Gorenstein n－余撓模及Gorenstein n－余撓維數(shù)

黃俊紅，張翠萍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730070)

2002年，Lee［1］給出了n－凝聚環(huán)的定義.2009年，Bennis［2］給出了左GF－ 閉環(huán)的概念. 2014年，Gao［3］在左GF－閉環(huán)上研究了模和環(huán)的Gorenstein余撓維數(shù)的相關(guān)性質(zhì);Selvaraj 等［4］給出了n－絕對(duì)純模、Gorenstein n－平坦模及Gorenstein n－余撓模的定義，在右n－凝聚環(huán)上討論了Gorenstein n－平坦模的相關(guān)性質(zhì).

本文在右n－凝聚環(huán)上研究了Gorenstein n－余撓模及模和環(huán)的Gorenstein n－余撓維數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，得到Gorenstein n－余撓模的Gorenstein n－平坦覆蓋是Gorenstein n－余撓模，證明了在右n－凝聚環(huán)上，所有Gorenstein n－平坦左R－模的投射維數(shù)不超過1 等價(jià)于任意內(nèi)射左R－模的商模是Gorenstein n－余撓的.

1 基本概念

設(shè)C是左R－模所構(gòu)成的類.由文獻(xiàn)［5］，稱φ:M→C 是M 的C－包絡(luò)，如果滿足以下2 條:

(1)對(duì)任意左R－同態(tài)f:M→C'，存在左R－同態(tài)g:C→C'，使得gφ =f，或者說序列HomR(C，C')→HomR(M，C')→0 是正合的，其中C，C' C;

(2)當(dāng)C' =C，f =φ 時(shí)，滿足gφ =f 的左R－同態(tài)g 必是C 上的自同構(gòu).

若只有(1)成立，則稱φ:M →C 是M 的C－預(yù)包絡(luò).

C－預(yù)覆蓋和C－覆蓋也可對(duì)偶地定義.

設(shè)L，C分別是左R 模的類.我們將L的左、右正交類分別記作:

其中M 是任意左R－模.

由文獻(xiàn)［5］，稱(L，C)是余撓理論，如果L⊥=C，⊥C=L.由文獻(xiàn)［6］，稱余撓理論(L，C)是完備的，如果每一個(gè)左R－模都有一個(gè)L－覆蓋和C－包絡(luò). 稱余撓理論(L，C)是遺傳的，如果對(duì)任意左R－模的短正合列0→C'→C→C″→0，若C，C' C，則C″ C.

設(shè)F是左R 模所構(gòu)成的類，Proj(R)，Inj(R)分別表示投射模類和內(nèi)射模類.由文獻(xiàn)［7］，有

(1)稱F是投射可解類，如果滿足:

(a)Proj(R)?F;

(b)在任意R－模的短正合列0→F'→F→F″→0 中，若F″ F，則F F當(dāng)且僅當(dāng)F' F.

(2)稱F是內(nèi)射可解類，如果滿足:

(a)Inj(R)?F;

(b)在任意R－模的短正合列0→F'→F→F″→0 中，若F' F，則F F當(dāng)且僅當(dāng)F″ F.

為了方便，本文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模均指酉模. 對(duì)任意R－模M，pdR(M)、fdR(M)和idR(M)分別表示M 的投射維數(shù)、平坦維數(shù)和內(nèi)射維數(shù).同時(shí)，在不指明左?；蛴夷r(shí)都指左模.

2 n－余撓模及n－平坦模

定義1［4］稱左R－模M 是n－平坦的，如果對(duì)任意投射維數(shù)不超過n 的有限表示右R－模N，有一般將n－平坦模所做成的模類記作Fn.

定義2［4］稱左R－模M 是n－余撓模，如果對(duì)任意N Fn，有將n－余撓模所做成的模類記作Cn.

注記1 (1)設(shè)n、m 是任意非負(fù)整數(shù)，并且若n≥m，則Fm?Fn.因此n－余撓模是m－余撓模.

(2)內(nèi)射模一定是n－余撓模，并且有包含關(guān)系:內(nèi)射模類?n－余撓模類?余撓模類.

引理1 對(duì)任意交換環(huán)R，設(shè)N 是n－平坦R－模，且F 是平坦模.則N?RF 是n－平坦R－模.

證明 任取投射維數(shù)有限的有限表示R－ 模C.則存在正合列0→K→P→C→0，其中P 是有限生成投射R－模.下證(C，N?F)=0.

