突破三角形中線問題的向量解法

胡玉林 康利攀

摘要：三角形中的向量問題在近幾年的考試中出現(xiàn)的頻率很高，且難度也增加了。利用向量解法來研究三角形的性質(zhì)，從而突破三角形中線問題，是人教A版新教材的“探究數(shù)學(xué)活動”專題，要求學(xué)生通過向量法來研究三角形的性質(zhì)，從而解決三角形中線問題。鑒于此，本文主要論述用向量解法來解決三角形的中線問題。

關(guān)鍵詞：三角形;中線問題;向量解法

盡管在初中，學(xué)生就已經(jīng)接觸過向量知識，但在高中教學(xué)中，如何利用向量解法研究三角形的性質(zhì)問題，顯而易見，學(xué)生會顯得捉肘見禁。而常見的解決三角形問題中，主要是反復(fù)使用正弦定理和余弦定理，但若是運(yùn)用了向量解法，那么所有的問題即將迎刃而解，學(xué)生會迅速的做出解答，使人受益匪淺。同時，向量體系的構(gòu)建也離不開三角形。例如：向量的加法、向量的減法等都包括著三角形的法則，而在求向量的數(shù)量積時，更是離不開三角形中的余弦定理。因此，學(xué)習(xí)好向量知識尤為重要。

1.向量解法在三角形中線問題應(yīng)用的意義

眾所周知，解決三角形問題的常見方法就是正余弦定理，但是對于三角形的中線問題，若能利用三角形的中線向量性質(zhì)，建立三角形中線與角的關(guān)系，就可以巧妙的解決三角形的角、邊長、周長、面積等有關(guān)三角形中線的問題。在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常在利用正余弦定理解決三角形問題上，會涉及到三角形一邊的中線問題，而解決這類問題就是利用中線的一邊來構(gòu)建一個三角形，在至少兩個三角形的問題下來解決問題，但是如果應(yīng)用向量解法，就可以直接在原三角形中即突破中線問題。

向量法是解決近代數(shù)學(xué)問題的重要方法，也是最基本的概念之一。向量是將“數(shù)”和“形”融于一體的代數(shù)形式和幾何形式。平面中的任意邊長都可以用向量來表示，運(yùn)算也有對應(yīng)的代數(shù)表示。在幾何中，用向量表示既有大小又有方向。向量是溝通幾何與代數(shù)等內(nèi)容的橋梁，它具有豐富的實(shí)際背景和廣泛應(yīng)用。在解決三角形中的中線問題也同樣適用，向量是一種有用的數(shù)學(xué)工具，它為我們解決三角形領(lǐng)域的問題提供新的思維方法，開闊教師和學(xué)生的視角，從而將三角形的知識在向量的串聯(lián)下實(shí)現(xiàn)有機(jī)統(tǒng)一，可以將三角形中的問題簡單化、具體化，從而使學(xué)生在解決三角問題上更具有科學(xué)性和邏輯性，進(jìn)而培養(yǎng)高一學(xué)生的創(chuàng)新精神。

2.利用向量解法突破三角形中的邊長問題

例1：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且A=，b（2sinA—cosC）=cCOSB，BC邊上的中線AM的長是，求邊C的大小。

分析：由b（2sinA—cosC）=CcosB，得2sinBsinA—sinBcosC=sinCcosB.，2sinB·sinA=sin（B+C），即sinB=，得A=B=，依中線的向量性質(zhì)2=，即=，又因b=a，可得+=56，由余弦定理得cosA=，即cos=，得a=c，從而得出+，得C=。

在本題中，我們已知三角形中一邊上的中線長和三角形的內(nèi)角。此時，我們就可以利用向量法運(yùn)用到三角形中線中去，并幫助學(xué)生迅速構(gòu)建中線與邊角的關(guān)系式，從而正確求出三角形邊長問題。

3.利用向量解法突破三角形中的周長問題

例2：在△ABC中中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，b=，B=，D為AC的中點(diǎn)，BD=，求△ABC的周長。

分析：依中線的向量性質(zhì)=，即=，又因?yàn)閎=2，可得=10，.由余弦定理cosB=，即cos=，得ac=2，從而得出，得a+c=，故△ABC的周長為。

在解決三角形周長問題時，若已知三角形一邊上的中線長與部分邊角，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生就利用中線的向量性質(zhì)，構(gòu)建三邊與中線的關(guān)系式，將問題簡單化，從而快速做出解答。

4.在三角形中線問題中運(yùn)用向量教學(xué)的注意點(diǎn)

教師在解決三角形中線問題引入向量法時，首先應(yīng)讓學(xué)生感受到向量法的優(yōu)勢，改變學(xué)生對于向量法可有可無的想法。例如在小學(xué)中解決雞兔同籠的問題時，小學(xué)生會感到很困難，待到中學(xué)學(xué)習(xí)方程組時，利用方程法就很容易解決，學(xué)生就會感到此方法很受用。同樣，在解決三角形中線問題上，在利用正余弦定理的基礎(chǔ)上，介入向量法的使用，就會使問題變得更加直觀，從而使問題簡單化。

從目前情況來看，現(xiàn)在的向量教學(xué)存在著“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象，具體可以理解為表面上是使用向量法，實(shí)際上還是運(yùn)用原來的幾何法，造成這種現(xiàn)象發(fā)生的根本原因是由于教師未引導(dǎo)學(xué)生利用向量思維去解決三角形問題，因此造成學(xué)生對向量法的誤解?；诖耍處熅涂梢詫W(xué)生設(shè)置成幾個討論小組讓學(xué)生以小組探究的方式來研究三角形的性質(zhì)，并進(jìn)行大膽猜想多種解題方法，并利用向量法進(jìn)行推理證明，學(xué)生可以在此過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)探究三角形性質(zhì)與向量之間的聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生的探究熱情。

結(jié)束語

綜上所述，本文主要闡述了向量解法在三角形中線問題應(yīng)用的意義，并舉例說明利用向量解法突破三角形中的邊長、周長問題，并分析在三角形中線問題中運(yùn)用向量教學(xué)的注意點(diǎn)，讓學(xué)生通過通過向量法來研究三角形的性質(zhì)，從而解決三角形中線問題，這對激發(fā)高一學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識的興趣有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧媛媛.平面向量的加法——淺談向量的三角形法則[J].科學(xué)咨詢，2020（24）：74-75.

[2]陳利利，張曜光.“用向量法研究三角形的性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)反思與點(diǎn)評[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（5）：24-30.

[3]劉加珍.向量法研究三角形中相關(guān)點(diǎn)之間的距離公式[J].新余高專學(xué)報(bào)，2005，10（5）：88-90.

[4]王新兵.向量方法在三角形問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友，2012（8）.

[5]吳思遠(yuǎn).三角形外心的平面向量問題的解法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（高中版），2018，0（7）：43-44.

[6]魏正清.突破三角形中線問題的向量解法[J].河北理科教學(xué)研究，2018（4）：18-20.

[7]怎樣用向量法求三角形的面積[J].中學(xué)生數(shù)理化：高一版，2012（5）：47-47.

[8]樊文聯(lián).例析用坐標(biāo)法巧解與向量有關(guān)的三角形面積比值問題[J].理科考試研究（高中版），2018，25（11）：9-10.

潛山市槎水鎮(zhèn)中心學(xué)校 246300