完全平方公式的推導(dǎo)及應(yīng)用

蒙潔 周凱文

中圖分類號：A ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ?文章編號：（2021）-18-296

教學(xué)目標(biāo)：知識技能1、經(jīng)歷探究完全平方公式的過程，并歸納總結(jié)完全平方公式;2、能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡單的計算。

教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，并從推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力。

教具：多媒體

教學(xué)步驟：

活動一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課

【課堂引入】更大的生日蛋糕大家都知道老師有兩個孩子，有一天他們找我。請兩個同學(xué)來表演一下：兒子：去年我和妹妹的生日蛋糕都是面積只有a2的正方形，太小了。女兒：是??！我長大一歲了，生日蛋糕要再多出一個。兒子：我也長大一歲了，要求把蛋糕邊長增加b，變?yōu)椋?b）。女兒：那不是一樣大嗎？兒子：不對，我的蛋糕會更大。同學(xué)們認(rèn)為哥哥說的對嗎？為什么？通過實(shí)際情境讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

活動二：實(shí)踐探究交流新知

【探究1】（a+b）2=a2+2ab+b2

問題1：如圖，你能用代數(shù)式表示哥哥想要蛋糕的面積嗎？由圖可以看出哥哥比妹妹的蛋糕多了兩塊。因此（a+b）2≠a2+b2

問題2：那么（a+b）2等于什么呢？請同學(xué)們小組交流，得出結(jié)果。學(xué)生展示，得出公式（a+b）2=a2+2ab+b2由于兩個代數(shù)式都表示同一圖形的面積，因此相等。

問題3：你能用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式來驗(yàn)證兩個代數(shù)式相等嗎？學(xué)生交流展示。

【探究2】（a-b）2=a2-2ab+b2問題1：老師還有一個公式?jīng)]有完成，同學(xué)們能幫老師完成嗎？（a-b）2=？學(xué)生思考，交流展示。問題2：你能自己設(shè)計一個圖形解釋這一公式嗎？問題3：分析完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并用語言來描述完全平方公式。（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是二項(xiàng)式（兩數(shù)和或差）的平方;右邊是兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的2倍。語言描述：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)積的2倍。

經(jīng)過探索，引入完全平方公式，再讓學(xué)生自己舉例加深對公式的體會。而在計算圖形的面積時，通過對比這些表示方式可以使學(xué)生對于公式有一個直觀的認(rèn)識。同時在古代人們也是通過類似的圖形認(rèn)識了這個公式。通過自主探究和交流學(xué)到了新的知識，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性得到大大的激發(fā)。問題1是讓學(xué)生從代數(shù)運(yùn)算的角度，推導(dǎo)出兩數(shù)差的完全平方公式，培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考和語言表達(dá)能力。問題2使學(xué)生再次從幾何的角度來驗(yàn)證兩數(shù)差的完全平方公式。從而學(xué)生經(jīng)歷了幾何解釋到代數(shù)運(yùn)算，再到幾何解釋的過程，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識得以培養(yǎng)，并且從不同的角度推導(dǎo)出了公式，并且加以鞏固。處理方式：此環(huán)節(jié)的設(shè)計符合學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知過程，問題1教學(xué)中學(xué)生采用了不同的方法：①運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則;②把兩數(shù)差看作兩數(shù)和，再運(yùn)用兩數(shù)和的公式。教師應(yīng)重視學(xué)生對于算理的理解，讓學(xué)生嘗試說出每一步運(yùn)算的道理，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和語言表達(dá)能力。（多媒體出示，同時給學(xué)生半分鐘時間反思體會）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2。問題2用幾何解釋驗(yàn)證兩數(shù)和的完全平方公式的鞏固，同時也是對于學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識的一種培養(yǎng)，絕大多數(shù)學(xué)生能夠通過交流合作得以掌握。通過幾個活動學(xué)生能夠初步地掌握了完全平方公式，并在推導(dǎo)過程中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的基本能力。（a-b）2=a2-ab-b（a-b），即（a-b）2=a2-2ab+b2。問題3在前面的基礎(chǔ)上，加以總結(jié)，使得學(xué)生從形式上初步地認(rèn)識了完全平方公式。