用－?R(N?F)作用以上正合列，可得如下交換:

命題1 設(shè)R 是交換環(huán)，則以下條件等價(jià):

(1)M 是n－余撓模;

(2)對(duì)任意平坦R－模F，HomR(F，M)是n－余撓模;

(3)對(duì)任意投射R－模P，HomR(P，M)是n－余撓模.

證明 (1)?(2).設(shè)N 是任意n－平坦R－模，則有正合列0→K→P→N→0，其中P 是投射R－模.對(duì)任意平坦R－模F，用－?RF 作用到上述正合列上，可得正合列

由引理1 可知N?RF 是n－平坦R－模. 用HomR(－，M)作用到上述正合列上，可得:

由文獻(xiàn)［8］的定理5 可得:HomR(P，HomR(F，M))→HomR(K，HomR(F，M))→0，從而有正合列HomR(P，HomR(F，M))→HomR(K，HomR(F，M))(N，HomR(F，M))→(P，HomR(F，M))=0.因此，(N，HomR(F，M))=0，故HomR(F，M)是n－余撓模.

(2)?(3).投射模是平坦模，結(jié)論顯然成立.

(3)?(1).取P =R，由同構(gòu)式HomR(R，M)?M 可知結(jié)論成立.證畢.

3 Gorenstein n－余撓模

定義3［3］稱環(huán)R 是右(左)n－凝聚的(n ＞0或n=∞)，如果任意自由右(左)R－模的投射維數(shù)不超過n－1 的有限生成子模是有限表示的.稱環(huán)R是n－凝聚環(huán)，如果環(huán)R 既是左n－凝聚的，又是右n－凝聚的.

定義4［4］稱左R－模M 是n－絕對(duì)純的，如果對(duì)任意投射維數(shù)不超過n 的有限表示左R 模N，有(N，M)=0.顯然，內(nèi)射模一定是n－絕對(duì)純的.

定義5［4］稱左R－模M 是Gorenstein n－平坦的，如果存在n－平坦左R－模的正合序列

使得M?Im(F0→F0)，并且復(fù)形E?RF 是正合的，其中E 是任意n－絕對(duì)純右R－模.將Gorenstein n－平坦模所做成的模類記作GFn.

定義6［4］稱左R－模M 是Gorenstein n－余撓的，如果對(duì)任意Gorenstein n－平坦左R－模N，有(N，M)=0. 將Gorenstein n－余撓模所做成的模類記作GCn.

注記2 設(shè)R 是環(huán)，則有以下包含關(guān)系:

(1)平坦模類?n－平坦模類?Gorenstein n－平坦類;

(2)Gorenstein n－余撓模類?n－余撓模類?余撓模類.

引理2 設(shè)R 是右n－凝聚環(huán). 如果M 是任意Gorenstein n－余撓模，那么對(duì)任意Gorenstein n－平坦模N，有(N，M)=0，i≥1.

因?yàn)槿我饽６加型渡浞纸?，所以取N 的投射分解:

因?yàn)镽 是右n－凝聚環(huán)，所以由文獻(xiàn)［4］的推論3.6 知Ker fi(i≥0)是Gorenstein n－平坦的.設(shè)Ki=Ker fi.則(N，M)?(Ki－1，M)=0 (i≥1).故結(jié)論成立.證畢.

命題2 設(shè)R 是右n－凝聚環(huán)，則Gorenstein n－余撓模類是內(nèi)射可解類.

證明 顯然內(nèi)射模類?Gorenstein n－余撓模類.

設(shè)0→M'→M→M″→0 是R－模的短正合列.下證:若M' GCn，則M″ GCn?M GCn.

設(shè)N 是任意Gorenstein n－ 平坦R－ 模，用HomR(N，－)作用到上述正合列上，可得:

引理3［4］設(shè)R 是右n－凝聚環(huán)，則(GFn，GCn)是遺傳的完備的余撓理論.

設(shè)M 是任意左R－模.由命題2 及引理3 可知，在右n－凝聚環(huán)上任意R－模都有滿的Gorenstein n－平坦覆蓋和單的Gorenstein n－余撓包絡(luò).以下將M 的Gorenstein n－平坦覆蓋和Gorenstein n－余撓包絡(luò)分別記作:GFn(M)，GCn(M).

