐn)?shù)“1/5”的分母“5”，即：3×5;后一個(gè)分?jǐn)?shù)“1/5”的分子“1”乘以前一個(gè)分?jǐn)?shù)“3/4”的分母“4”，即：1×4。因?yàn)樾W(xué)還沒把負(fù)分?jǐn)?shù)作為教學(xué)重點(diǎn)，因此我們在做此類題的時(shí)候通常用前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子乘以后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母做整個(gè)分子的被減數(shù)（3×5）。后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子乘以前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母做減數(shù)（1×4）。整個(gè)式子表達(dá)為：3×5-1×4=11;因?yàn)榍耙粋€(gè)分?jǐn)?shù)的分母“4”與后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母“5”互為質(zhì)數(shù)，因此它們的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，即：4×5=20;“20”即是新算法的分母，“11”即是新算法的分子。例1的②式算法與①式算法相同。

（二）分母是非互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)減法。分母是非互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)減法是指在兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的減法中，它們的分母不是互質(zhì)數(shù)。

2、4/6-3/9

在這個(gè)算式中，前一個(gè)分?jǐn)?shù)4/6的分母“6”與后一個(gè)分?jǐn)?shù)3/9的分母“9”并非互質(zhì)數(shù)。

新的計(jì)算方法是：4/6-3/9=（4×9-3×6）/（6×9）=（36-18）/54=18/54=1/3

需要注意的是例1的計(jì)算結(jié)果中，分子分母已經(jīng)是互質(zhì)數(shù)，故不用化簡;例2的計(jì)算結(jié)果中分子分母還有其它公因數(shù)，因此需要化成最簡分?jǐn)?shù)。

二、分?jǐn)?shù)加法。

分?jǐn)?shù)加法有兩種情況，一種是分母是互質(zhì)數(shù)，另一種分母不是互質(zhì)數(shù)。

（一）分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)加法。分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)加法是指在兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的加法中，它們的分母互為質(zhì)數(shù)。

3、2/3+3/7

新的計(jì)算方法是：2/3+3/7=（2×7+3×3）/（3×7）=（14+9）/21=23/21

例3的具體算法是：分母相乘做分母，分子分母交叉相乘相加做分子。即：前一個(gè)分?jǐn)?shù)“2/3”的分子“2”乘以后一個(gè)分?jǐn)?shù)“3/7”的分母“7”即（2×7）;后一個(gè)分?jǐn)?shù)“3/7”的分子“3”乘以前一個(gè)分?jǐn)?shù)“2/3”的分母“3”即（3×3）。把兩次相乘得到的積相加做分子：即2×7+3×3=23做分子;分母相乘做分母（3×7=21）;“21”即是新算法的分母，“11”即是新算法的分子。

（二）分母是非互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)加法。分母是非互質(zhì)數(shù)的

分?jǐn)?shù)加法是指在兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的加法中，它們的分母并不是互質(zhì)數(shù)。

4、5/10+2/8

新的計(jì)算方法是：5/10+2/8=（5×8+2×10）/（10×8）=（40+20）/80=60/80=3/4

在這個(gè)算式中，前一個(gè)分?jǐn)?shù)5/10的分母“10”與后一個(gè)分?jǐn)?shù)2/8的分母“8”并非互質(zhì)數(shù)。

例4的具體算法和例3是相同的，因此不再詳述，這兩個(gè)例子的區(qū)別在于：例4的兩個(gè)分?jǐn)?shù)分子相加最后得到的分子（60）與分母（80）并非互質(zhì)數(shù)，按照計(jì)算結(jié)果要化成最簡分?jǐn)?shù)的原則，還需使分子分母互質(zhì)，因此需要化簡，最后結(jié)果為3/4。

由這4個(gè)例題可知，無論分母是互質(zhì)數(shù)還是非互質(zhì)數(shù)，分?jǐn)?shù)加減法都遵循三條規(guī)律：一是分母相乘做分母;二是分子分母交叉相乘相（加）減做分子。三是最后的得數(shù)能化簡的要化成最簡分?jǐn)?shù)。新的分?jǐn)?shù)加減法同樣適用于一般的分?jǐn)?shù)加減法。

三、整數(shù)加減分?jǐn)?shù)

（一）整數(shù)加分?jǐn)?shù)。整數(shù)加分?jǐn)?shù)是指在整數(shù)與分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算中，一個(gè)數(shù)是整數(shù)，另一個(gè)是分?jǐn)?shù)。

5、4+ 1/3

新的計(jì)算方法是：4+ 1/3=（4×3+1）/3=（12+1）/3=13/3

例5的具體算法，一是分母不變;二是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母相乘再加上分?jǐn)?shù)的分子做分子。即整數(shù)“4”乘以分?jǐn)?shù)“1/3”的分母“3”再加上分?jǐn)?shù)“1/3”的分子“1”做分子（4×3+1）

（二）整數(shù)減分?jǐn)?shù)。整數(shù)減分?jǐn)?shù)是指在整數(shù)與分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算中，一個(gè)數(shù)是整數(shù)，另一個(gè)是分?jǐn)?shù)。

6、5- 1/6

新的計(jì)算方法是：5- 1/6=（5×6-1）/6=（30-1）/6 29/6

例6的具體算法表述為：分母不變，整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母相乘再減去分?jǐn)?shù)的分子做分子。即整數(shù)“5”乘以分?jǐn)?shù)“1/6”的分母“6”再減去分?jǐn)?shù)“1/6”的分子“1”做分子（5×6-1）。

這里需要特別說明的是，整數(shù)可以看做分母是“1”的假分?jǐn)?shù)。例5之所以沒有把4+ 1/3寫成“4/1+1/3”，例6之所以沒有把5- 1/6寫成“5/1-1/6”，乃是為了計(jì)算簡便。從例5和例6這兩個(gè)例題，我們可以總結(jié)出兩條規(guī)律，整數(shù)加（減）分?jǐn)?shù)：一是分?jǐn)?shù)的分母不變;二是整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的分母再加上或者減去分?jǐn)?shù)的分子做分子。例1到例4總結(jié)的三條規(guī)律，例5到例6總結(jié)的兩條規(guī)律是我從教年多來，從大量的分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算中，中發(fā)現(xiàn)的。這種新規(guī)律和新方法，對學(xué)生快速、準(zhǔn)確地計(jì)算分?jǐn)?shù)加減法具有很大的幫助。例5、例6兩個(gè)例題之外可能還會出現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果分子分母不是互質(zhì)數(shù)，如果遇到分子分母不是互質(zhì)數(shù)，那化成最簡分?jǐn)?shù)即可。

這種新方法和新規(guī)律對于計(jì)算一般的分?jǐn)?shù)加減法同樣適用。這些方法在快速計(jì)算分?jǐn)?shù)加分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)減分?jǐn)?shù)，整數(shù)加分?jǐn)?shù)，整數(shù)減分?jǐn)?shù)等運(yùn)算中起到了很大的作用。整數(shù)加分?jǐn)?shù)，整數(shù)減分?jǐn)?shù)可以看做是分?jǐn)?shù)加減法的延伸。