“等差數(shù)列的前n項和”教學(xué)設(shè)計

王友偉

摘? 要：借助閱兵隊列訓(xùn)練視頻創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)眼光看問題. 先從具體等差數(shù)列入手，再通過方法遷移，得到一般的公式. 從數(shù)的角度進行公式的推導(dǎo)，了解倒序相加法;從形的角度對公式進行直觀解釋，對公式進行深入理解. 經(jīng)歷提出問題、探尋研究方法、擬定研究方案、實施探究等過程，落實“四基”、提高“四能”，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列;前[n]項和;數(shù)學(xué)本質(zhì);研究方法;核心素養(yǎng)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

數(shù)列是函數(shù)的延續(xù)和發(fā)展. 在蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)5（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）中，通過列舉生活和數(shù)學(xué)中的大量實例，給出數(shù)列的實際背景，讓學(xué)生了解數(shù)列的概念，理解數(shù)列是一類特殊的函數(shù).“等差數(shù)列的前n項和”是繼數(shù)列、等差數(shù)列的概念之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，其研究方法能夠為后續(xù)研究等比數(shù)列及其他數(shù)列提供幫助. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)，而對于公式的變形及應(yīng)用，以及通過其他途徑來求等差數(shù)列的前n項和，將在后續(xù)的學(xué)習(xí)中進行研究.

二、教學(xué)目標設(shè)置

本節(jié)課教學(xué)目標設(shè)置如下.

（1）經(jīng)歷探索等差數(shù)列前n項和公式的過程，掌握從特殊到一般的研究方法，體會轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

（2）了解倒序相加法，理解等差數(shù)列的前n項和公式，能夠合理運用公式解決問題，提高分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對象是高二年級的學(xué)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列、等差數(shù)列的概念及通項公式等基礎(chǔ)知識，了解了等差數(shù)列中的幾個量[a1，n，d，an]之間的關(guān)系.學(xué)生具有一定的歸納、推理能力及良好的思維習(xí)慣，部分學(xué)生擁有對特殊的等差數(shù)列求和的經(jīng)驗. 這些都為本節(jié)課的教學(xué)提供了知識遷移和方法類比的可能. 但學(xué)生仍未理解數(shù)列求和方法的本質(zhì). 因此，本節(jié)課的教學(xué)重在“說理”，即讓學(xué)生從感性認識上升到理性認識.基于學(xué)情，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，教學(xué)難點為探索求等差數(shù)列前n項和的方法.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課采用以下教學(xué)策略.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象.

（2）引導(dǎo)學(xué)生從具體的等差數(shù)列入手，通過方法遷移，探究等差數(shù)列的前[n]項和公式.

（3）從數(shù)的角度進行公式的推導(dǎo)，從形的角度對公式進行直觀解釋.

（4）引導(dǎo)學(xué)生對比、總結(jié)推導(dǎo)方法的特點，體會數(shù)學(xué)的簡潔美.

五、教學(xué)過程設(shè)計

1. 引導(dǎo)回顧，梳理知識

之前學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念，研究了一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列. 借助樹圖，回顧了已經(jīng)學(xué)習(xí)過的有關(guān)等差數(shù)列的知識.

【設(shè)計意圖】以樹圖的形式幫助學(xué)生回顧知識、梳理框架，體會研究數(shù)學(xué)的一般方法——將未知轉(zhuǎn)化為已知進行研究. 鞏固理解an，a1，n，d四個量中“知三求一”，為接下來分析問題、探究方法做好鋪墊.

2. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師播放閱兵訓(xùn)練視頻，提示學(xué)生觀看視頻時思考能否用數(shù)列的觀點研究視頻中的畫面.

【設(shè)計意圖】借助閱兵隊列訓(xùn)練視頻，在激發(fā)學(xué)生愛國熱情的同時，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，從數(shù)學(xué)角度思考問題.

視頻中的隊列變化畫面如圖1所示，對應(yīng)抽象成點陣，如圖2所示.

問題1：對于如圖2所示的點陣，你能用數(shù)列的觀點發(fā)現(xiàn)問題、提出問題嗎？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生嘗試尋找隊列的人數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，內(nèi)化等差數(shù)列中的首項、項數(shù)、公差等概念，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題中的數(shù)量抽象出來并用符號進行表示，進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，以及從實際問題中進行數(shù)學(xué)抽象的能力. 學(xué)生選擇從最簡單的等差數(shù)列——常數(shù)列入手，通過對常數(shù)列求和的體驗，為接下來研究“公差不為0的等差數(shù)列求和時，將不同數(shù)相加轉(zhuǎn)化為相同數(shù)相加”做好鋪墊.

將圖1（3）的左下區(qū)域抽象為點陣，如圖3所示，以此為例進行研究.

問題2：對于圖3，你能用數(shù)列的觀點發(fā)現(xiàn)問題、提出問題嗎？

【設(shè)計意圖】繼續(xù)內(nèi)化等差數(shù)列中的首項、項數(shù)、公差等概念，在學(xué)生提出問題后順勢而為，引出本節(jié)課的課題——等差數(shù)列的前n項和. 同時，通過“提出問題—明確方向—分析問題”這一系列的操作，讓學(xué)生感受到研究等差數(shù)列的前n項和的必要性.

3. 組織活動，探索方法

問題3：設(shè)如圖3所示的點陣區(qū)域的總?cè)藬?shù)為S21，如何求這個區(qū)域的總?cè)藬?shù)？

嘗試用多種方法，學(xué)生分組討論，5分鐘后小組匯報.

