概述力學(xué)在小提琴研究上的應(yīng)用（下）

韓玫瑰 曹小建

（接上期）

二、施力對(duì)小提琴聲學(xué)特性的影響

弦的頻率上文已作介紹，當(dāng)材料和張力確定后，琴弦長(zhǎng)度的改變就會(huì)帶來(lái)音調(diào)變化，演奏時(shí)通過(guò)手指壓弦配合弓對(duì)琴弦的壓力帶來(lái)悅耳的音樂(lè)。琴弓馬尾涂抹松香后，其壓弦時(shí)就存在一定的干摩擦力了。當(dāng)琴弓由于摩擦力帶動(dòng)弦向一側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦彈性變形增大，彈性回復(fù)力與變形成正比也同時(shí)增大。當(dāng)回復(fù)力可以克服摩擦力時(shí)，弦快速反向回到初始位置，再重新被琴弓帶動(dòng)，整個(gè)過(guò)程是典型的粘滑振動(dòng)。到目前為止，力學(xué)家們?nèi)詻](méi)有對(duì)粘滑機(jī)理給出理想的解釋?zhuān)姓J(rèn)為是摩擦力隨拉弓速度變化破壞系統(tǒng)平衡引起的，也有認(rèn)為跟松香剪切強(qiáng)度相關(guān)的。另外，振動(dòng)力學(xué)中，摩擦力影響下琴弦的頻率會(huì)略小于其固有頻率，只不過(guò)人耳不易分辨。

（一）亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)

亥姆霍茲通過(guò)振動(dòng)顯微鏡發(fā)現(xiàn)拉動(dòng)時(shí)琴弦瞬時(shí)成V字型，并提出了亥姆霍茲角（即V型頂角，如圖2中虛線標(biāo)注的圓圈處所示），該角兩側(cè)弦分為兩段直線。演奏時(shí)亥姆霍茲角在琴碼和手指之間快速移動(dòng)，亥姆霍茲角的頂點(diǎn)在來(lái)回移動(dòng)過(guò)程中的包絡(luò)線形成拋物線。這種亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)與琴弓壓力、運(yùn)弓速度及施力位置有關(guān)。弦上任一點(diǎn)隨時(shí)間變化的位移表現(xiàn)為三角波的傳播，該點(diǎn)的速度為位移方程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)時(shí)而為正時(shí)而為負(fù)。研究發(fā)現(xiàn)，任一點(diǎn)的位移與走弓速度vB成正比，又反比與該點(diǎn)到琴碼的距離占該弦在指尖和琴碼間長(zhǎng)度的比例β[9]。

弓毛與弦在黏著和滑動(dòng)過(guò)程中，如果亥姆霍茲角的角尖越趨于平滑（接近弧線），聲音也會(huì)更悅耳。尖銳和平滑的平衡完全靠演奏者演奏時(shí)在弓上加力來(lái)控制。由摩擦力計(jì)算的庫(kù)倫公式可知，施力越大，靜滑動(dòng)摩擦力越大，也更容易引起明顯且尖銳的亥姆霍茲角。此時(shí)需要提高泛音的能量來(lái)增加聲音的亮度。另一個(gè)影響亥姆霍茲角平滑度的因素是二級(jí)波及其漣漪。波的漣漪是因?yàn)楹ツ坊羝澖腔貍鞯焦c弦接觸點(diǎn)處雖會(huì)變平滑但不會(huì)迅速消失，卻繼續(xù)在弦上多次折返而形成。第三種觀點(diǎn)認(rèn)為可以通過(guò)弦的拉平效應(yīng)來(lái)控制角的平滑。特別是當(dāng)施加較大的力于高位拉奏G弦時(shí)，更容易觀察到尖銳的角迅速被拉平。這種效應(yīng)是因弦中能量耗散的延遲而導(dǎo)致?？傊?，亥姆霍茲角的平滑度需要通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)控制。譚分析發(fā)現(xiàn)琴體與琴頸連接處是小提琴力學(xué)中心點(diǎn)，制作時(shí)此處角度輕微變化都會(huì)改變琴體力矩和背板張力[10]。其給出了琴板受力分析公式，且設(shè)計(jì)制作時(shí)可通過(guò)尺規(guī)控制。琴弦與琴馬的角度通常設(shè)置在158°，從力矩和變形角度認(rèn)為琴弦上設(shè)計(jì)穩(wěn)定的預(yù)應(yīng)力利于琴的長(zhǎng)期使用[11]。