活動三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用

【應(yīng)用舉例】例1，利用完全平方公式計算：（1）（2x-3）2;（2）（4x+5y）2;（3）（mn-a）2。處理方式：教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式特點(diǎn)寫出解答過程。規(guī)范解答過程。

【變式訓(xùn)練】計算：（1）（12x-2y）2;（2）（2xy+15x）2;（3）（n+1）2-n2。處理方式：三個學(xué)生到黑板板書，其他同學(xué)計算。讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固公式，熟練應(yīng)用公式。進(jìn)一步熟悉公式。并通過小組交流，自我檢驗(yàn)，鞏固反饋。

【拓展提升】例2，閱讀下列材料并解答后面的問題：利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，通過配方可對a2+b2進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如a2+b2=（a+b）2-2ab或a2+b2=（a-b）2+2ab，從而使某些問題得到解決。例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值。解：a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×3=19。問題解決：（1）已知a+b=6，則a2+b2=________;（2）已知a-b=2，ab=3，分別求a2+b2，a4+b4的值。觀察公式特點(diǎn)：（a+b）2=a2+2ab+b2→a2+b2=（a+b）2-2ab;（a-b）2=a2-2ab+b2→a2+b2=（a+b）2-2ab;（a+b）2-（a-b）2=4ab。進(jìn)一步提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識，解決實(shí)際問題的能力。

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1. 指出下列各式中的錯誤，并加以改正：（1）（2a-1）2=2a2-2a+1;（2）（2a+1）2=4a2+1。

2. 運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算：（1）（-3+2x）2;（2）（-4x-5y）2。

3. 若a+b=5，求a2+2ab+b2的值。處理方式：教師出示檢測題，監(jiān)督學(xué)生獨(dú)立完成，學(xué)生做完后，教師出示答案，指導(dǎo)學(xué)生校對，并統(tǒng)計學(xué)生答題情況。學(xué)生根據(jù)答案進(jìn)行糾錯。了解學(xué)生對本節(jié)課掌握情況，以便能及時地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。使每個學(xué)生都能在原來的基礎(chǔ)上獲得較大的發(fā)展。

活動四：課堂總結(jié)反思

課堂總結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？還有哪些困惑？先想一想，再分享給大家。

總結(jié)內(nèi)容：

1. 注意完全平方公式和平方差公式的不同：結(jié)果不同：完全平方公式的結(jié)果是三項(xiàng)。即（a±b）2=a2±2ab+b2。平方差公式的結(jié)果是兩項(xiàng)。即（a+b）（a-b）=a2-b2。

2. 在解題過程中要準(zhǔn)確確定a和b，對照公式原形的兩邊，做到不丟項(xiàng)、不弄錯符號、2ab時不少乘2。處理方式：學(xué)生爭先恐后，積極回答，教師適當(dāng)補(bǔ)充。布置作業(yè)：1.教材習(xí)題：課本P26習(xí)題1.11中T1，T2，T3，T4。

2.拓展練習(xí)：（a+b）2與（a-b）2有怎樣的聯(lián)系？能否用一個等式來表示兩者之間的關(guān)系？并嘗試用圖形來驗(yàn)證你的結(jié)論。鼓勵學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勛约旱氖斋@與感受，加深對“溫故而知新”的體會。學(xué)生能夠在課堂上暢所欲言，并通過自己的歸納總結(jié)，進(jìn)一步鞏固了所學(xué)知識。

板書設(shè)計：提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出。

教學(xué)反思：1.授課流程反思：通過幾何圖形面積的求法，復(fù)習(xí)平方差公式的同時，為后面的對比學(xué)習(xí)完全平方公式做好準(zhǔn)備。

2.講授效果反思：對計算結(jié)果結(jié)構(gòu)特征的分析時教師板書其特征，讓學(xué)生更容易看到其運(yùn)算的過程，再結(jié)合幾何圖形的面積從直觀上進(jìn)行鞏固，讓學(xué)生對完全平方公式有較好的理解和認(rèn)識。

3.師生互動反思：___________________

4.習(xí)題反思：好題題號_________錯題題號_________反思，更進(jìn)一步提升。

本文系寧明縣整體推進(jìn)縣域課堂教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)研究-2019年度寧明縣亭亮中學(xué)子課題《如何提高農(nóng)村初中學(xué)生計算能力的教學(xué)模式》（立項(xiàng)編號：czkt2019—121）的研究成果