S21 = 3 + 4 + … + 22 + 23.

預(yù)設(shè)方案1：從數(shù)的角度研究.

預(yù)設(shè)方案3：從形的角度研究，如圖4所示.

【設(shè)計意圖】通過問題2引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程. 通過組織活動，讓學(xué)生自主探究、小組討論，形成方案后匯報交流. 部分學(xué)生有過解決此類問題的經(jīng)驗，容易想到配對，但是對配對的真正目的不是很理解，所以這個問題中設(shè)定了奇數(shù)項的等差數(shù)列求和，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)配對時可能出現(xiàn)不是整數(shù)對的情形，也為接下來的奇偶項的討論和倒序相加法做好鋪墊.

預(yù)設(shè)方案4：從形的角度研究，切掉左邊的兩列，如圖5所示.

預(yù)設(shè)方案5：從形的角度研究，切掉左邊的三列，如圖6所示.

【設(shè)計意圖】圖6左半部分對應(yīng)一個常數(shù)列，學(xué)生直觀感知到相同的數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為乘法，呼應(yīng)了前面的配對思想.在學(xué)生已經(jīng)掌握了“補”的方法后再提出這一問題，比較自然地引出了“割”的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從幾何角度給出不同的解釋，也為推導(dǎo)等差數(shù)列前[n]項和公式的第二種形式進行鋪墊.

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，讓學(xué)生充分感受到可以從數(shù)和形兩個角度對等差數(shù)列進行求和，經(jīng)歷自主推導(dǎo)公式的過程，感受配對的實質(zhì)是將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，從而將加法轉(zhuǎn)化為乘法，使復(fù)雜問題簡單化.

4. 引導(dǎo)歸納，建立模型

問題4：如何推導(dǎo)出等差數(shù)列[an]的前n項和？

追問1：對于一個等差數(shù)列[an]，要已知哪些量才可以求出前n項和？

【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)時已經(jīng)明確an，a1，n，d四個量可以“知三求一”，追問1可以繼續(xù)內(nèi)化這個知識點. 當(dāng)學(xué)生遇到“已知an，d，n”的情形，經(jīng)過引導(dǎo)和討論，學(xué)生能夠從多個角度理解其等同于“已知a1，d，n”的情形，使接下來的研究途徑更加合理.

【設(shè)計意圖】研究具體數(shù)列的求和后，學(xué)生將探究過程中使用的方法遷移到一般的等差數(shù)列[an]中，繼續(xù)內(nèi)化倒序相加法，并利用追問讓學(xué)生進一步理解“為什么要配對”“為什么能配對”，并闡述原因.

【設(shè)計意圖】通過使用“割”的方法，從形的角度給出了公式的直觀解釋，也讓學(xué)生感受到等差數(shù)列的求和問題其實可以轉(zhuǎn)化為“求[1+2+…+n]的值”的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

追問5：你能發(fā)現(xiàn)這兩個公式之間的關(guān)系嗎？

追問6：對比上述推導(dǎo)Sn的方法，你覺得哪種方法更簡潔？

【設(shè)計意圖】已知a1，d，n推導(dǎo)Sn本質(zhì)上就是“求[1+2+…+n]的值”. 從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最簡潔的還是倒序相加法.經(jīng)過這樣的比較分析，讓學(xué)生理解等差數(shù)列的前n項和公式是形式化的表達，推導(dǎo)公式的目的是應(yīng)用的簡潔，追求簡潔是數(shù)學(xué)研究的基本原則.

5. 數(shù)學(xué)運用，鞏固深化

【設(shè)計意圖】例1是對等差數(shù)列的前[n]項和公式的直接應(yīng)用. 通過對例題的解決，使學(xué)生鞏固對公式的認識，會根據(jù)題設(shè)條件合理地選用公式求值. 同時，明白選擇公式的原則是追求簡潔.

重點講解圖9中的深色區(qū)域，即圖10（從不同的角度看，得到不同的等差數(shù)列）.

【設(shè)計意圖】例2與問題1呼應(yīng)，回歸實際問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

練習(xí)：在等差數(shù)列[an]中，設(shè)[an]的前n項和為Sn.

（1）已知a1 = 3，a50 = 101，求S50;

（2）已知a1 = 3，d =[12]，求S10.

【設(shè)計意圖】再次鞏固對公式的理解. 公式的應(yīng)用其實就是從一般到特殊的過程.

6. 總結(jié)反思，升華理解

回顧與反思：這節(jié)課你有哪些收獲？學(xué)到了哪些知識？體會了哪些思想？

【設(shè)計意圖】本節(jié)課采用開放式課堂小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，從知識、方法、思想幾個角度進行總結(jié)，積累經(jīng)驗，促進學(xué)生反思升華、感悟思想、提升素養(yǎng).

7. 分層作業(yè)，因材施教

（1）鞏固運用：教材第47頁習(xí)題第1 ～ 5題.

（2）拓展思考：若等差數(shù)列的通項公式[an=fn]是關(guān)于n的函數(shù)，你能從函數(shù)角度研究其前n項和Sn嗎？

【設(shè)計意圖】分層布置作業(yè)，面向全體學(xué)生，繼續(xù)深化等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用. 同時，為學(xué)生提供運用函數(shù)觀點研究Sn的平臺.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.