（二）弓的施力區(qū)間

在粘滑引起的規(guī)則亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)中，包含有兩個(gè)重要的特征施力參量。一是粘著時(shí)足夠大到允許弓毛在弦上游走的力Fmax，二是足夠小到允許亥姆霍茲角處于弓弦接觸處仍能繼續(xù)往兩側(cè)移動(dòng)的力Fmin，具體見(jiàn)Schelleng[12]提出的公式（3）。其中vB和β的物理意義跟上文一樣，Z0是弦的橫向阻抗，μd和μs分別是動(dòng)摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)（通常靜摩擦系數(shù)更大），R則是拉曼弦模型中琴碼終端的阻力。弓對(duì)弦施加的力在Fmin和Fmax之間時(shí)，小提琴發(fā)出的聲音較柔和。根據(jù)公式建立平面直角坐標(biāo)系下的β-力圖時(shí)，F(xiàn)min和Fmax均表現(xiàn)為直線且斜率分別是-1和-2。在這兩條線和原點(diǎn)形成的三角區(qū)域之外，小提琴發(fā)出的聲音則很刺耳。演奏樂(lè)曲時(shí)，亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)為常態(tài)才能讓聲音連續(xù)優(yōu)美。對(duì)于所有的演奏者來(lái)說(shuō)，當(dāng)音樂(lè)力度由pp轉(zhuǎn)換到f，加大弓上的力時(shí)，弓會(huì)離琴碼更近，弓速也會(huì)加快。此時(shí)弓上施加的力可達(dá)到2.5N，弓速為2m/s。

（三）弓的施力角度

圖3中給出了弓與弦接觸角度的示意圖，從中可見(jiàn)運(yùn)弓時(shí)有歪斜、側(cè)斜和傾斜三種狀態(tài)[13]。運(yùn)弓是為了讓弓能貼在需要發(fā)音的弦上，一般認(rèn)為它比施力更重要。歪斜是指弓與x軸在水平面Oxy上有一定角度（α角），其常自然而然地出現(xiàn)在曲子漸強(qiáng)或漸弱的情況下。側(cè)斜是弓毛與x軸重合，弓與馬尾構(gòu)成的面與Oxz面存在夾角（θ角），當(dāng)音樂(lè)力度一直減弱時(shí)很常見(jiàn)。當(dāng)從弓尖一直走到弓根時(shí)，側(cè)斜角度也會(huì)越來(lái)越大;另外這也是運(yùn)弓過(guò)程中弓更易向指板滑動(dòng)的原因，因?yàn)閭?cè)斜會(huì)帶來(lái)弦對(duì)馬尾的一個(gè)水平反作用力（圖4中的Fx）;由力學(xué)分析可知弓對(duì)弦的壓力與側(cè)傾角成正比。傾斜則是指弓與水平面之間形成角度（β角），演奏時(shí)頻繁地?fù)Q弦就需要變換傾斜角。另外演奏和弦時(shí)，根據(jù)琴的大小及演奏者習(xí)慣的施力點(diǎn)，傾斜角都可精確計(jì)算。

