探索軍校向量組的線性相關(guān)性概念的講解

劉海燕

摘要：向量組的線性相關(guān)性是《工程數(shù)學(xué)》中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，但其定義、判定及基本性質(zhì)十分抽象，是學(xué)員學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容。要掌握向量組線性相關(guān)性的判別法，必須要深刻理解向量組線性相關(guān)性的概念。

關(guān)鍵詞：向量組;線性相關(guān)性;線性表示

《工程數(shù)學(xué)》是軍校的一門必修公共課，為適應(yīng)新時(shí)代教育方針、軍隊(duì)院校教育條例、四項(xiàng)評(píng)估及不同專業(yè)學(xué)員的學(xué)習(xí)要求，提高教學(xué)質(zhì)量，討論如何實(shí)施教學(xué)十分必要。本文簡(jiǎn)要闡述“向量組的線性相關(guān)性概念的講解”。

一、熟悉大綱

根據(jù)武警部隊(duì)最新下發(fā)的科學(xué)文化課程大綱，第16頁(yè)，第一部分線性代數(shù)，（三）維向量與向量空間中第2個(gè)內(nèi)容，要求：理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念;掌握向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的基本性質(zhì)及判別法。

二、熟悉課程教學(xué)計(jì)劃

根據(jù)最新制定的《工程數(shù)學(xué)》課程教學(xué)計(jì)劃，第6頁(yè)，第四章向量組的線性相關(guān)性。學(xué)習(xí)要求：理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念;掌握向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的基本性質(zhì)及判別法。授課要求：重點(diǎn)是向量組的線性相關(guān)性及判別法。

三、熟悉教材

我們選用的教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《工程數(shù)學(xué)﹒線性代數(shù)》（第六版），此內(nèi)容選自第四章第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性，教材第87頁(yè)，

定義4給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)，使，則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)。

我認(rèn)為向量組線性相關(guān)性的判別法及基本性質(zhì)必須根據(jù)概念推導(dǎo)得出，而要掌握向量組線性相關(guān)性的判別法，必須要深刻理解向量組線性相關(guān)性的概念。

四、概念講解的設(shè)計(jì)

1.概念的引入

①導(dǎo)入主題——電腦配色原理

調(diào)出電腦配色的調(diào)色板，自定義中可以查看到，每一種顏色由一個(gè)三元數(shù)組（3維向量）唯一確定。提問(wèn)學(xué)員，為什么這樣的3維向量可以刻畫混色疊加原理？生活實(shí)例或者是某些現(xiàn)象作為引例，能激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)的興趣。

②復(fù)習(xí)

介于向量組線性相關(guān)性與向量線性表示、線性方程組解的判定有直接聯(lián)系，我選擇先復(fù)習(xí)上一節(jié)向量線性表示的定義及判定。

③概念引入

問(wèn)題：任意給定一個(gè)向量組，問(wèn)零向量能否由此向量組線性表示？若能，試問(wèn)線性表示的系數(shù)能否不全為零？

最好是借助兩個(gè)簡(jiǎn)單且具體的向量組來(lái)演示解答，即向量組和向量組。由此得出向量組內(nèi)部關(guān)系的兩種情況，進(jìn)而提出線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念。這種方式引入較順暢，此外概念的解讀十分必要。

2.概念的解讀

①突出著重點(diǎn)——不同顏色標(biāo)注，有側(cè)重地朗讀

標(biāo)出“存在”、“不全為零”、“線性相關(guān)”、“否則”四個(gè)詞。

②解讀難點(diǎn)詞——存在、不全為零、否則

從向量組的線性相關(guān)性概念這個(gè)命題出發(fā)，利用它的逆命題、否命題、逆否命題幾個(gè)方面展開講解，引導(dǎo)學(xué)員推導(dǎo)出向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等價(jià)命題或常見(jiàn)的錯(cuò)誤命題，尤其是要得出向量組線性無(wú)關(guān)的定義，即若存在一組數(shù)，使，則。

③解讀

分情況討論，主要說(shuō)明和兩種特殊情況，并闡述2維和3維空間中線性相關(guān)性的幾何意義。

④梳理關(guān)系——向量線性表示、向量組的線性相關(guān)性、線性方程組解的判定、矩陣的秩

整體梳理這四者的關(guān)系，以便后續(xù)直接得出向量線性相關(guān)性的四個(gè)判定。

向量組線性相關(guān)性的概念抽象難懂，上述是我個(gè)人認(rèn)為比較容易理解的一種方式。其實(shí)為應(yīng)對(duì)抽象性，還可以選擇從3維空間中的共線、共面性質(zhì)出發(fā)，再推廣到維向量的角度展開講解。

參考文獻(xiàn)：

[1]工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，6版，北京：高等教育出版社，2014.6

（武警警官學(xué)院 四川成都 610000）