定理1 設(shè)R 是右n－凝聚環(huán).則

(1)Gorenstein n－平坦模的Gorenstein n－余撓包絡(luò)是Gorenstein n－平坦模;

(2)Gorenstein n－余撓模的Gorenstein n－平坦覆蓋是Gorenstein n－余撓模.

證明 (1)設(shè)F 是任意Gorenstein n－平坦模.由引理3 可知F 有Gorenstein n－余撓包絡(luò)φ:F →C，則有正合列0→F→C→L→0.根據(jù)Wakamutsu 引理有L GFn.由文獻(xiàn)［4］的推論3.6 知，在右n－凝聚環(huán)R 上Gorenstein n－平坦R－模對(duì)擴(kuò)張封閉，因此C GFn.

(2)設(shè)C 是Gorenstein n－余撓模. 由引理3 可知C 有Gorenstein n－平坦覆蓋f:F →C，則有正合列0→K→F→C→0. 根據(jù)Wakamutsu 引理［5］，K 是Gorenstein n－ 余撓模. 因此由命題2 可知F 是Gorenstein n－余撓模.證畢.

定理2 設(shè)R 是右n－凝聚環(huán).則下列條件等價(jià):

(1)所有左R－模是Gorenstein n－余撓的;

(2)所有的Gorenstein n－ 平坦左R－ 模是Gorenstein n－余撓的;

(3)所有的Gorenstein n－平坦左R－模是投射的;

(4)對(duì)任意左R－同態(tài)f:M1→M2，若M1，M2是Gorenstein n－ 余撓模，則Ker f 是Gorenstein n－余撓模.

證明 (1)?(2).結(jié)論顯然成立.

(2)?(3). 設(shè)G 是任意Gorenstein n－平坦左R－模.則有正合列

其中P 是投射左R－模.因?yàn)镽 是右n－凝聚環(huán)，所以K 是Gorenstein n－平坦的.因此(G，K)=0，即正合列可裂，故G 是投射左R－模.

(3)?(1).因?yàn)?Proj(R)，RM)是余撓理論，所以結(jié)論顯然成立.

(1)?(4).顯然成立.

(4)?(2). 設(shè)M 是Gorenstein n－平坦左R－模，則有以下交換:

其中GCn(M)和GCn(L)分別表示M 和L 的Gorenstein n－ 余撓包絡(luò). 由以上交換可知M = Ker ξ =Ker(δLξ)，由條件(4)可知M 是Gorenstein n－余撓模，即條件(2)成立.證畢.

4 模和環(huán)的Gorenstein n－余撓維數(shù)

定義7 設(shè)R 是環(huán)，M 是左R－ 模. 將M 的Gorenstein n－余撓維數(shù)記作Gn－cdR(M)，定義為Gn－cdR(M)=inf{k|存在正合列0→M→C0→C1→…→Ck－1→Ck→0，其中CiGCn，0≤i≤k，k 為非負(fù)整數(shù)}.若這樣的k 不存在，則記Gn－cdR(M)=∞.將環(huán)R 的左Gorenstein n－余撓整體維數(shù)記作l.Gn－cD(R)=sup{Gn－cdR(M)|M 是左R－模}.對(duì)偶地，將環(huán)R 的右Gorenstein n－余撓整體維數(shù)記作r.Gn－cD(R)=sup{Gn－cdR(M)|M 是右R－模}.特別地，若R 是交換環(huán)，則l.Gn－cD(R)=r.Gn－cD(R).

命題3 設(shè)R 是環(huán)，M 是左R－模，k 為非負(fù)整數(shù)，則下列條件等價(jià):

(1)Gn－cdR(M)≤k;

(4)若序列0→M→C0→C1→…→Ck－1→Ck→0正合，并且若C0，C1，…，Ck－1是Gorenstein n－余撓左R－模，則Ck也是Gorenstein n－余撓左R－模;

(5)存在正合列0→M→C0→C1→…→Ck－1→Ck→0，其中C0，C1，…，Ck－1，Ck是Gorenstein n－余撓左R－模.

特別地，若R 是右n－凝聚環(huán)，則以上條件等價(jià)于:

(6)Gn－cdR(GFn(M))≤k.

證明 (1)?(2).由定義7 即可得證.

(2)?(3).由(2)可知，存在正合列

對(duì)任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用以上正合列，由長(zhǎng)序列引理［8］及維數(shù)轉(zhuǎn)移公式［8］可得(N，Ck)?(N，M). CkGCn，則由引理2 可得(N，Ck)=0. 因此(N，M)=0，i≥1.