三、人弦琴交互作用的力學(xué)分析

在總結(jié)弦樂(lè)演奏動(dòng)作的研究成果時(shí)，李武華[14]提出了弦樂(lè)演奏力學(xué)四個(gè)原理。除了上文已表述的部分外，還有人弦交互作用的力學(xué)分析。演奏中需要抬臂運(yùn)弓，引起發(fā)音的力主要是地球引力作用在弓、手和臂上的重力，其中最主要的是上臂受的重力。為克服重力，要放松肩關(guān)節(jié)。肘部、腕部和其他關(guān)節(jié)連接弓和人體，靠的是肌肉和韌帶提供支撐力，處于次要地位。腕部有時(shí)需要用力去展現(xiàn)技巧，但不需要把整個(gè)手臂的力都?jí)旱较疑稀Ｑ葑鄷r(shí)應(yīng)該身體上主要部位放松，讓次要部位去發(fā)力。身體、肩關(guān)節(jié)、上臂、肘關(guān)節(jié)、小臂、腕關(guān)節(jié)、手掌、指關(guān)節(jié)、手指是環(huán)環(huán)相扣的有機(jī)整體，因此當(dāng)其中一個(gè)部位繞關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)用力時(shí)，由理論力學(xué)動(dòng)量矩守恒定律可知，相鄰部位必然會(huì)產(chǎn)生相反方向的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，如直升機(jī)的側(cè)向尾槳就是為了產(chǎn)生與主螺旋槳相反的動(dòng)量矩而設(shè)計(jì)，目的是為保持飛行中整體動(dòng)量矩平衡。有時(shí)這種反向運(yùn)動(dòng)的受力是由琴或弦對(duì)人體的反作用力。若手臂整體做僵硬的同一方向運(yùn)動(dòng)，則容易跑調(diào)。像快速的分弓和跳弓就不適合僅僅控制上臂來(lái)演奏。

對(duì)于長(zhǎng)期演奏某一種樂(lè)器的演奏家們來(lái)說(shuō)，關(guān)節(jié)反復(fù)性高強(qiáng)度使用會(huì)帶來(lái)職業(yè)病。這屬于生物力學(xué)的研究范疇。肩部疼痛、腰部疼痛、脊椎疼痛和腱鞘炎是常被提及的小提琴演奏家職業(yè)病類(lèi)型[15]。小提琴音色不好可能和琴的夾持有關(guān)，最好是經(jīng)常性放松調(diào)整;腰部和脊椎的不適可能是站姿或站位不當(dāng)，最好是雙腳平行站立、身體自然挺直、盡量使琴水平;少數(shù)出現(xiàn)的肘部問(wèn)題則主要是由于運(yùn)弓過(guò)程中手腕太緊張及手指用力過(guò)大。Turner-Stokes等利用瑞典Qualysis公司的三維運(yùn)動(dòng)分析系統(tǒng)MacReflex研究了提琴演奏者在樂(lè)曲演奏過(guò)程中的各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度及身體各部分運(yùn)動(dòng)幅度[16]。小提琴方陣中，最高音演奏者肩關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度為27.4～46.3°，肘關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度為70.4～133.6°，腕關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度為143.3～191.1°;最低音演奏者肩關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度為36.2～63.7°，肘關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度為70.4～136.7°，腕關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度為140.9～189.3°。演奏高音時(shí)肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)幅度更大，腕關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)幅度較小。各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)位移上有同樣的規(guī)律。這些研究成果有助于診斷小提琴演奏者長(zhǎng)期形成的關(guān)節(jié)損傷并給出治療方案。

四、結(jié)論

（一）小提琴選材上，傳聲速度、音響阻抗和輻射阻尼均與材料彈性模量的方根成正比。對(duì)于共振板應(yīng)選擇輻射阻尼大阻抗小的材料，共鳴箱板壁則優(yōu)先選擇輻射阻尼小、阻抗大的材料。弦的頻率與弦材料力學(xué)中的強(qiáng)度相關(guān)，與弦所受張力的方根成正比。

（二）弦演奏過(guò)程中是振動(dòng)力學(xué)中的粘滑振動(dòng)，會(huì)產(chǎn)生亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)。亥姆霍茲角越平滑，樂(lè)聲越優(yōu)美?？刂坪ツ坊羝澖?，壓弦的力需要控制在一個(gè)區(qū)間[Fmin，F(xiàn)max]內(nèi)。根據(jù)樂(lè)曲需要，弓有側(cè)斜、歪斜和傾斜三種姿態(tài)。

（三）演奏過(guò)程中，人和琴整體符合理論力學(xué)動(dòng)量矩守恒定律，肩關(guān)節(jié)要放松而靠其他部位發(fā)力。通過(guò)生物力學(xué)研究小提琴演奏者的動(dòng)作習(xí)慣有助于分析其關(guān)節(jié)損傷。

參考文獻(xiàn)：

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[16]Turner-Stokes L，Reid K.Three-dimensional motion analysis of upper limb movement in the bowing arm of string-playing musicians[J].Clinical Biomechanics，1999，14：426-433.