淺談初中數(shù)學(xué)建模思想教學(xué)及應(yīng)用

鄭愛萍

摘要：數(shù)學(xué)建模是將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)方法求解模型，使問題得到解答，培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想? ?構(gòu)建模型? ?解決問題

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷深入，重視數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，已成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢。數(shù)學(xué)建模將實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)方法求解模型，使問題得到解答，能夠幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用，增強對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與實踐能力。解決這類問題體現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模思維過程中，要根據(jù)所掌握的信息和背景材料，對問題加以變形，使問題簡單化，且重要過程是根據(jù)題意建立函數(shù)、方程（或方程組）、不等式（組）等數(shù)學(xué)模型。使學(xué)生明白：數(shù)學(xué)建模過程就是通過觀察、類比、歸納、分析等數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來解決問題。

本文談?wù)勅绾卧诖鷶?shù)的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想與思維過程。

一、構(gòu)建代數(shù)式求解

列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系解決問題，是一個基本的代數(shù)方法，是方程法、不等式法、函數(shù)法等的基礎(chǔ)，其中“公式”是它的一個典型，充分地體現(xiàn)出代數(shù)式的意義和作用。教學(xué)中可讓學(xué)生從所熟悉的有關(guān)計算公式著手，探討公式的特征和現(xiàn)實意義，知道它所反映的是事物的一般情形的本質(zhì)屬性，與具體對象無關(guān)，可以利用它來簡便解決有關(guān)問題。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程，較好地理解代數(shù)式的模型特征及其應(yīng)用。

例1、觀察算式：

1=12;

1+3=4=22;

1+3+5=9=32;

1+3+5+7=16=42;

1+3+5+7+9=25=52 ;……

用代數(shù)式表示這個規(guī)律（n為正整數(shù)）：1+3+5+7+9++（2n-1）=

分析與解答? 由以上各等式知，等式左端是從1開始的連續(xù)若干個奇數(shù)之和，右端是左端奇數(shù)個數(shù)的平方，由此易得1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。填n2.

二、構(gòu)建方程（不等式）求解

現(xiàn)實生活中廣泛存在著數(shù)量之間的相等（不等）關(guān)系。 “方程（不等式）”模型是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實世界。通過方程（不等式）建模來解決問題是一個重要代數(shù)方法，如打折銷售、分期付款、增長率、儲蓄利息、工程問題、行程問題、濃度配比等問題，?？梢猿橄蟪煞匠蹋ú坏仁剑┠Ｐ?，通過列方程（不等式）得以解決。教學(xué)中，從方程（不等式）的意義出發(fā)，務(wù)必使學(xué)生充分考察每一個具體的實際問題的基本情形，探索出問題中的未知量、已知量，特別是它們之間的等量（不等）關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)并假設(shè)未知數(shù)，進(jìn)而列出正確的方程（不等式）夠造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決問題并作出合理性的驗證，得到所要得答案。

例、在全力抗擊新型冠狀病毒疫情工作中，為了加強救治新型肺炎患者，武漢參照北京小湯山醫(yī)院模式，積極籌建火神山和雷神山醫(yī)院.在“兩山”醫(yī)院的建設(shè)過程中，有大量的土方需要運輸.“武安”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸土方。

（1）求“武安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？

（2）隨著工程的進(jìn)展，“武安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務(wù)，準(zhǔn)備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少種購買方案，請一一寫出.

[分析]1、第（1）小題可通過方程（組）建模解決問題;第（2）利用不等式建模解決問題。

注意：在實際應(yīng)用中，通過 方程（不等式）建模來解決實際問題時，注意理論與實際的聯(lián)系，往往需對模型的顯示給予合理性的驗證，以得到所要的答案。

三、構(gòu)建函數(shù)關(guān)系求解

通過函數(shù)建模來解決問題是又一個重要代數(shù)方法，是教學(xué)重點，亦是教學(xué)難點。教學(xué)中，為達(dá)到較好的教學(xué)效果，應(yīng)避免機械地傳授教學(xué)，在課堂上務(wù)必認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生主動參與每一個具體的問題討論，鼓勵學(xué)生積極探索并交流各自的看法，準(zhǔn)確把握每一個具體的問題中所涉及的量，并弄清哪些是常量，哪些是變量，特別是它們之間的變化關(guān)系，會用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法加以描述，進(jìn)而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型并應(yīng)用它合理去解決有關(guān)實際問題，現(xiàn)實生活中的許多問題，諸如計劃決策、最佳投資、最小成本、最大利潤、方案最優(yōu)化等問題，常可建立函數(shù)模型求解。

例、某商店進(jìn)行促銷活動，如果將進(jìn)價為8元/件的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)采用提高售價，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品的單價每漲1元，其銷售量就要減少10件，問將售價定為多少元/件時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大利潤.

[分析]確定每件利潤、銷售量，根據(jù)利潤=每件利潤×銷售量，得出銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系，利用配方法確定函數(shù)的最值.

[解答]解：設(shè)銷售價每件定為x元，則每件利潤為（x﹣8）元，銷售量為[100﹣10（x﹣10）]，

根據(jù)利潤=每件利潤×銷售量，可得銷售利潤y=（x﹣8）·[100﹣10（x﹣10）]=﹣10x2+280x﹣1600=﹣10（x﹣14）2+360，

∴當(dāng)x=14時，y的最大值為360元，

∴應(yīng)把銷售價格定為每件14元，可使每天銷售該商品所賺利潤最大，最大利潤為360元.

[點評]此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，建立起函數(shù)模型，從而來解決實際問題，比較簡單。

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于學(xué)生的整個學(xué)習(xí)過程，并激發(fā)學(xué)生的潛能，使他們能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中自覺地去尋找解決問題的一般方法，真正提高數(shù)學(xué)能力與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力. 數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模，其目的是要通過教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，教會學(xué)生方法，讓學(xué)生自己去探索、研究、創(chuàng)新，從而提高學(xué)生解決問題的能力，讓數(shù)學(xué)進(jìn)入生活，讓生活走進(jìn)數(shù)學(xué)。

本文為福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度立項課題“現(xiàn)代化技術(shù)手段在學(xué)生作業(yè)中的應(yīng)用研究”階段性成果之一，課題編號：FJJKXB19-598