(3)?(4).對(duì)任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用到正合列上，由長(zhǎng)序列引理及維數(shù)轉(zhuǎn)移公式可得(N，Ck)?(N，M)=0. 特別地，當(dāng)i =1 時(shí)，(N，Ck)=0.故CkGCn.

(4)?(5). 因?yàn)槿我釸－模都有內(nèi)射分解，所以結(jié)論顯然成立.

(5)?(2).對(duì)任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用到正合列

(1)?(6).若R 是右n－凝聚環(huán)，則由文獻(xiàn)［4］的推論4. 8 可知M 有Gorenstein n－ 平坦覆蓋GFn(M)，則有正合列

對(duì)任意Gorenstein n－平坦左R 模N，用HomR(N，－)作用到上述正合列上，由長(zhǎng)序列引理可得:

在右n－凝聚環(huán)上Gorenstein n－平坦左R－模對(duì)擴(kuò)張封閉，則由Wakamutsu 引理可知K 是Gorenstein n－余撓模.由引理2 可知(N，K)=0(N，K)=0.因此(N，GFn(M))?(N，M).故條件(1)和條件(6)的等價(jià)性顯然成立.證畢.

定理3 設(shè)R 是右n－凝聚環(huán)，k 為整數(shù)且k≥1，則以下條件等價(jià):

(1)l.Gn－cD(R)≤k;

(2)所有Gorenstein n－平坦左R－模的投射維數(shù)不超過k;

(3)所有Gorenstein n－平坦左R－模的Gorenstein n－余撓維數(shù)不超過k;

(4)任意內(nèi)射左R－模的商模的Gorenstein n－余撓維數(shù)不超過k－1;

(5)任意Gorenstein n－余撓左R－模的商模的Gorenstein n－余撓維數(shù)不超過k－1.

證明 (1)?(2)和(1)?(3)顯然成立.

(3)?(2).設(shè)M 是任意左R－模.因?yàn)榄h(huán)R 是右n－凝聚環(huán)，所以M 有Gorenstein n－ 平坦覆蓋GFn(M).則有正合列0→K→GFn(M)→M→0.對(duì)任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用以上正合列，可得:

因?yàn)榄h(huán)R 是右n－凝聚環(huán)，所以K 是Gorenstein n－余撓模.根據(jù)引理2(N，K)=0，由條件(3)可知(N，GFn(M))=0.因此(N，M)=0，故N 的投射維數(shù)不超過k.

(1)?(4). 設(shè)E 是任意內(nèi)射左R－模，K 是E的子模.則有正合列

對(duì)任意Gorenstein n－平坦左R 模N，用HomR(N，－)作用以上正合列，可得:

由條件(1)知Gn－cdR(K)≤k，因此(N，K)=0.因?yàn)?N，E)=0，所以(N，E/K)=0.故Gn－cdR(E/K)≤k－1.

(4)?(1).設(shè)M 是任意左R－模，則有正合列

其中E 是內(nèi)射左R－模. 由條件(4)可知Gn－ cdR(E/M)≤k－1，因?yàn)镋 GCn，所以Gn－cdR(M)≤k.故由M 的任意性可知條件(1)成立.

(4)?(5). 設(shè)M 是任意Gorenstein n－余撓左R－模，K 是M 的子模.則有正合列

和

其中E(K)是K 的內(nèi)射包絡(luò).則有以下交換:

根據(jù)條件(4)，Gn－cdR(L)≤k－1，則有正合列

設(shè)左R－模M/K 的內(nèi)射分解為0→M/K→E0→E1→…→Ek－2→Ek－1→….令C =Im(Ek－2→Ek－1)，則有正合列

由正合列(1)、(4)可得正合列

因?yàn)镚n－cdR(K)≤k，所以C GCn. 因此Gn－cdR(M/K)≤k－1.證畢.

推論1 設(shè)R 是右n－凝聚環(huán). 則以下條件等價(jià):

(1)l.Gn－cD(R)≤1;

(2)所有Gorenstein n－平坦左R－模的投射維數(shù)不超過1;

(3)所有Gorenstein n－平坦左R－模的Gorenstein n－余撓維數(shù)不超過1;

(4)任意內(nèi)射左R－模的商模是Gorenstein n－余撓的;

(5)任意Gorenstein n－余撓左R－模的商模是Gorenstein n－余撓的.

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